Конус: элементы, образующая, площадь поверхности

Содержание

Вы уже знаете цилиндр как тело вращения и умеете строить развертку цилиндра. Сегодня тем же способом разберем конус: из какой плоской фигуры он получается, что такое образующая, как устроены осевое сечение и развертка и почему площадь боковой поверхности равна $\pi rl$. Первое знакомство с конусом было в уроке «Цилиндр, конус, шар» 6 класса; здесь — формулы с выводом и задачи 11 класса.

Конус — треугольник, повернутый вокруг катета

Возьмите полукруг из бумаги и сверните его в кулек так, чтобы края сошлись. Получится конус. Каким будет угол при его вершине — острым, прямым, тупым? Ответ дадим в конце урока, а пока разберемся, из чего конус состоит.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ с прямым углом $O$: катет $SO = 15$, катет $OA = 8$. Будем вращать его вокруг прямой $SO$, как прямоугольник вращали вокруг стороны, когда получали цилиндр. Точка $S$ лежит на оси и остается на месте. Катет $OA$ перпендикулярен оси и заметает круг. Гипотенуза $SA$ заметает «воронку» — боковую поверхность.

Прямоугольный треугольник SOA вращается вокруг катета SO: получается конус; SO = h, OA = r, SA = l — Катет на оси становится высотой, второй катет — радиусом основания, гипотенуза — образующей

Определение

Конус — тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Точка $S$ — вершина конуса; круг с центром $O$ — основание; $SO = h$ — высота (она лежит на оси $SO$); $OA = r$ — радиус основания. Любой отрезок от вершины до точки окружности основания — образующая $l$; все образующие равны гипотенузе $SA$.

Элементы конуса: вершина S, центр основания O, высота SO = h, радиус OA = r, образующие SA и SB, образующая l — Высота идет внутри конуса по оси, образующая — по его поверхности

Высота, радиус и образующая — стороны того самого треугольника, который вращали. Поэтому они связаны теоремой Пифагора.

Правило

Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$:

$$l^2 = r^2+h^2$$

Пример 1

Радиус основания конуса равен 8, высота равна 15. Найдите образующую.

Решение. Треугольник $SOA$ прямоугольный, $l$ — его гипотенуза: $l = \sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17$.

Проверка смысла: гипотенуза длиннее каждого катета, $17 > 15 > 8$.

Ответ: 17.

{"questions":[{"content":"Какую фигуру нужно вращать вокруг оси, чтобы получить конус?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равносторонний треугольник вокруг стороны","Прямоугольник вокруг стороны","Прямоугольный треугольник вокруг катета","Полукруг вокруг диаметра"],"explanations":["Получатся два конуса с общим основанием: перпендикуляр из третьей вершины делит ось вращения на две части","Так получается цилиндр: параллельная оси сторона дает цилиндрическую поверхность","","Так получается шар"],"answer":[2]}},"hints":["Конус имеет вершину, ось и круглое основание.","Основание заметает катет, перпендикулярный оси, а боковую поверхность — гипотенуза.","Это прямоугольный треугольник, вращаемый вокруг катета."],"step":1},{"content":"У конуса $S$ — вершина, $O$ — центр основания, точки $A$ и $B$ лежат на окружности основания, $AB$ проходит через $O$. Сопоставьте отрезок и его название.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$SA$","$SO$","$OA$","$AB$"],"items":["Образующая","Высота","Радиус основания","Диаметр основания"]}},"hints":["Для каждого отрезка определите, где лежат его концы: вершина, центр или окружность.","Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания: $SA$.","Высота идет по оси от вершины к центру основания: $SO$.","Радиус соединяет центр основания с точкой окружности: $OA$; $AB$ — диаметр."],"step":1},{"content":"Образующая конуса равна 13, радиус основания равен 5. Найдите высоту конуса. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$l$ — гипотенуза, $r$ и $h$ — катеты.","$h = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{144}$.","Ответ: 12."],"step":1}],"mix":1}

Осевое сечение возвращает задачу на плоскость

Проведем плоскость через ось $SO$. Она пройдет через вершину $S$ и разрежет основание по диаметру $AB$. В сечении окажутся две образующие $SA$ и $SB$ и диаметр $AB$ — треугольник $SAB$. Это вращаемый треугольник $SOA$ вместе со своим зеркальным отражением $SOB$. Для конуса с треугольником $8$–$15$–$17$ получим сечение со сторонами $17$, $17$, $16$ и высотой $15$; его площадь $\frac{1}{2}\cdot16\cdot15 = 120$.

Определение

Осевое сечение конуса — сечение плоскостью, проходящей через ось. Это равнобедренный треугольник $SAB$: боковые стороны $SA = SB = l$, основание $AB = 2r$, высота $SO = h$.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник SAB: SA = SB = l, AO = OB = r, высота SO = h; углы при вершине и при основании — Осевое сечение — равнобедренный треугольник: в нем видны сразу h, r, l и оба угла

В осевом сечении видны два угла, о которых спрашивают в задачах. Угол при вершине конуса — угол $ASB$ между двумя противоположными образующими. Угол между образующей и плоскостью основания — угол $SAO$: образующая $SA$ наклонена к своей проекции $OA$. Высота $SO$ делит угол $ASB$ пополам, значит, $\angle ASO$ — половина угла при вершине. Из треугольника $SOA$: $\sin \angle ASO = \frac{r}{l}$, $\sin \angle SAO = \frac{h}{l}$.

Правило

В осевом сечении конуса $\sin \angle ASO = \frac{r}{l}$ и $\sin \angle SAO = \frac{h}{l}$. Здесь $\angle ASO$ — половина угла при вершине, $\angle SAO$ — угол образующей с основанием; в сумме они дают $90^\circ$. Площадь осевого сечения: $S_{\text{сеч}} = r h$.

Пример 2

Образующая конуса равна 12 и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите высоту, радиус основания и площадь осевого сечения.

Решение. В прямоугольном треугольнике $SOA$ угол $A$ равен $30^\circ$, гипотенуза $SA = 12$. Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $h = SO = 6$. Второй катет: $r = OA = \sqrt{12^2-6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

Площадь осевого сечения — площадь треугольника $SAB$ с основанием $2r$ и высотой $h$: $S = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h = r h = 6\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3}$.

Ответ: $h = 6$, $r = 6\sqrt{3}$, $S = 36\sqrt{3}$.

{"questions":[{"content":"Какая фигура получается в осевом сечении конуса?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Треугольник: основание $2r$, боковые стороны $l$","Треугольник: основание $2r$, боковые стороны $h$","Треугольник: основание $r$, боковые стороны $l$","Треугольник: основание $r$, боковые стороны $h$"],"explanations":["","Боковые стороны сечения — образующие $l$, а не высота $h$","Основание сечения — диаметр $2r$, а не радиус","Основание — диаметр $2r$, боковые стороны — образующие $l$"],"answer":[0]}},"hints":["Плоскость через ось проходит через вершину $S$ и пересекает основание по диаметру.","Боковые стороны — две образующие, равные $l$.","Основание сечения — диаметр $2r$."],"step":1},{"content":"Радиус основания конуса равен 6, высота равна 4. Найдите площадь осевого сечения. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Осевое сечение — треугольник с основанием $2r = 12$ и высотой $h = 4$.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 4 = 24$.","Ответ: 24."],"step":1},{"content":"Угол при вершине конуса равен $80^\\circ$. Найдите в градусах угол между образующей и плоскостью основания. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Высота делит угол при вершине осевого сечения пополам.","Половина угла при вершине равна $40^\\circ$; искомый угол — острый угол прямоугольного треугольника $SOA$.","$90^\\circ-40^\\circ = 50^\\circ$. Ответ: 50."],"step":1}],"mix":1}

Разрежем боковую поверхность по образующей

Разрежем бумажный кулек по одной образующей и расправим. Все образующие выходят из вершины и имеют длину $l$, поэтому на плоскости они станут радиусами круга с центром $S$. Окружность основания станет дугой. Получится сектор радиуса $l$, длина дуги которого равна длине окружности основания $2\pi r$.

Боковая поверхность конуса разрезали по образующей SA и развернули: сектор радиуса l с дугой 2πr; S бок = πrl — Развертка боковой поверхности — сектор: радиус l, дуга 2πr

Найдем площадь сектора. Полный круг радиуса $l$ имеет длину окружности $2\pi l$ и площадь $\pi l^2$. Наша дуга — доля $\frac{2\pi r}{2\pi l} = \frac{r}{l}$ полной окружности, значит, и площадь сектора — такая же доля площади круга: $\pi l^2 \cdot \frac{r}{l} = \pi r l$.

Правило

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа $\pi$, радиуса основания и образующей:

$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

Почему верно: сектор как «веер» треугольников

Скрыть

Разрежем сектор на много узких секторов. Заменим маленькие дуги хордами. Площади полученных треугольников приближенно дают площадь сектора. При все более мелком разбиении их высоты стремятся к $l$, а сумма оснований — к длине дуги $2\pi r$; поэтому площадь сектора равна $\frac{1}{2} \cdot l \cdot 2\pi r = \pi r l$. Тот же прием дает площадь круга: $\frac{1}{2} \cdot r \cdot 2\pi r = \pi r^2$.

g11-konus-razvertka

Ошибка

Частая ошибка — подставить в формулу высоту: $S_{\text{бок}} = \pi r h$. Для конуса с $r = 8$, $h = 15$ получится $120\pi$ вместо верных $\pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$.

Проверка крайним случаем. Сделаем конус почти плоским: $h$ близко к нулю. Боковая поверхность тогда почти совпадает с основанием, ее площадь близка к $\pi r^2$. Формула $\pi r h$ дает почти ноль — значит, она неверна. Формула $\pi r l$ дает почти $\pi r \cdot r = \pi r^2$, потому что $l$ стремится к $r$.

Где сломалось рассуждение: радиус сектора — это длина пути от вершины до края по поверхности, то есть образующая. Высота идет внутри конуса и в развертку не попадает. Если дана высота, сначала найдите $l = \sqrt{r^2+h^2}$.

Ошибка: в формулу боковой поверхности подставили высоту h вместо образующей l — радиус развертки равен l — Радиус развертки — образующая l; высота h внутри конуса и в развертку не попадает

Пример 3

Найдите площадь боковой поверхности конуса из примера 1 ($r = 8$, $h = 15$).

Решение. Образующая уже найдена: $l = 17$. $S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$.

Ответ: $136\pi$ (около 427,3).

{"questions":[{"content":"Радиус основания конуса равен $r$, высота равна $h$, образующая равна $l$. Заполните формулу площади боковой поверхности: $S_{\\text{бок}} = [[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\pi r h$","$\\pi rl$","$2\\pi rl$","$\\pi r^2 l$"],"answer":1}},"hints":["Развертка боковой поверхности — сектор. Какой отрезок конуса становится радиусом этого сектора?","Радиус сектора — образующая $l$, длина дуги равна длине окружности основания $2\\pi r$.","Площадь сектора равна половине произведения его радиуса на длину дуги: $\\frac{1}{2} \\cdot l \\cdot 2\\pi r = \\pi r l$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Чему равна площадь боковой поверхности?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fp6pclthoekc.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$24\\pi$","$12\\pi$","$15\\pi$","$7\\pi$"],"explanations":["Взято $2\\pi rh$ — формула цилиндра","В формулу подставлена высота $h$ вместо образующей $l$","","Сложены $r$ и $h$; площадь так не находят"],"answer":[2]}},"hints":["Сначала найдем образующую: $l = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi r l = \\pi \\cdot 3 \\cdot 5$.","$S_{\\text{бок}} = 15\\pi$."],"step":1},{"content":"Решавр искал площадь боковой поверхности конуса с $r = 5$ и $h = 12$ и записал: $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot 12 = 60\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Пропущен множитель 2; верно $120\\pi$","Ошибки нет, ответ $60\\pi$","Вместо образующей $l$ взята высота $h$; верно $65\\pi$","Вместо радиуса взят диаметр; верно $130\\pi$"],"explanations":["Площадь сектора равна половине произведения радиуса $l$ на длину дуги $2\\pi r$: $\\frac{1}{2} \\cdot l \\cdot 2\\pi r = \\pi r l$","Ошибка есть: высота не равна образующей","","В формуле стоит радиус основания, а не диаметр"],"answer":[2]}},"hints":["В формуле $S_{\\text{бок}} = \\pi r l$ стоит образующая $l$, а не высота.","$l = \\sqrt{5^2+12^2} = 13$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot 13 = 65\\pi$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Полная поверхность: у конуса одно основание

Возьмем конус с $r = 8$ и $l = 17$: боковая поверхность $136\pi$, одно основание $64\pi$, вместе $200\pi$. Теперь обобщим. Вспомним цилиндр: прямоугольник при вращении дает две «крышки», поэтому $S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2$. У треугольника, который вращаем в конус, только один катет перпендикулярен оси — он и дает единственное основание. Вершина основания не образует.

Полная развертка конуса: сектор радиуса l с дугой 2πr и один круг радиуса r; для сравнения — развертка цилиндра с двумя основаниями — Полная развертка конуса — сектор и один круг

Правило

Площадь полной поверхности конуса — боковая поверхность и одно основание:

$$S_{\text{полн}} = \pi r l+\pi r^2 = \pi r(r+l)$$

Пример 4

Найдите площадь полной поверхности конуса с $r = 8$ и $h = 15$.

Решение. $l = 17$ (пример 1). $S_{\text{полн}} = \pi \cdot 8 \cdot (8+17) = 200\pi$.

Проверка: $S_{\text{бок}} = 136\pi$, основание $\pi \cdot 8^2 = 64\pi$, $136\pi+64\pi = 200\pi$.

Ошибка. Если по привычке добавить два основания, получится $136\pi+2\cdot64\pi = 264\pi$ вместо $200\pi$ — это ошибка «как у цилиндра». Вершина конуса — точка, второго круга нет.

Ответ: $200\pi$.

Пример 5

Обратная задача. Площадь полной поверхности конуса равна $224\pi$, радиус основания равен 7. Найдите высоту конуса.

Решение. $\pi \cdot 7 \cdot (7+l) = 224\pi$, откуда $7+l = 32$ и $l = 25$. Теперь высота из треугольника $SOA$: $h = \sqrt{25^2-7^2} = \sqrt{576} = 24$.

Обратите внимание: формула дает образующую, а не высоту. Ответ «25» — та же ошибка, что и $h$ вместо $l$.

Ответ: 24.

{"questions":[{"content":"Конус с радиусом основания 4 и образующей 5 нужно полностью покрасить. Найдите площадь покраски, деленную на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["$S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+l)$ — боковая поверхность и одно основание.","$S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot (4+5) = 36\\pi$.","Ответ: 36."],"step":1},{"content":"Решавр искал площадь полной поверхности конуса с $r = 2$ и $l = 5$ и получил $18\\pi$, прибавив к боковой поверхности два основания. Каков верный ответ и почему?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$20\\pi$: боковая поверхность вдвое больше","$10\\pi$: основание не входит в полную поверхность","$14\\pi$: основание у конуса одно, лишние $4\\pi$ — второй круг","$18\\pi$: основания два, как у цилиндра"],"explanations":["Площадь сектора равна половине произведения радиуса $l$ на длину дуги $2\\pi r$: $\\frac{1}{2} \\cdot l \\cdot 2\\pi r = \\pi r l$","Полная поверхность включает одно основание","","У цилиндра два основания, у конуса одно: вершина не круг"],"answer":[2]}},"hints":["Вершина конуса — точка, второго круга у конуса нет.","$S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 2 \\cdot 5 + \\pi \\cdot 2^2 = 10\\pi + 4\\pi = 14\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Площадь полной поверхности конуса равна $96\\pi$, радиус основания равен 6. Расставьте шаги решения, которое находит высоту конуса.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$\\pi \\cdot 6 \\cdot (6+l) = 96\\pi$, значит, $6+l = 16$","Из равенства $6+l = 16$ получаем $l = 10$","По найденной образующей $l = 10$ и радиусу 6: $h = \\sqrt{10^2-6^2} = 8$"]}},"hints":["Какое равенство можно записать, зная только площадь и радиус?"]}],"mix":1}

★ Какой угол у сектора и что стало с полукругом

Вернемся к развертке. Полукруг — половина круга, то есть сектор $180^\circ$. Для произвольного угла: сектор с углом $\varphi$ — это доля $\frac{\varphi}{360^\circ}$ круга радиуса $l$. В разделе о развертке мы нашли, что эта доля равна $\frac{r}{l}$. Приравняем.

Правило

Угол сектора развертки боковой поверхности конуса:

$$\varphi = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$$

Пример 6

Радиус основания конуса равен 5, образующая равна 12. Найдите угол сектора развертки.

Решение. $\varphi = 360^\circ \cdot \frac{5}{12} = 150^\circ$.

Проверка: так как $r < l$, всегда $\varphi < 360^\circ$ — сектор не может быть больше круга.

Ответ: $150^\circ$.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Полукруг — сектор с углом $180^\circ$. Значит, $\frac{r}{l} = \frac{180^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{2}$, то есть $l = 2r$. В осевом сечении $SA = SB = l$ и $AB = 2r = l$: все три стороны равны, треугольник правильный. Угол при вершине кулька равен $60^\circ$ — он острый.

Полукруг радиуса l сворачивается в конус: осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной l и углом 60° при вершине — Полукруг радиуса l сворачивается в конус с l = 2r: осевое сечение правильное, угол при вершине 60°

{"questions":[{"content":"Развертка боковой поверхности конуса — сектор. Радиус основания конуса равен 3, образующая равна 9. Найдите угол сектора в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Дуга сектора равна длине окружности основания: $2\\pi \\cdot 3 = 6\\pi$.","Сектор — доля $\\frac{r}{l} = \\frac{3}{9}$ полного круга радиуса $l$.","$\\varphi = 360^\\circ \\cdot \\frac{1}{3} = 120^\\circ$. Ответ: 120."],"step":1},{"content":"Развертка боковой поверхности конуса — сектор с углом $216^\\circ$ и радиусом 10. Найдите высоту конуса. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Радиус сектора — это образующая: $l = 10$. Доля сектора равна $\\frac{r}{l}$, то есть $\\frac{216}{360} = \\frac{r}{10}$.","$r = 10 \\cdot \\frac{216}{360} = 6$.","$h = \\sqrt{10^2-6^2} = \\sqrt{64} = 8$.","Ответ: 8."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Конус — прямоугольный треугольник, повернутый вокруг катета. Почти любая задача о нем решается в этом треугольнике или в осевом сечении, которое состоит из двух таких треугольников. Путь от вершины до окружности основания по образующей имеет длину $l$. Поэтому радиус сектора развертки равен $l$, а длину его дуги задает радиус основания $r$.

Что ищем	Как увидеть через вращение	Формула
Образующая	гипотенуза вращаемого треугольника	$l^2 = r^2+h^2$
Осевое сечение	треугольник и его зеркальное отражение	$SA = SB = l$, $AB = 2r$
Боковая поверхность	гипотенуза при вращении образует боковую поверхность; ее развертка — сектор	$S_{\text{бок}} = \pi r l$
Полная поверхность	сектор и одно основание от катета $r$	$S_{\text{полн}} = \pi r(r+l)$
★ Угол развертки	дуга сектора равна окружности основания	$\varphi = 360^\circ \cdot \frac{r}{l}$

Часто задаваемые вопросы

Чем образующая отличается от высоты?

Обе выходят из вершины. Высота идет по оси к центру основания и перпендикулярна ему, образующая — по поверхности к окружности основания. Образующая — гипотенуза, поэтому она всегда длиннее высоты.

Почему в формуле цилиндра есть 2, а у конуса нет?

У цилиндра развертка — прямоугольник $2\pi r \times h$. У конуса — сектор, его площадь равна половине произведения радиуса $l$ на дугу $2\pi r$, и двойка сокращается с половиной.

Можно ли свернуть конус из любого сектора?

Да, из любого сектора с углом меньше $360^\circ$: радиус сектора станет образующей, а радиус основания найдется из равенства дуги и окружности, $r = l \cdot \frac{\varphi}{360^\circ}$.

Как понять, что дана образующая, а не высота?

Ищите в условии слова: «образующая», «наклонена к плоскости основания», «развертка — сектор радиуса…» — все это про $l$. Высоту называют прямо или задают через осевое сечение (высота треугольника $SAB$). Если сомневаетесь, нарисуйте треугольник $SOA$ и отметьте, какая сторона дана: катет или гипотенуза.

Что значит «найдите площадь, деленную на π»?

Так в задачах ЕГЭ просят ответ без числа $\pi$: если $S = 136\pi$, в ответ записывают 136.

Награды за урок