7 класс Алгебра Введение в алгебру Алгебраические выражения

Линейное уравнение с одной переменной

Содержание

В уроке «Уравнение и его корни» мы выяснили, что с обеими частями уравнения можно делать одно и то же: переносить слагаемые с противоположным знаком и делить на число, не равное нулю. В этом уроке применим эти правила к самым частым уравнениям — линейным. Научимся решать их по алгоритму, разберем три ошибки, которые ловит проверка, и выясним, когда у линейного уравнения нет корней или их бесконечно много. А заодно ответим на житейский вопрос: с какого посещения карта в бассейн выгоднее разовых билетов?

Уравнение ax = b: делим гирьки поровну

На левой чаше три одинаковые коробки, на правой — двенадцать гирек по $1$ кг. Весы в равновесии: $3x = 12$. Разложим гирьки на три равные кучки — против каждой коробки окажется по четыре гирьки. Значит, одна коробка весит $4$ кг: $x = 12 : 3 = 4$.

Уравнение 3x = 12 на весах: три одинаковые коробки уравновешивают 12 гирек по 1 кг. Если разложить гирьки на три равные кучки, против каждой коробки окажется 4 гирьки, значит x = 4 — Три коробки уравновешивают $12$ гирек — каждая коробка уравновешивает $4$ гирьки

Определение

Уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа, называют линейным уравнением с одной переменной. Число $a$ — коэффициент при переменной.

Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень: $$x = \frac{b}{a}$$

Делим всегда на коэффициент при $x$ — на то число, которое стоит перед переменной. Коэффициент может быть отрицательным или дробным:

$$-5x = 15, \quad x = \frac{15}{-5} = -3 \qquad\qquad 4x = 2, \quad x = \frac{2}{4} = 0{,}5$$

Обратите внимание

Запись $-x$ означает $-1 \cdot x$: коэффициент здесь равен $-1$. Поэтому из $-x = 5$ получается $x = \frac{5}{-1} = -5$, а не $x = 5$.

Пример

1. Решим уравнение $\frac{2}{3}x = 8$. Коэффициент — дробь $\frac{2}{3}$. Делим обе части на него, то есть умножаем на обратное число $\frac{3}{2}$:

$$x = 8 : \frac{2}{3} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12.$$

Проверка: $\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$. На весах: две трети коробки уравновешивают $8$ гирек, значит, треть коробки — $4$ гирьки, а целая коробка — $12$.

Частая ошибка — умножить на коэффициент вместо деления: $x = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$. Проверка ее ловит: $\frac{2}{3} \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{9}$, а не $8$.

2. Решим уравнение $-0{,}4x = 2$. Делим на коэффициент $-0{,}4$:

$$x = \frac{2}{-0{,}4} = -\frac{20}{4} = -5.$$

Проверка: $-0{,}4 \cdot (-5) = 2$. Знак корня проверьте отдельно: положительное число делим на отрицательное — корень отрицательный.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Линейное уравнение вида $ax = b$","Не линейное уравнение"],"items":[["$7x = 21$","$-x = 4$","$0{,}5x = 3$"],["$x^2 = 16$","$\\frac{6}{x} = 2$","$x \\cdot x = 9$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["В линейном уравнении переменная стоит в первой степени и умножается на число. Ее не возводят в квадрат и на нее не делят.","$x^2 = 16$ и $x \\cdot x = 9$ содержат квадрат переменной, в $\\frac{6}{x} = 2$ на переменную делят. Остальные три — вида $ax = b$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $-6x = 42$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-7","−7"]}},"hints":["Коэффициент при $x$ равен $-6$. Разделите обе части на $-6$.","$x = \\frac{42}{-6} = -7$"],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\frac{3}{4}x = 6$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Разделите обе части на коэффициент $\\frac{3}{4}$, то есть умножьте на $\\frac{4}{3}$.","$x = 6 \\cdot \\frac{4}{3} = 8$. Проверка: $\\frac{3}{4} \\cdot 8 = 6$."],"step":1}],"mix":1}

Как решить уравнение, если x есть в обеих частях

Решим уравнение $5x + 2 = 3x + 10$. На левой чаше пять коробок и две гирьки, на правой — три коробки и десять гирек. Снимем с обеих чаш по три коробки: останется $2x + 2 = 10$. Снимем по две гирьки: $2x = 8$. Оставим на каждой чаше половину: $x = 4$.

Решение уравнения 5x + 2 = 3x + 10 на весах: снимаем с обеих чаш по три коробки и получаем 2x + 2 = 10, снимаем по две гирьки и получаем 2x = 8, оставляем на каждой чаше половину и получаем x = 4 — Каждое действие выполняем с обеими чашами — равновесие сохраняется

Снять одинаковые коробки с обеих чаш — то же самое, что перенести $3x$ в левую часть с противоположным знаком. Запишем решение без весов:

$$5x-3x = 10-2, \qquad 2x = 8, \qquad x = 4$$

Алгоритм решения

Перенесите слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки перенесенных слагаемых.
Приведите подобные слагаемые: получится уравнение $ax = b$.
Разделите обе части на коэффициент $a$.
Проверьте корень подстановкой в исходное уравнение.

Пример

Решим уравнение $7-2x = 3x-8$. Положить на чашу «минус две коробки» нельзя, но весы все равно помогают: добавим к обеим частям по $2x$ и по $8$. Равновесие сохранится, а вычитаемые исчезнут:

$$7 + 8 = 3x + 2x, \qquad 15 = 5x, \qquad x = 3.$$

Теперь на одной чаше $15$ гирек, на другой — $5$ коробок, и каждая коробка весит $3$ кг. Переносом то же решение записывается короче:

$$-2x-3x = -8-7, \qquad -5x = -15, \qquad x = 3.$$

Проверка: $7-2 \cdot 3 = 1$ и $3 \cdot 3-8 = 1$. Части равны, корень найден верно.

Уравнение 7 − 2x = 3x − 8 на весы не положить, но к обеим частям можно добавить по 2x и по 8. Получается 7 + 8 = 3x + 2x, то есть 15 = 5x: пятнадцать гирек уравновешивают пять коробок, поэтому x = 3 — К обеим частям добавили по $2x$ и по $8$: получилось $15 = 5x$, и такое равенство уже можно положить на весы

Перенос слагаемого с противоположным знаком — это и есть «добавить к обеим частям одно и то же» или «вычесть из обеих частей одно и то же». Поэтому правило переноса работает с любыми числами, в том числе отрицательными и дробными.

Пример

Найдем корень уравнения $0{,}6x-1{,}5 = 0{,}2x + 0{,}5$. Такие уравнения встречаются в задании 9 ОГЭ.

Можно решать прямо с десятичными дробями:

$$0{,}6x-0{,}2x = 0{,}5 + 1{,}5, \qquad 0{,}4x = 2, \qquad x = 2 : 0{,}4 = 5.$$

А можно сначала умножить обе части на $10$ — корень от этого не изменится, а дроби исчезнут:

$$6x-15 = 2x + 5, \qquad 4x = 20, \qquad x = 5.$$

Проверка: $0{,}6 \cdot 5-1{,}5 = 1{,}5$ и $0{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 1{,}5$. Ответ: $5$.

Пример

Разовое посещение бассейна стоит $250$ рублей. Можно купить карту за $600$ рублей, тогда каждое посещение обходится в $100$ рублей. При каком числе посещений расходы одинаковы?

Пусть посещений $n$. Без карты расходы $250n$ рублей, с картой — $600 + 100n$ рублей. Составим уравнение:

$$600 + 100n = 250n, \qquad 600 = 150n, \qquad n = 4.$$

Проверка: $600 + 100 \cdot 4 = 1000$ и $250 \cdot 4 = 1000$. При $4$ посещениях расходы равны, а если ходить чаще, карта выгоднее.

uploaded-balance-solver-2f8f50d19b24

{"questions":[{"content":"Как из уравнения $7-2x = 3x-8$ получили $7+8 = 3x+2x$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["К обеим частям прибавили $2x$ и $8$","Перенесли $-2x$ и $-8$ без смены знака","Прибавили $2x$ и $8$ только к левой части","Умножили обе части на $-1$"],"explanations":["","Без смены знака получилось бы $7-8 = 3x-2x$.","Тогда справа ничего бы не изменилось и осталось бы $3x-8$. Равновесие нарушено.","Умножение на $-1$ дало бы $-7+2x = -3x+8$."],"answer":[0]}},"hints":["Сравните части: слева исчезло $-2x$ и появилось $+8$, справа исчезло $-8$ и появилось $+2x$.","Чтобы убрать $-2x$ и $-8$, к обеим частям прибавили $2x$ и $8$ — одно и то же к обеим чашам."],"step":1},{"content":"Расположите шаги решения уравнения $4x + 1 = 2x + 9$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$4x-2x = 9-1$","$2x = 8$","$x = 4$","Проверка: $4 \\cdot 4 + 1 = 17$ и $2 \\cdot 4 + 9 = 17$"]}},"hints":["Сначала переносим слагаемые: с переменной — влево, числа — вправо. Затем приводим подобные и делим на коэффициент.","$4x-2x = 9-1 \\Rightarrow 2x = 8 \\Rightarrow x = 4$, в конце — проверка."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $0{,}7x + 1{,}2 = 0{,}2x + 3{,}7$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Перенесите $0{,}2x$ влево, а $1{,}2$ вправо со сменой знаков: $0{,}7x-0{,}2x = 3{,}7-1{,}2$. Можно сначала умножить обе части на $10$.","$0{,}5x = 2{,}5$, $x = 5$. Проверка: $3{,}5 + 1{,}2 = 4{,}7$ и $1 + 3{,}7 = 4{,}7$."],"step":1}],"mix":1}

Три ошибки, которые ловит проверка

Даже зная алгоритм, легко ошибиться в одном знаке. Вот три ошибки, которые встречаются чаще всего. У каждой есть общая черта: проверка подстановкой сразу показывает, что ответ неверный. На весах любая из этих ошибок — действие только с одной чашей: гирьки сняли слева, а справа добавили, и равновесие нарушилось.

Три частые ошибки при решении линейных уравнений: перенос слагаемого без смены знака, деление в обратную сторону и потерянный минус перед x. Каждую ловит проверка подстановкой — Неверные шаги выделены красным, внизу — верное решение и проверка

Ошибка

Знак при переносе. $3x + 5 = 11 \Rightarrow 3x = 11 + 5$ — число $5$ перенесли без смены знака. Верно: $3x = 11-5 = 6$, $x = 2$.

Деление «наоборот». $3x = 12 \Rightarrow x = 3 : 12$. Делить нужно правую часть на коэффициент: $x = 12 : 3 = 4$.

Потерянный минус. $-x = 5 \Rightarrow x = 5$. Коэффициент при $x$ равен $-1$, поэтому $x = -5$.

Важно

Проверка занимает полминуты, но ловит все три ошибки. Подставьте найденное число в исходное уравнение и вычислите обе части отдельно. Например, для неверного ответа $x = 0{,}25$ в уравнении $3x = 12$ получаем $3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75$, а не $12$.

Пример

Ученик решил уравнение $4-3x = 2x-11$ так:

$$-3x-2x = -11 + 4, \qquad -5x = -7, \qquad x = 1{,}4.$$

Проверим ответ. Левая часть: $4-3 \cdot 1{,}4 = 4-4{,}2 = -0{,}2$. Правая часть: $2 \cdot 1{,}4-11 = 2{,}8-11 = -8{,}2$. Части не равны — где-то ошибка.

Ищем ее по шагам. Число $4$ стояло в левой части со знаком «плюс». При переносе вправо знак меняется, поэтому справа должно быть $-11-4$, а не $-11 + 4$. Верное решение:

$$-3x-2x = -11-4, \qquad -5x = -15, \qquad x = 3.$$

Проверка: $4-3 \cdot 3 = -5$ и $2 \cdot 3-11 = -5$. Ответ: $3$.

{"questions":[{"content":"Ученик решил уравнение $8x = 2$ и получил $x = 4$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Разделил коэффициент на правую часть, а нужно $x = \\frac{2}{8} = 0{,}25$","Ошибки нет","Нужно было вычесть: $x = 2-8 = -6$","Нужно было умножить: $x = 16$"],"explanations":["","Проверка: $8 \\cdot 4 = 32$, а не $2$.","Проверка: $8 \\cdot (-6) = -48$, а не $2$. Обе части делят на коэффициент, а не вычитают.","Проверка: $8 \\cdot 16 = 128$, а не $2$."],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте $x = 4$: $8 \\cdot 4 = 32$, а должно быть $2$.","Делят правую часть на коэффициент: $x = \\frac{2}{8} = 0{,}25$. Проверка: $8 \\cdot 0{,}25 = 2$."],"step":1},{"content":"Ученик решил уравнение $10-x = 4$ и записал: $-x = -6$, $x = -6$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Потерян минус: из $-x = -6$ следует $x = 6$","Ошибка при переносе: нужно $-x = 4 + 10$","Ошибки нет","Нужно было разделить на $10$"],"explanations":["","Перенос выполнен верно: $-x = 4-10 = -6$.","Проверка: $10-(-6) = 16$, а не $4$.","Коэффициент при $x$ равен $-1$, делить нужно на него."],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте $x = -6$: $10-(-6) = 16$, а должно быть $4$.","Из $-x = -6$ делим на $-1$: $x = 6$. Проверка: $10-6 = 4$."],"step":1}],"mix":1}

Всегда ли у линейного уравнения есть корень

Решим уравнение $2x + 3 = 2x + 7$. Перенесем $2x$ влево: $2x-2x = 7-3$, то есть $0x = 4$. На весах это значит, что с обеих чаш сняли по две коробки и коробок не осталось. На чашах $3$ и $7$ гирек — весы не уравновесить ни при какой массе коробки. Ни одно число, умноженное на $0$, не дает $4$: корней нет.

А в уравнении $3x + 3 = 3(x + 1)$ после раскрытия скобок и переноса получаем $0x = 0$. Коробки сняли, а гирек на чашах поровну — равновесие при любой массе коробки. Любое число, умноженное на $0$, дает $0$: корень — любое число.

Слева уравнение 2x + 3 = 2x + 7: после того как с обеих чаш сняли по две коробки, остаются 3 и 7 гирек, весы никогда не уравновесятся, корней нет. Справа 3x + 3 = 3(x + 1): после снятия коробок гирек поровну, корень — любое число — $0x = 4$ — корней нет, $0x = 0$ — корень любое число

Уравнение $ax = b$	Пример	Корни
$a \ne 0$	$2x = 8$	один корень: $x = \frac{b}{a}$
$a = 0$, $b \ne 0$	$0x = 4$	корней нет
$a = 0$, $b = 0$	$0x = 0$	любое число

Ошибка

Получив $0x = 4$, иногда пишут «$x = 0$» или «$x = 4$». Проверим: $0 \cdot 0 = 0$ и $0 \cdot 4 = 0$ — ни то ни другое не равно $4$. Верный ответ: корней нет.

Пример

1. Решим уравнение $5x-3 = 5(x-1) + 2$. Раскроем скобки в правой части: $5x-5 + 2 = 5x-3$. Обе части одинаковые, после переноса получаем $0x = 0$. Корень — любое число. Проверим на двух числах: при $x = 0$ обе части равны $-3$, при $x = 10$ обе части равны $47$.

2. При каком значении $b$ уравнение $4x + b = 4x + 7$ имеет бесконечно много корней? После переноса: $0x = 7-b$. Корень — любое число, если $7-b = 0$, то есть при $b = 7$. При любом другом $b$ корней нет.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Один корень","Нет корней","Корень — любое число"],"items":[["$4x = 0$","$3x + 1 = x + 7$"],["$0x = 6$","$5x-2 = 5x + 1$"],["$0x = 0$","$2(x + 4) = 2x + 8$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Приведите уравнение к виду $ax = b$ и посмотрите на $a$ и $b$.","$4x = 0$: $x = 0$; $3x + 1 = x + 7$: $x = 3$. $0x = 6$ и $5x-2 = 5x + 1$ ($0x = 3$) — нет корней. $0x = 0$ и $2(x + 4) = 2x + 8$ — любое число."],"step":1},{"content":"Ученик решил уравнение $6x-1 = 6x + 5$ и получил $0x = 6$. Какой ответ верный?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корней нет","$x = 0$","$x = 6$","Корень — любое число"],"explanations":["","Проверка: $6 \\cdot 0-1 = -1$, а $6 \\cdot 0 + 5 = 5$.","Проверка: $6 \\cdot 6-1 = 35$, а $6 \\cdot 6 + 5 = 41$.","При $0x = 6$ левая часть всегда равна $0$, а не $6$."],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть $0 \\cdot x$ равна $0$ при любом $x$.","$0 = 6$ не выполняется ни при каком $x$, значит, корней нет."],"step":1},{"content":"При каком значении $b$ уравнение $3x + b = 3x-2$ имеет бесконечно много корней?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-2","−2"]}},"hints":["Перенесите слагаемые: $3x-3x = -2-b$, то есть $0x = -2-b$.","Корень — любое число, если $-2-b = 0$, то есть $b = -2$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Линейное уравнение решается в несколько шагов: слагаемые с переменной — влево, числа — вправо со сменой знака, затем приводим подобные и делим на коэффициент. На весах каждый шаг — это одинаковое действие с обеими чашами: снять, добавить или разделить поровну. Поэтому перенос работает и с отрицательными, и с дробными числами. Если коробок не осталось, а гирек на чашах не поровну, корней нет; если поровну — подходит любое число. Ошибку в знаке или в делении сразу показывает проверка подстановкой.

Зачем это нужно? Линейным уравнением записываются многие вопросы вида «когда два способа оплаты обойдутся одинаково», «через сколько часов один догонит другого», «сколько стоил товар до скидки». Такие уравнения есть в ВПР и в задании 9 ОГЭ. В следующем уроке «Уравнения, которые сводятся к линейным» разберем уравнения, в которых скобки и дроби нужно сначала раскрыть и убрать, а потом решать по тому же алгоритму. Дальше этот же алгоритм понадобится в текстовых задачах и при работе с линейной функцией $y = kx + b$.

Часто задаваемые вопросы

Какое уравнение называют линейным?

Уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа. Уравнения вроде $5x + 2 = 3x + 10$ переносом слагаемых сводятся к этому виду: $2x = 8$.

Как запомнить, на что делить?

Делим на коэффициент — число перед $x$. На весах: если три коробки уравновешивают $12$ гирек, гирьки делят на $3$ кучки, а не наоборот. Поэтому $x = \frac{b}{a}$, а не $\frac{a}{b}$.

Что делать, если коэффициент — дробь?

Делить на дробь — значит умножать на обратную ей дробь: из $\frac{2}{3}x = 8$ получаем $x = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$. С десятичными коэффициентами удобно сначала умножить обе части на $10$ или $100$: $0{,}4x = 2$ равносильно $4x = 20$.

Можно ли собирать слагаемые с x в правой части?

Да. Важно лишь выполнять одно и то же действие с обеими частями. В уравнении $7-2x = 3x-8$ удобно перенести $-2x$ вправо, а $-8$ влево: $15 = 5x$, $x = 3$. Так коэффициент при $x$ получается положительным и меньше шансов ошибиться в знаке.

Зачем делать проверку, если решение выглядит верным?

Проверка подстановкой за полминуты ловит ошибки в знаке и делении — самые частые ошибки в уравнениях. Если левая и правая части при найденном числе не равны, ответ неверный.

Награды за урок