7 класс Алгебра Системы линейных уравнений Линейные уравнения с двумя переменными и их системы

Линейное уравнение с двумя переменными

Содержание

В уроке «Линейное уравнение с одной переменной» переменная была одна, и уравнение обычно имело один корень. Вы также умеете отмечать точку по координатам. В этом уроке у уравнения две переменные: разберем, что считать его решением, как проверить пару чисел, почему решений обычно бесконечно много и когда их остается конечное число.

Одно условие, а переменных две

В кошельке 10 монет по 2 руб. и по 5 руб., есть монеты обоих видов. Сколько монет каждого вида? Обозначим число монет по 2 руб. буквой $x$, а число монет по 5 руб. — буквой $y$. Условие «всего 10 монет» запишется так: $x+y=10$.

В уравнении две переменные, и одного условия не хватает, чтобы найти ответ. Подходят числа 3 и 7, подходят 7 и 3, подходят 5 и 5. Причем 3 и 7 — не то же самое, что 7 и 3. Три монеты по 2 руб. и семь по 5 руб. — это $2\cdot3+5\cdot7=41$ руб., а семь по 2 руб. и три по 5 руб. — $2\cdot7+5\cdot3=29$ руб. Важно, какое число — $x$, а какое — $y$.

Представим карту с сеткой. Значения переменных — это адрес точки: она стоит на пересечении столбца $x$ и строки $y$. Адрес записывают парой в скобках: $(3;7)$. Условие задачи похоже на улику: оно не называет адрес, а отсеивает неподходящие. Монет каждого вида хотя бы одна, поэтому $x$ и $y$ — натуральные числа. Таких адресов у улики $x+y=10$ девять: от $(1;9)$ до $(9;1)$.

Сетка 10 на 10: улика x+y=10 дает 9 адресов в натуральных числах; выделены адреса (3;7) и (7;3) — Если $x$ и $y$ натуральные, улике $x+y=10$ подходят девять адресов. Адреса $(3;7)$ и $(7;3)$ — разные

Вопрос «сколько каких монет» пока оставим открытым. Вернемся к нему, когда научимся работать с такими уравнениями.

{"questions":[{"content":"В кошельке монеты по 2 руб. и по 5 руб. Пусть $x$ — число монет по 2 руб., $y$ — число монет по 5 руб. Что означает пара $(2;8)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["2 руб. монетами одного вида и 8 руб. монетами другого","2 монеты по 2 руб. и 8 монет по 5 руб.","8 монет по 2 руб. и 2 монеты по 5 руб.","Всего 2 монеты на сумму 8 руб."],"explanations":["$x$ и $y$ — числа монет, а не суммы в рублях","","Порядок перепутан: первое число пары — значение $x$, то есть число монет по 2 руб.","Пара — это два значения, $x$ и $y$, а не число монет и сумма"],"answer":[1]}},"hints":["Первое число пары — значение $x$, второе — значение $y$.","$x=2$ — две монеты по 2 руб., $y=8$ — восемь монет по 5 руб."],"step":1},{"content":"Тетрадь стоит $x$ руб., ручка — $y$ руб. Три тетради и две ручки вместе стоят 50 руб. Какое уравнение верно описывает условие?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3x+2y=50$","$2x+3y=50$","$3x+2y=5$","$x+y=50$"],"explanations":["","Количества перепутаны: тетрадей три, а не две","Сумма 50 руб., а не 5: число потеряно","Количество предметов не учтено: цена умножается на число штук"],"answer":[0]}},"hints":["Три тетради стоят $3x$ руб., две ручки — $2y$ руб.","Вместе это 50 руб.: $3x+2y=50$."],"step":1}],"mix":1}

Какие уравнения называют линейными

Уравнения $x+y=10$ и $2x+5y=32$ устроены одинаково: каждая переменная умножена на число, эти слагаемые сложены, справа стоит число. Такие уравнения записывают в общем виде $ax+by=c$: число $a$ стоит при $x$, число $b$ — при $y$, $c$ — справа. Сравним их с уравнениями, которые устроены иначе.

Уравнение	Линейное?	Почему
$2x+5y=32$	Да	$a=2$, $b=5$, $c=32$
$4x-y=0$	Да	$a=4$, $b=-1$, $c=0$
$0{,}5x+3y=-2$	Да	$a=0{,}5$, $b=3$, $c=-2$
$3y=6$	Да	это $0x+3y=6$: $a=0$, $b=3$, $c=6$
$xy=44$	Нет	переменные перемножены
$x^2+y^2=25$	Нет	переменные во второй степени
$\frac{2}{x}-y=1$	Нет	переменная в знаменателе

Уликами в этом модуле будут только линейные уравнения: у них подходящие адреса выстраиваются вдоль прямой. Это увидим в разделе 4.

Определение

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида

$$ax+by=c$$

где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$, $c$ — числа.

Числа $a$ и $b$ называют коэффициентами. Они могут быть отрицательными, дробными и даже нулем. Уравнение не обязано сразу выглядеть как $ax+by=c$. Например, $y=3x-2$ — тоже линейное: перенесем $3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $-3x+y=-2$. Так же переносят слагаемые в уравнениях с одной переменной.

{"questions":[{"content":"Распределите уравнения: какие из них линейные с двумя переменными, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Линейное","Не линейное"],"items":[["$3x+y=9$","$x-4y=0$","$y=2x+1$","$0{,}2x-y=3$"],["$xy=10$","$x^2-y=4$","$\\frac{5}{y}+x=2$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Линейное уравнение можно записать в виде $ax+by=c$: каждая переменная в первой степени, умножена на число, переменные не перемножаются и не стоят в знаменателе.","$y=2x+1$ тоже линейное: перенесем $2x$ влево и получим $-2x+y=1$.","Ответ: линейные — $3x+y=9$, $x-4y=0$, $y=2x+1$, $0{,}2x-y=3$; не линейные — $xy=10$, $x^2-y=4$, $\\frac{5}{y}+x=2$."],"step":1}],"mix":1}

Как проверить, подходит ли пара

Иксератопс спрашивает: «Подходит ли пара $(2;3)$ к уравнению $x+2y=8$? Что куда подставить?» Первое число пары — значение $x$, второе — значение $y$. Подставим: $2+2\cdot3=8$ — верное равенство. Значит, пара подходит.

Определение

Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при которой уравнение обращается в верное равенство.

Пару записывают в скобках через точку с запятой: $(x;y)$. На первом месте — значение $x$, на втором — значение $y$.

Проверим еще несколько пар для того же уравнения. Проверку удобно записать таблицей.

Пара	$x$	$y$	Левая часть $x+2y$	Решение?
$(2;3)$	2	3	$2+2\cdot3=8$	Да
$(3;2)$	3	2	$3+2\cdot2=7$	Нет
$(0;4)$	0	4	$0+2\cdot4=8$	Да
$(-2;5)$	−2	5	$-2+2\cdot5=8$	Да
$(4;4)$	4	4	$4+2\cdot4=12$	Нет

Пары $(2;3)$ и $(3;2)$ составлены из одних и тех же чисел, но первая — решение, а вторая нет. На карте это разные точки. В решение могут входить нуль и отрицательные числа: пары $(0;4)$ и $(-2;5)$ подходят.

Ошибка

Разность чисел $x$ и $y$ равна 4: $x-y=4$. Вообразавр предлагает решение $(3;7)$: «$7-3=4$, все сходится».

Решавр проверяет по записи. В паре $(3;7)$ первое число — это $x=3$, второе — $y=7$. Подставим: $3-7=-4$, а нужно 4. Равенство неверное.

Где сломалось рассуждение: Вообразавр подставлял числа в удобном порядке, а записал в другом. Верная пара — $(7;3)$: $7-3=4$. Проверять нужно ту пару, которая записана в ответе, и первое число всегда подставлять вместо $x$.

Улика x−y=4: точка (7;3) подходит, точка (3;7) с теми же числами в другом порядке не подходит — Адрес $(7;3)$ подходит к улике $x-y=4$, а $(3;7)$ — другая точка, и она не подходит

{"questions":[{"content":"Какая пара чисел является решением уравнения $2x+y=15$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(7;2)$","$(3;6)$","$(5;4)$","$(6;3)$"],"explanations":["Подстановка дает $2\\cdot7+2=16$, не 15","Порядок перепутан: при $x=3$, $y=6$ получаем $2\\cdot3+6=12$","Подстановка дает $2\\cdot5+4=14$, не 15",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставим пары по очереди: $x$ — первое число, $y$ — второе.","$2\\cdot6+3=15$ — верно, пара $(6;3)$ подходит."],"step":1},{"content":"Вообразавр утверждает, что пара $(1;5)$ — решение уравнения $x-3y=2$, ведь $5-3\\cdot1=2$. В чем он ошибается?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Числа стоят не на своих местах: $5$ — это $x$, верная запись $(5;1)$","Ошибки нет: $5-3\\cdot1=2$, значит, пара $(1;5)$ подходит","Не подходит ни пара $(1;5)$, ни пара $(5;1)$","Подходят обе пары, $(1;5)$ и $(5;1)$: порядок чисел не важен"],"explanations":["","В записи $(1;5)$ значение $x$ равно 1: $1-3\\cdot5=-14\\ne2$. Проверять нужно ту пару, которая записана","Пара $(5;1)$ подходит: $5-3\\cdot1=2$. Ошибка только в порядке чисел","Порядок важен: при $x=1$, $y=5$ равенство неверно, а при $x=5$, $y=1$ — верно"],"answer":[0]}},"hints":["В паре $(1;5)$ первое число — значение $x$: $x=1$, $y=5$.","Подставим: $1-3\\cdot5=-14\\ne2$. Вообразавр подставил числа не в том порядке, в каком записал.","Подходит пара $(5;1)$: $5-3\\cdot1=2$."],"step":1}],"mix":1}

Почему решений бесконечно много

Пары для уравнения $x+2y=8$ можно не угадывать, а находить. Возьмем любое значение $x$ — получится уравнение с одной переменной $y$, а такие уравнения вы решать умеете.

Удобно один раз выразить $y$ через $x$. Перенесем $x$ в правую часть: $2y=8-x$. Разделим обе части на 2: $y=\frac{8-x}{2}$. Теперь каждое $x$ сразу дает свое $y$.

$x$	$-2$	$0$	$1$	$2$	$4$	$6$
$y=\frac{8-x}{2}$	$5$	$4$	$3{,}5$	$3$	$2$	$1$

Шесть решений уравнения x+2y=8 лежат на одной прямой, точка (1;3,5) стоит между узлами сетки — Шесть найденных адресов улики $x+2y=8$ выстроились вдоль одной прямой, и между ними поместятся новые

Значение $x$ можно взять любое: целое, дробное, отрицательное. Каждый раз найдется свое $y$, поэтому решений у уравнения бесконечно много. На карте подходящие адреса тянутся вдоль одной прямой. Подробно эту линию рассмотрим в следующем уроке.

Правило

Если хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ не равен нулю, уравнение $ax+by=c$ имеет бесконечно много решений.

Чтобы найти решение, задайте значение одной переменной и найдите из уравнения другую.

Почему это верно при любом числе в правой части

Скрыть

Пусть $b\ne0$. Возьмем любое число $x$. Получим уравнение $by=c-ax$ с одной переменной, у него ровно один корень $y=\frac{c-ax}{b}$. Разным $x$ соответствуют разные пары, а чисел $x$ бесконечно много.

Если $b=0$, то по условию $a\ne0$. Тогда $x=\frac{c}{a}$, а $y$ можно взять любым — пар снова бесконечно много.

pary-na-linii

Пример

Найдите три решения уравнения $5x-2y=10$.

Пусть $x=0$: $-2y=10$, $y=-5$. Пара $(0;-5)$.

Пусть $x=2$: $10-2y=10$, $-2y=0$, $y=0$. Пара $(2;0)$.

Задавать можно и $y$. Пусть $y=5$: $5x-10=10$, $5x=20$, $x=4$. В паре по-прежнему первым пишем $x$: $(4;5)$. Проверка: $5\cdot4-2\cdot5=10$ — верно.

Ответ: $(0;-5)$, $(2;0)$, $(4;5)$.

{"questions":[{"content":"Сколько решений имеет уравнение $x+y=7$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет решений","Два решения","Бесконечно много","Одно решение"],"explanations":["Пары подбираются легко, например $(3;4)$","Решений не два: каждому $x$ соответствует свое $y$","","Одно уравнение связывает две переменные: можно взять любое $x$, и $y$ найдется"],"answer":[2]}},"hints":["Для любого $x$ найдется $y=7-x$.","Пар $(x;y)$ бесконечно много: $(0;7)$, $(1;6)$, $(2;5)$ и так далее."],"step":1},{"content":"Выразите $y$ через $x$ из уравнения $3x+y=7$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$y=3x-7$","$y=7+3x$","$y=7-3x$","$y=\\frac{7-x}{3}$"],"explanations":["Знак поменяли у всей правой части, а не у $3x$","При переносе слагаемого знак не изменили","","Разделили на 3 вместо того, чтобы перенести $3x$"],"answer":[2]}},"hints":["Перенесем $3x$ в правую часть с противоположным знаком.","$y=7-3x$."],"step":1},{"content":"Пара $(x;3)$ — решение уравнения $2x-y=5$. Тогда $x=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1$","$-4$","$4$","$8$"],"answer":2}},"hints":["Второе число пары — значение $y$: подставим $y=3$.","$2x-3=5$, $2x=8$, $x=4$.","Ответ: $4$, пара $(4;3)$."],"step":1}],"mix":1}

Когда вариантов остается немного

Вернемся к кошельку. Число монет не может быть дробным или отрицательным, а по условию есть монеты обоих видов. Значит, $x$ и $y$ — натуральные числа. Среди бесконечного множества решений уравнения $x+y=10$ таких пар всего девять. Посчитаем для каждой, сколько денег в кошельке.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	9	8	7	6	5	4	3	2	1
$2x+5y$, руб.	47	44	41	38	35	32	29	26	23

Чтобы выбрать один кошелек, нужна вторая улика. Пусть известно, что в кошельке 32 руб.: $2x+5y=32$. Сумма 32 руб. в таблице стоит только под $x=6$, $y=4$. Вторая улика тоже имеет не одно решение в натуральных числах, и все их можно найти перебором.

Пример

Найдите все пары натуральных чисел, для которых $2x+5y=32$.

Выразим $2x=32-5y$. Число $2x$ четное и 32 четное, поэтому $5y=32-2x$ тоже четное. Значит, $y$ четное.

Переберем четные $y$, пока $32-5y>0$: при $y=2$ получаем $2x=22$, $x=11$; при $y=4$ — $2x=12$, $x=6$; при $y=6$ — $2x=2$, $x=1$; при $y=8$ уже $32-40<0$.

Ответ: $(11;2)$, $(6;4)$, $(1;6)$.

Прямые x+y=10 и 2x+5y=32 пересекаются в одной точке (6;4) — Девять адресов первой улики и три адреса второй встречаются в одной точке $(6;4)$

Ответ на вопрос из начала урока: в кошельке 6 монет по 2 руб. и 4 монеты по 5 руб. Проверка: $6+4=10$ монет, $2\cdot6+5\cdot4=32$ руб. Одной улики было мало, две дали один адрес. Как находить общий адрес двух улик без перебора, вы узнаете в следующих уроках модуля.

{"questions":[{"content":"Сколько существует пар натуральных чисел $(x;y)$, для которых $x+y=5$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Натуральные числа начинаются с 1. Перебираем $x$: 1, 2, 3, 4.","Пары: $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;2)$, $(4;1)$. Ответ: 4."],"step":1},{"content":"Найдите все пары натуральных чисел $(x;y)$, для которых $4x+3y=24$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Две пары: $(3;4)$ и $(4;3)$","Три пары: $(0;8)$, $(3;4)$, $(6;0)$","Одна пара: $(3;4)$","Таких пар нет"],"explanations":["Пара $(4;3)$ не подходит: $4\\cdot4+3\\cdot3=25\\ne24$. Порядок чисел в паре важен","В парах $(0;8)$ и $(6;0)$ есть нуль, а нуль не натуральное число","","Пара $(3;4)$ подходит: $4\\cdot3+3\\cdot4=24$"],"answer":[2]}},"hints":["Натуральные числа — это 1, 2, 3, … Нуль не натуральное число.","Выразим $4x=24-3y$: число $3y$ должно делиться на 4, значит, $y$ делится на 4. При $y=4$: $4x=12$, $x=3$. При $y=8$: $4x=0$, $x=0$ — не натуральное.","Ответ: одна пара $(3;4)$."],"step":1}],"mix":1}

Одну улику можно записать по-разному

Сравним уравнения $2x+4y=6$ и $x+2y=3$. Второе получается из первого делением обеих частей на 2. Проверим несколько пар.

Пара	$2x+4y$	$x+2y$
$(3;0)$	6	3
$(1;1)$	6	3
$(-1;2)$	6	3
$(5;-1)$	6	3

Уравнения 2x+4y=6 и x+2y=3 дают одну и ту же прямую и одни и те же четыре точки — У уравнений $2x+4y=6$ и $x+2y=3$ одни и те же адреса: это одна улика, записанная по-разному

Четыре пары — еще не доказательство. Возьмем любую пару, для которой $2x+4y=6$. Разделим обе части на 2 — получим $x+2y=3$: пара подходит и ко второму уравнению. Обратно: умножив $x+2y=3$ на 2, вернемся к $2x+4y=6$. Значит, решения у уравнений одни и те же.

Определение

Равносильные уравнения — уравнения, которые имеют одни и те же решения.

Правило

Уравнение с двумя переменными заменяется равносильным, если:

перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак;
умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю.

Пример

Равносильны ли уравнения $3x-6y=12$ и $x-2y=4$? А уравнения $3x-6y=12$ и $x-6y=4$?

Разделим обе части уравнения $3x-6y=12$ на 3: каждое слагаемое делится на 3, получаем $x-2y=4$. Первые два уравнения равносильны.

Во втором случае на 3 разделили только $3x$ и 12, а $-6y$ оставили. Проверим парой $(2;-1)$: $3\cdot2-6\cdot(-1)=12$ — верно, а $2-6\cdot(-1)=8\ne4$. Пара подходит к одному уравнению и не подходит к другому. Эти уравнения не равносильны.

Обратите внимание

Умножать обе части на нуль нельзя. Из $x+2y=3$ получится $0x+0y=0$, и этому равенству подходит любая пара, например $(5;5)$, хотя $5+2\cdot5=15\ne3$. Улика перестала отсеивать адреса.

Уравнение $0x+0y=5$ не имеет решений: при любых $x$ и $y$ левая часть равна 0, а $0\ne5$. Это единственный случай, когда линейному уравнению не подходит ни одна пара: оба коэффициента равны нулю, а $c\ne0$.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$3x+6y=9$","$x-y=2$","$4x+2y=8$","$\\frac12x+y=1$"],"items":["$x+2y=3$","$5x-5y=10$","$2x+y=4$","$x+2y=2$","$x+2y=9$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и равносильное ему","hints":["Равносильное уравнение получается, если обе части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Делят или умножают каждое слагаемое.","$3x+6y=9$ — делим на 3; $x-y=2$ — умножаем на 5; $4x+2y=8$ — делим на 2; $\\frac12x+y=1$ — умножаем на 2.","Ответ: $3x+6y=9$ — $x+2y=3$; $x-y=2$ — $5x-5y=10$; $4x+2y=8$ — $2x+y=4$; $\\frac12x+y=1$ — $x+2y=2$; уравнение $x+2y=9$ лишнее."],"step":1},{"content":"Сколько решений имеет уравнение $0x+0y=5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Одно решение $(0;0)$","Бесконечно много","Два решения","Нет решений"],"explanations":["Подставим: $0\\cdot0+0\\cdot0=0\\ne5$, пара не подходит","Это верно для $ax+by=c$ с $a\\ne0$ или $b\\ne0$, а здесь оба коэффициента нули","Подстановка любой пары даст $0=5$, число решений не может быть двумя",""],"answer":[3]}},"hints":["Левая часть при любых $x$ и $y$ равна 0.","Равенство $0=5$ неверно, поэтому нет ни одной пары. Ответ: нет решений."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Линейное уравнение с двумя переменными описывает ситуацию, где искомых величин две, а условие одно: монеты в кошельке, покупка двух товаров, два числа с известной разностью. Такое уравнение не дает ответ сразу, но сужает выбор. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте карту.

Дальше в модуле вы увидите линию улики целиком, а затем научитесь находить адрес, который подходит сразу к двум уликам.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя записать ответ просто как два числа через запятую?

Потому что тогда непонятно, какое число — $x$, а какое — $y$. Пары $(7;3)$ и $(3;7)$ — разные, и решением уравнения $x-y=4$ является только первая. Запись $(x;y)$ договаривается о порядке: первым всегда стоит $x$.

Можно ли записать решение как $x=7$, $y=3$?

Смысл тот же, но принято записывать пару: «Ответ: $(7;3)$». Так короче, и такую запись используют в следующих уроках, когда уравнений станет два.

Если решений бесконечно много, как записать ответ?

Перечислить все решения нельзя, поэтому в заданиях обычно просят найти одно или несколько решений, решение с заданным $x$ или все решения в натуральных числах. Можно также выразить одну переменную через другую, например $y=\frac{8-x}{2}$: эта формула описывает все решения сразу.

Уравнение $3y=6$ — с одной переменной или с двумя?

Все зависит от того, о каких переменных идет речь. Если в задаче переменные $x$ и $y$, то $3y=6$ — это $0x+3y=6$: $y=2$, а $x$ любое. Решений бесконечно много: $(0;2)$, $(1;2)$, $(-5;2)$ и так далее.

Зачем нужны равносильные уравнения?

Чтобы упрощать запись, не меняя решений. Уравнение $2x+4y=6$ удобнее заменить на $x+2y=3$: числа меньше, ошибиться труднее. Так же упрощают уравнения в задачах, прежде чем искать ответ.

Награды за урок