Карточки
Тесты
Зави
Прямоугольная система координат и координаты точки
Прямоугольная система координат и координаты точки
В уроке «Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки» точку на прямой задавало одно число — номер столба на шоссе. На плоскости одного числа мало, нужны два. В этом уроке вы узнаете, как устроена прямоугольная система координат, научитесь записывать положение точки парой чисел и отмечать точку по такой паре, определять координатную четверть по знакам, находить расстояние от точки до осей и симметричные точки.
Одного числа мало: плоскости нужны две оси
На шоссе из прошлого урока место задает одно число: столб $3$ — ровно одна точка. Теперь представьте клетчатую карту. Фраза «три клетки правее начала» места не задает: таких точек целый столбец, выше и ниже. Чтобы найти точку, нужно второе число — на сколько клеток подняться или опуститься. Так же устроен билет в кинозал: на нем два числа, ряд и место. Вопрос, к которому вернемся в следующем разделе: ряд $3$, место $5$ и ряд $5$, место $3$ — это одно и то же кресло?
Поэтому на плоскости берут два шоссе — две координатные прямые. Одна идет горизонтально, ее обозначают $Ox$. Другая идет вертикально, ее обозначают $Oy$. Прямые перпендикулярны и пересекаются в точке $O$, где у обеих стоит число $0$. Положительное направление оси $Ox$ — вправо, оси $Oy$ — вверх. Теперь клетчатый лист стал картой, на которой у каждой точки есть адрес.
Определение
Прямоугольная система координат — две перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчета $O$. Горизонтальную ось $Ox$ называют осью абсцисс, вертикальную ось $Oy$ — осью ординат, точку $O$ — началом координат. Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.
Обратите внимание
Единичные отрезки на осях обычно одинаковые, но могут быть и разными. В уроке «Чтение графиков реальных зависимостей» по горизонтали откладывают часы, а по вертикали — километры или градусы, и одна клетка на разных осях означает разное. Перед чтением чертежа смотрите на подписи обеих осей.
Сначала вправо, потом вверх: порядок чисел — часть адреса
Отметим на карте точку. Из начала $O$ пройдем $3$ клетки вправо вдоль оси $Ox$, а затем $5$ клеток вверх. Адрес этой точки записывают так: $A(3;5)$. Первое число — шаг вдоль оси $Ox$, второе — вдоль оси $Oy$. Если пройти сначала $5$ клеток вправо, а потом $3$ вверх, получится другая точка — $B(5;3)$.
Теперь ответ на вопрос о кинозале. Ряд $3$, место $5$ и ряд $5$, место $3$ — разные кресла. Билет читают однозначно, потому что заранее договорились: сначала ряд, потом место. В координатах договоренность такая же: сначала число по оси $Ox$, потом по оси $Oy$. Поэтому порядок чисел — часть адреса.
Определение
Пару чисел, которая задает положение точки на плоскости, называют координатами точки. Первое число — абсцисса $x$ (шаг вдоль оси $Ox$), второе — ордината $y$ (шаг вдоль оси $Oy$). Записывают $A(x;y)$, между числами ставят точку с запятой.
Как прочитать адрес готовой точки? Проведите из нее пунктир перпендикулярно оси $Ox$: он упрется в абсциссу. Пунктир перпендикулярно оси $Oy$ укажет ординату. Такие пунктиры попадают ровно в одно число на каждой оси. Поэтому у каждой точки одна пара координат, а каждой паре соответствует одна точка — адрес не бывает двойным.
Пример
Задача. Точка $K$ лежит на $6$ клеток правее оси $Oy$ и на $2$ клетки выше оси $Ox$. Запишите ее координаты.
Решение. Пунктир от $K$ к оси $Ox$ упирается в число $6$ — это абсцисса. Пунктир к оси $Oy$ упирается в число $2$ — это ордината. Записываем сначала абсциссу: $K(6;2)$.
Проверка. Точка $(2;6)$ стоит левее и выше: от оси $Oy$ до нее $2$ клетки, а не $6$. Это другая точка.
Ответ: $K(6;2)$.
Ошибка
Вообразавр отмечает точку $(3;5)$ так: проходит $5$ клеток вправо и $3$ вверх. Проверим по рисунку выше. Точка, в которую он попал, стоит на $5$ клеток правее оси $Oy$, значит, ее абсцисса $5$, а адрес — $(5;3)$, а не $(3;5)$. Рассуждение сломалось на первом шаге: первое число адреса откладывают по оси $Ox$, то есть вправо или влево. Проверяйте себя так: отметив точку, прочитайте ее адрес пунктирами и сравните с заданным.
Минус показывает направление: влево или вниз
На шоссе из прошлого урока столб $-3$ стоит левее нуля. На карте так же: отрицательная абсцисса — шаг влево от оси $Oy$, отрицательная ордината — шаг вниз от оси $Ox$. Точка $(-3;2)$: $3$ клетки влево, потом $2$ вверх. Точка $(2;-3)$: $2$ клетки вправо, потом $3$ вниз.
Оси делят плоскость на четыре части — координатные четверти. Их нумеруют римскими цифрами против часовой стрелки, начиная с правой верхней. Внутри одной четверти все точки отходят от начала в одних и тех же направлениях, поэтому знаки координат у них одинаковые.
Правило
Четверть точки $(x;y)$ определяют по знакам ее координат:
- I четверть: $x>0$, $y>0$ (вправо и вверх);
- II четверть: $x<0$, $y>0$ (влево и вверх);
- III четверть: $x<0$, $y<0$ (влево и вниз);
- IV четверть: $x>0$, $y<0$ (вправо и вниз).
Пример
Задача. В каких четвертях лежат точки $(5;-2)$ и $(-1;7)$?
Решение. У точки $(5;-2)$ абсцисса положительна — шаг вправо, ордината отрицательна — шаг вниз. Вправо и вниз — IV четверть. У точки $(-1;7)$ шаг влево и вверх — II четверть.
Ответ: IV и II.
Ошибка
Точку $(-4;-1)$ относят к I четверти: «числа $4$ и $1$ положительные». Проверим по маршруту: $4$ клетки влево, затем $1$ вниз — точка оказалась левее и ниже начала, а в I четверти все точки правее и выше. Рассуждение сломалось, когда отбросили минусы: знак координаты и есть направление шага. Точка $(4;1)$ — совсем другое место карты.
Ноль шагов в адресе: точка лежит на оси
Пройдем по адресу $A(0;3)$: вправо $0$ клеток — остаемся на оси $Oy$, затем $3$ клетки вверх по самой оси. Точка $A$ лежит на оси $Oy$. По адресу $B(-4;0)$: $4$ клетки влево по оси $Ox$, вверх $0$ — точка $B$ лежит на оси $Ox$. А в начале координат $O(0;0)$ не нужно делать ни одного шага.
Правило
Если абсцисса точки равна $0$, точка лежит на оси $Oy$. Если ордината равна $0$, точка лежит на оси $Ox$. Начало координат $O(0;0)$ лежит на обеих осях. Точки осей не принадлежат ни одной четверти.
Почему точки осей не попадают в четверти? Четверти — части плоскости между осями, а сами оси — их границы. Это видно и по знакам: у точки на оси одна координата равна $0$, а нуль не положителен и не отрицателен, поэтому правило знаков из прошлого раздела к ней не подходит.
Ошибка
Точку $(0;7)$ относят к оси $Ox$: «ведь $x=0$». Проверим по маршруту: нуль стоит на месте абсциссы, значит, вправо и влево шагов нет, а $7$ клеток пройдено вверх — вдоль оси $Oy$. Точка лежит на оси $Oy$. Рассуждение сломалось на том, что ось выбрали по нулевой координате. На самом деле точка лежит на той оси, вдоль которой она ушла от начала.
Адреса между узлами сетки и расстояние до осей
Не на каждом чертеже одна клетка равна единице. Если одна клетка равна $0{,}5$, то $7$ клеток — это $7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5$ единицы. Точка $C$ на рисунке стоит на $7$ клеток левее оси $Oy$ и на $4$ клетки выше оси $Ox$. Ее адрес — $C(-3{,}5;\,2)$. Это та же цена деления, что на шоссе из прошлого урока: прежде чем считать клетки, узнайте, сколько стоит одна клетка.
Расстояние от точки до оси — длина перпендикуляра к этой оси. Перпендикуляр к оси $Oy$ горизонтален: его длина показывает, на сколько точка отошла вправо или влево, то есть модуль абсциссы. Перпендикуляр к оси $Ox$ вертикален — его длина равна модулю ординаты. Модуль здесь работает так же, как в прошлом уроке: это расстояние до нулевого столба без учета направления.
Правило
Расстояние от точки $(x;y)$ до оси $Oy$ равно модулю абсциссы, до оси $Ox$ — модулю ординаты:
$$\text{до } Oy:\ \lvert x \rvert, \qquad \text{до } Ox:\ \lvert y \rvert$$
Пример
Задача. Найдите расстояния от точки $D(4{,}5;\,-1{,}5)$ до осей координат.
Решение. До оси $Oy$ идем по горизонтали: $\lvert 4{,}5 \rvert = 4{,}5$. До оси $Ox$ идем по вертикали: $\lvert -1{,}5 \rvert = 1{,}5$. На сетке с клеткой $0{,}5$ это $9$ клеток и $3$ клетки.
Ответ: до оси $Oy$ — $4{,}5$, до оси $Ox$ — $1{,}5$.
Ошибка
Расстояние до оси $Ox$ ищут по абсциссе: «ось $Ox$ — значит, берем $x$». Для точки $D(4{,}5;\,-1{,}5)$ получают $4{,}5$. Проверка: до оси $Ox$ точка опускается по вертикали на $3$ клетки по $0{,}5$, это $1{,}5$. Рассуждение сломалось на направлении: к оси $Ox$ идем перпендикулярно ей, то есть вверх или вниз, а это шаг ординаты. Вторая ошибка — ответ $-1{,}5$: расстояние не бывает отрицательным.
Зеркальные адреса: отражение переворачивает шаг
Возьмем точку $P(4;2)$: $4$ клетки вправо, $2$ вверх. Отразим ее в оси $Ox$, как в зеркале. Шаг вправо остается тем же, но вместо подъема на $2$ клетки получается спуск на $2$ клетки: $P_1(4;-2)$. В оси $Oy$ остается подъем, а вместо $4$ клеток вправо — $4$ влево: $P_2(-4;2)$. При симметрии относительно начала $O$ переворачиваются оба шага: $P_3(-4;-2)$.
Правило
- Точки $(x;y)$ и $(x;-y)$ симметричны относительно оси $Ox$.
- Точки $(x;y)$ и $(-x;y)$ симметричны относительно оси $Oy$.
- Точки $(x;y)$ и $(-x;-y)$ симметричны относительно начала координат.
Почему меняется знак только одной координаты? Ось $Ox$ перпендикулярна отрезку $PP_1$ и делит его пополам. Отрезок $PP_1$ вертикален, поэтому абсциссы точек одинаковы. Точки $P$ и $P_1$ лежат на расстоянии $2$ от оси $Ox$ по разные стороны от нее, поэтому их ординаты $2$ и $-2$. При симметрии относительно начала точка $O$ — середина отрезка $PP_3$: от $O$ до $P$ — $4$ вправо и $2$ вверх, до $P_3$ — $4$ влево и $2$ вниз.
Пример
Задача. Найдите точку, симметричную точке $R(-5;3)$ относительно оси $Oy$, и укажите, в какой четверти она лежит.
Решение. Зеркало — вертикальная ось $Oy$, поэтому переворачивается шаг по горизонтали: $5$ клеток влево превращаются в $5$ клеток вправо. Подъем на $3$ остается. Получаем $(5;3)$. Точка $R$ лежала во II четверти, ее отражение — в I.
Ответ: $(5;3)$, I четверть.
Обратите внимание
Чаще всего путают, какая координата меняет знак. При отражении в оси $Ox$ меняется ордината, а не абсцисса. Помогает карта: зеркало $Ox$ лежит горизонтально, и точка переходит через него вверх или вниз — меняется вертикальный шаг.
Вывод
Координаты — способ указать место числами. Так устроены адреса на клетчатой карте и запись ходов в шахматах: клетка e2 — это буква столбца и номер ряда. Дальше координаты станут языком графиков: в уроке «Чтение графиков реальных зависимостей» каждая точка графика — пара «момент времени; значение величины». Билет «ряд 3, место 5» — такая же пара с договоренным порядком, как $(3;5)$: если числа поменять местами, получится другое кресло. Вспомнить главное помогает маршрут от начала координат.
| Случай | Как вспомнить через маршрут |
|---|---|
| Записать точку | Сначала шаг вдоль $Ox$ (абсцисса), потом вдоль $Oy$ (ордината): $(x;y)$ |
| Знак минус | Шаг влево (у абсциссы) или вниз (у ординаты) |
| Четверть | По знакам: I $(+;+)$, II $(-;+)$, III $(-;-)$, IV $(+;-)$ |
| Ноль в адресе | Шага нет: $x=0$ — точка на оси $Oy$, $y=0$ — на оси $Ox$ |
| Расстояние до оси | Длина шага к этой оси: до $Oy$ — $\lvert x \rvert$, до $Ox$ — $\lvert y \rvert$ |
| Отражение | Зеркало переворачивает шаг поперек себя: меняется знак одной координаты, у начала — обеих |
Часто задаваемые вопросы
Запятая уже занята десятичными дробями. Запись $(2,5)$ непонятна: это точка с абсциссой $2$ и ординатой $5$ или одно число $2{,}5$? Поэтому пишут $(2;5)$ и $(2{,}5;\,3)$.
Нет. Пунктиры от точки к осям попадают ровно в одно число на каждой оси, поэтому адрес у точки один. И наоборот, по паре чисел маршрут от начала приводит ровно в одну точку.
Так договорились. Запомнить легко: начинаем с четверти, где обе координаты положительны, и идем через ось $Oy$ влево, затем вниз и вправо — I, II, III, IV.
Считать по каждой оси отдельно. Сначала узнайте, сколько стоит одна клетка по горизонтали, и найдите абсциссу. Потом то же по вертикали для ординаты. Так читают графики, где по осям отложены разные величины.
Нет. Точка $O(0;0)$ лежит на обеих осях, а оси — границы четвертей. Обе ее координаты равны нулю, у них нет знака.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий