7 класс Алгебра Линейная функция и её график Координатная плоскость

Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки

Содержание

В уроке «Координатная прямая» (математика 6) вы отмечали числа на прямой и сравнивали их. Здесь новое: координата на шкале с любой ценой деления, модуль числа, расстояние между двумя точками, числовые промежутки и то, как расстояние задает промежуток. Объяснять будем на условной модели: координатная прямая — шоссе с километровыми столбами. Число на столбе — координата точки, нулевой столб — начало отсчета. Два вопроса оставим на потом: почему от столба $-3$ до столба $4$ ехать $7$ км, а не $1$ км, и как описать участок ремонта одной строкой.

Координата — число на столбе, а не номер штриха

Координатная прямая задается тремя условиями: начало отсчета (нулевой столб), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок. Число на столбе точки называют ее координатой. Пишут $A(3)$: точка $A$ с координатой $3$. Чем правее столб, тем больше число.

Координатная прямая как шоссе с километровыми столбами: нулевой столб — начало отсчета, вправо числа положительные, влево отрицательные, расстояние между соседними столбами — единичный отрезок. Отмечены точки A с координатой 3 и B с координатой минус 2 — Координатная прямая — шоссе: нулевой столб, два направления и единичный отрезок

В задачах штрихи на шкале стоят не всегда через единицу. На одном шоссе столбы стоят через $0{,}5$ км, на другом — через $2$ км. Расстояние между соседними штрихами шкалы называют ценой деления. Одна и та же точка на третьем штрихе от нуля получает разные координаты — все зависит от цены деления. Так устроены линейка, термометр и мензурка: подписаны не все штрихи, а число между ними нужно найти самим. При цене деления $0{,}5$ единичный отрезок состоит из двух делений, а при цене деления $2$ он вдвое короче одного деления.

Цена деления

Возьмите два подписанных штриха, из большего числа вычтите меньшее и разделите на число промежутков между этими штрихами:

$$c = \frac{b-a}{n}$$

Координата точки равна координате ближайшего подписанного штриха плюс (или минус) нужное число промежутков, умноженное на $c$.

Шкала от 0 до 1, разделенная на 5 равных промежутков. Точка M стоит на третьем штрихе справа от нуля — Шкала из задания: подписаны $0$ и $1$, между ними пять равных промежутков

Пример

На шкале подписаны $0$ и $1$, между ними пять равных промежутков. Найдите координату точки $M$.

Цена деления: $(1-0) : 5 = 0{,}2$.
От нуля до точки $M$ три промежутка: $3 \cdot 0{,}2 = 0{,}6$.

Ответ: $M(0{,}6)$. Проверка: пять промежутков по $0{,}2$ дают $1$ — как раз до подписи «$1$».

Ошибка

Считают штрихи: «точка на третьем штрихе, значит, координата $3$». Сравните со схемой «одна и та же точка $P$»: на второй шкале точка тоже на третьем штрихе, но ее координата $1{,}5$. Число штрихов — не координата. Сначала найдите цену деления, потом умножайте.

Числа минус 5 и минус 2 на координатной прямой. Столб минус 5 стоит в 5 км от нуля, столб минус 2 — в 2 км, но минус 5 находится левее, поэтому минус 5 меньше минус 2 — Столб $-5$ дальше от нулевого столба, чем столб $-2$, но стоит левее

Ошибка

Считают, что $-5$ больше $-2$, потому что $5 > 2$. Посмотрите на рисунок: столб $-5$ стоит в $5$ км от нулевого столба, а столб $-2$ — всего в $2$ км, но $-5$ находится левее. Чем правее точка, тем больше число, поэтому $-5 < -2$.

{"questions":[{"content":"Между подписанными штрихами $0$ и $1$ на шкале пять равных промежутков. Чему равна цена деления?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}2$","$5$","$0{,}5$","$0{,}1$"],"explanations":["","$5$ — число промежутков, а не расстояние между соседними штрихами. Цену деления получают делением: $1 : 5$.","Так получится при двух промежутках. Здесь их пять: $1 : 5 = 0{,}2$.","Так получится при десяти промежутках. Здесь их пять: $1 : 5 = 0{,}2$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите координату точки $A$.[[image-1]][[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xsklawjzt5om.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5","−1,5","−1.5"]}},"hints":["Между подписанными штрихами $0$ и $1$ стоит один штрих посередине — два промежутка. Цена деления: $1 : 2 = 0{,}5$.","Точка $A$ стоит на третьем штрихе слева от нуля: $3 \\cdot 0{,}5 = 1{,}5$. Слева от нуля числа отрицательные: $A(-1{,}5)$."],"step":1},{"content":"$-5$[[fill_choice-1]]$-2$","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$<$","$>$","$=$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите знак сравнения","hints":["Чем правее точка, тем больше число. Сравните положение столбов $-5$ и $-2$ на прямой.","Столб $-5$ стоит левее столба $-2$, значит, $-5 < -2$."],"step":1}],"mix":1}

Модуль — расстояние от нулевого столба

Сколько километров от нулевого столба до столба $-4$? Столько же, сколько до столба $4$, — четыре. Расстояние от столба до нулевого столба называют модулем координаты этого столба. Модуль числа $-4$ записывают так: $|-4| = 4$.

Модуль числа — расстояние от нулевого столба. Числа минус 4 и 4 стоят по разные стороны от нуля на расстоянии 4, поэтому их модули равны 4 — Числа $-4$ и $4$ — столбы на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому $|-4| = |4| = 4$

Определение

Модуль числа $a$ — расстояние от точки с координатой $a$ до начала отсчета. Обозначение: $|a|$.

Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному ему числу, а $|0| = 0$. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому и модуль не бывает отрицательным.

Важно

Минус перед знаком модуля стоит снаружи и остается на месте: $-|3| = -3$ и $-|-3| = -3$. Сначала находят модуль, потом применяют знак.

Пример

Сравните $|-6|$ и $|4|$, а затем сами числа $-6$ и $4$.

$|-6| = 6$, $|4| = 4$, поэтому $|-6| > |4|$: столб $-6$ дальше от нулевого столба.
Сами числа сравниваются по положению: $-6 < 4$, потому что столб $-6$ стоит левее.

Модуль сравнивает расстояния до нуля, а число — положение на шоссе.

Ошибка

Пишут $|-4| = -4$, потому что «знак надо оставить». Проверьте по модели: сколько километров от нулевого столба до столба $-4$? Четыре, а не «минус четыре»: расстояние не бывает отрицательным. Верно: $|-4| = 4$.

{"questions":[{"content":"Сколько точек координатной прямой находятся на расстоянии $5$ от начала отсчета?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Две: $-5$ и $5$","Одна: $5$","Одна: $-5$","Бесконечно много"],"explanations":["","Расстояние измеряют в обе стороны от нуля. Столб $-5$ тоже стоит в $5$ км от нулевого столба.","Столб $5$ тоже стоит в $5$ км от нулевого столба, только в другую сторону.","На расстоянии $5$ можно отъехать от нуля только в двух направлениях: вправо и влево."],"answer":[0]}}},{"content":"$|-12{,}5| =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["12,5","12.5"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Модуль — расстояние от нуля до точки с координатой $-12{,}5$.","Оно равно $12{,}5$."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$|-3|$","$-|3|$","$|0|$","$|-3|-|-1|$"],"items":["$3$","$-3$","$0$","$2$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и его значение","hints":["Сначала найдите значения модулей. Минус перед знаком модуля остается на месте.","$|-3| = 3$, $-|3| = -3$, $|0| = 0$, а $|-3|-|-1| = 3-1 = 2$."],"step":1}],"mix":1}

Расстояние между точками — модуль разности

Вернемся к первому вопросу. От столба $-3$ до столба $4$ можно ехать так: $3$ км до нулевого столба и еще $4$ км до столба $4$. Всего $7$ км. Если вместо координаты $-3$ взять ее модуль $3$ и вычесть $4-3$, получится $1$ — но это расстояние между столбами $3$ и $4$. Знак «минус» у координаты $-3$ означает, что столб стоит по другую сторону от нуля. Рассмотрим все три случая расположения двух точек.

Три случая расстояния между точками A и B. Обе справа: от 2 до 7 расстояние 5. По разные стороны: от минус 3 до 4 расстояние 7, это сумма расстояний до нуля. Обе слева: от минус 6 до минус 2 расстояние 4. Во всех случаях расстояние равно модулю разности координат — Расстояние между точками $A$ и $B$ в трех случаях: обе справа от нуля, по разные стороны, обе слева

Если обе точки справа или обе слева, из большей координаты вычитают меньшую. Если точки по разные стороны от нуля, расстояния до нуля складывают: $3 + 4 = 7$. Ту же сумму дает разность $4-(-3) = 4 + 3 = 7$: вычитание отрицательного числа — это сложение. Значит, во всех случаях работает одно правило: из большей координаты вычесть меньшую. Чтобы не выбирать, какое число больше, берут модуль разности: он всегда дает неотрицательное число.

Правило

Расстояние между точками $A(a)$ и $B(b)$ равно модулю разности координат:

$$AB = |a-b|$$

Порядок чисел не важен: $|a-b| = |b-a|$. Путь от столба $A$ до столба $B$ и обратно одинаков.

Важно

Модуль нельзя брать от каждого числа отдельно и складывать. Для точек $2$ и $7$ расстояние равно $|2-7| = 5$, а $|2| + |7| = 9$ — это уже сумма расстояний от нулевого столба до каждой точки, а не расстояние между ними.

Пример

Найдите расстояние между точками $A(-3{,}5)$ и $B(2)$.

$$AB = |-3{,}5-2| = |-5{,}5| = 5{,}5$$

Проверка по модели: $3{,}5$ км от столба $-3{,}5$ до нулевого столба и еще $2$ км до столба $2$: $3{,}5 + 2 = 5{,}5$.

Координатная прямая с отмеченными штрихами от минус 3 до 3. Точка a стоит между минус 2 и минус 1, точка b — между 2 и 3 — На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$

Пример

На рисунке отмечены числа $a$ и $b$. Какое из утверждений верно?

$a-b > 0$
$b-a > 0$
$|a| > |b|$
расстояние между $a$ и $b$ меньше $3$

Решение. Точка $b$ стоит правее точки $a$, поэтому $b > a$. Значит, $b-a > 0$, а $a-b < 0$: верно утверждение 2, неверно 1.

Число $a$ лежит между $-2$ и $-1$, его расстояние до нуля меньше $2$. Число $b$ лежит между $2$ и $3$, его расстояние до нуля больше $2$. Значит, $|a| < |b|$, утверждение 3 неверно.

Между точками $a$ и $b$ стоят столбы $-1$, $0$, $1$ и $2$: от столба $-1$ до столба $2$ уже $3$ км, а еще есть участки от $a$ до $-1$ и от $2$ до $b$. Расстояние между $a$ и $b$ больше $3$, утверждение 4 неверно.

Ответ: 2.

Проверьте правило сами. В интерактиве сначала предскажите расстояние, потом сравните с ответом. Затем поменяйте точки местами: разность $a-b$ изменит знак, а расстояние — нет.

uploaded-koordpr-distance-17fb9176a6db

Ошибка

Расстояние между точками $-3$ и $5$ считают как $-3-5 = -8$ или как $5-3 = 2$. Проверим по модели: от столба $-3$ до нулевого столба $3$ км, потом до столба $5$ еще $5$ км — всего $8$ км. Значение $-8$ не подходит: километры не бывают отрицательными. Значение $2$ получилось из-за потерянного знака у числа $-3$: так считали бы расстояние между столбами $3$ и $5$. Верно: $|-3-5| = |-8| = 8$.

Иногда расстояние известно, а точка — нет. Расстояние от точки $x$ до точки $a$ равно $r$, то есть $|x-a| = r$. Значит, $x-a = r$ или $x-a = -r$: от столба $a$ можно отъехать на $r$ км вправо или влево, и получатся две точки.

От точки A с координатой 2 отложено расстояние 3 влево и вправо. Получаются две точки, их координаты нужно найти — От точки $A(2)$ откладываем расстояние $3$ влево и вправо

Задача

Повышенный уровень. Найдите все точки, которые находятся на расстоянии $3$ от точки $A(2)$.

Показать решение

Скрыть

Условие записывается так: $|x-2| = 3$. Значит, $x-2 = 3$ или $x-2 = -3$, то есть $x = 5$ или $x = -1$. На рисунке это две точки: на $3$ км вправо и на $3$ км влево от столба $2$.

Проверка: $|5-2| = 3$ и $|-1-2| = |-3| = 3$.

{"questions":[{"content":"От столба $-2$ до столба $5$ едут по шоссе. Сколько километров в пути?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7$","$3$","$-7$","$5$"],"explanations":["","$3 = 5-2$ — это расстояние между столбами $2$ и $5$. Знак «минус» у числа $-2$ потерян.","$-7 = -2-5$ — разность без модуля. Расстояние не бывает отрицательным: $|-2-5| = 7$.","$5$ — расстояние от нулевого столба до столба $5$. Путь начинается не у нуля, а у столба $-2$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите расстояние между точками $A(-4{,}5)$ и $B(-1)$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3,5","3.5"]}},"hints":["Расстояние равно модулю разности: $|-4{,}5-(-1)|$.","$-4{,}5 + 1 = -3{,}5$, модуль равен $3{,}5$. Можно иначе: из большего числа $-1$ вычесть меньшее $-4{,}5$."],"step":1},{"content":"Ученик нашел расстояние между точками $-6$ и $2$ так: $-6-2 = -8$, значит, расстояние равно $-8$ км. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Расстояние не бывает отрицательным: нужен модуль, ответ $8$","Вычитание выполнено неверно: $-6-2 = -4$, ответ $4$","Нужно вычесть в другом порядке: $2-6 = -4$, ответ $-4$","Ошибки нет: расстояние можно записать со знаком, ответ $-8$"],"explanations":["","Вычитание выполнено без ошибок: $-6-2 = -8$. Ошибка в знаке ответа: расстояние отрицательным не бывает.","Порядок вычитания менять можно, но тогда вычитают $-6$, а не $6$: $2-(-6) = 8$. В этом варианте потерян знак у числа $-6$.","Расстояние показывает, сколько километров ехать, и отрицательным быть не может."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Числовые промежутки — участок шоссе одной строкой

Второй вопрос. На шоссе ремонт от $3$-го до $8$-го километра. Как коротко записать, какие столбы попадают в зону ремонта? Столб $5$ попадает, столб $9$ — нет. А столбы $3$ и $8$ на границах? Обозначим номер столба буквой $x$. Если столбы $3$ и $8$ тоже ремонтируют, записывают $3 \le x \le 8$. Если их не ремонтируют, записывают $3 < x < 8$.

Знак $\le$ читают «не больше», знак $\ge$ — «не меньше»; такие записи называют неравенствами. Входит граница или нет, решает условие задачи, а запись только показывает это: например, «скорость не меньше $60$ и меньше $90$ км/ч» записывают $60 \le v < 90$.

Участок шоссе от 3-го до 8-го километра. Столбы 3 и 8 входят в участок, поэтому записываем 3 ≤ x ≤ 8 — Участок ремонта от $3$-го до $8$-го километра: обе границы входят, $3 \le x \le 8$

Участок ремонта удобно записать коротко: $[3; 8]$. Слева стоит левая граница, справа — правая, между ними точка с запятой. Квадратные скобки показывают, что обе границы входят в участок.

Числовой промежуток — участок координатной прямой без разрывов: все числа, которые лежат между двумя границами или по одну сторону от границы. Столб можно поставить в любой точке шоссе, например на $3{,}5$-м километре, поэтому в промежутке есть не только целые числа, но и дробные. Границу обозначают на рисунке кружком: закрашенным, если она входит в промежуток, и пустым, если не входит. В записи то же показывают скобкой.

Скобки

Квадратная скобка $[$ или $]$ — граница входит в промежуток (закрашенный кружок). Круглая скобка $($ или $)$ — граница не входит (пустой кружок).

Рядом с $+\infty$ и $-\infty$ всегда стоит круглая скобка: бесконечность — не число и не столб, до нее нельзя доехать.

Промежутки с двумя границами называют так: отрезок $[a; b]$ — обе границы входят, интервал $(a; b)$ — обе границы не входят, полуинтервал $[a; b)$ или $(a; b]$ — одна граница входит, другая нет. Если граница одна, а в другую сторону промежуток продолжается без конца, промежуток называют лучом. Это записывают знаком бесконечности: $+\infty$ читают «плюс бесконечность», $-\infty$ — «минус бесконечность». Например, $[1; +\infty)$ — все числа не меньше $1$, а $(1; +\infty)$ — все числа больше $1$ (такой луч называют открытым). Если границ нет совсем, получается вся прямая: $(-\infty; +\infty)$.

Виды числовых промежутков: отрезок [−2; 3], интервал (−2; 3), два полуинтервала [−2; 3) и (−2; 3], луч [1; +∞) и открытый луч (−∞; 1). Закрашенный кружок — граница входит в промежуток, пустой — не входит — Виды числовых промежутков: отрезок, интервал, полуинтервалы и лучи

Число	$[3; 8]$	$(3; 8)$	$[3; 8)$	$(3; 8]$
$3$	входит	не входит	входит	не входит
$3{,}5$	входит	входит	входит	входит
$5$	входит	входит	входит	входит
$8$	входит	не входит	не входит	входит
$9$	не входит	не входит	не входит	не входит

Пример

Запишите промежуток: «все числа не меньше $-2$ и меньше $4$».

«Не меньше $-2$» — число $-2$ входит: $x \ge -2$, скобка квадратная.
«Меньше $4$» — число $4$ не входит: $x < 4$, скобка круглая.

Ответ: $-2 \le x < 4$, или $[-2; 4)$. Это полуинтервал.

Пример

Запишите промежуток: «все числа больше $1$».

Граница $1$ не входит: $x > 1$, скобка круглая.
Справа границы нет, промежуток уходит в бесконечность: $+\infty$, скобка круглая.

Ответ: $x > 1$, или $(1; +\infty)$. Это открытый луч.

Проверьте себя в интерактиве. Сначала задайте границы и посмотрите, как меняются запись, неравенство и контрольные столбы. Затем перейдите в режим задания: по закрашенному участку соберите запись.

uploaded-koordpr-intervals-192a7b6064aa

Ошибка

Ставят квадратную скобку у бесконечности: $[2; +\infty]$. Но бесконечность — не столб, ее нельзя «включить». Верно: $[2; +\infty)$. Другая ошибка: считать, что $[2; 5]$ и $(2; 5)$ содержат одинаково целых чисел. В отрезке $[2; 5]$ четыре целых числа: $2$, $3$, $4$, $5$. В интервале $(2; 5)$ только два: $3$ и $4$, потому что границы не входят.

{"questions":[{"content":"Какой промежуток закрашен на рисунке?[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yqp8zgvzeoxd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-1; 3]$","$[-1; 3)$","$(-1; 3)$","$[-1; 3]$"],"explanations":["","Скобки перепутаны. Точка $-1$ пустая, значит, граница не входит — скобка круглая. Точка $3$ закрашена — скобка квадратная.","Точка $3$ закрашена, значит, число $3$ входит в промежуток и скобка у него квадратная.","Точка $-1$ на рисунке пустая: число $-1$ в промежуток не входит, скобка у него круглая."],"answer":[0]}}},{"content":"Сколько целых чисел входит в промежуток $[-1; 4)$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Левая граница $-1$ входит, правая $4$ не входит.","Целые числа: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$. Их пять."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x \\ge 1$","$x < 1$","$1 < x \\le 5$","$1 \\le x < 5$"],"items":["$[1; +\\infty)$","$(-\\infty; 1)$","$(1; 5]$","$[1; 5)$"]}},"instruction":"Соотнесите неравенство и промежуток","hints":["Знак $\\ge$ и $\\le$ — граница входит, скобка квадратная. Знак $>$ и $<$ — граница не входит, скобка круглая.","Ответ: $x \\ge 1$ — $[1; +\\infty)$, $x < 1$ — $(-\\infty; 1)$, $1 < x \\le 5$ — $(1; 5]$, $1 \\le x < 5$ — $[1; 5)$. У бесконечности скобка всегда круглая."],"step":1}],"mix":1}

Расстояние и промежутки вместе: «не дальше r от столба a»

Повышенный уровень. Условие «столб $x$ находится не дальше $2$ км от столба $3$» значит: расстояние между $x$ и $3$ не больше $2$. Запишем: $|x-3| \le 2$. От столба $3$ можно отъехать на $2$ км вправо — до столба $5$ — и на $2$ км влево — до столба $1$. Подходят все столбы участка от $1$ до $5$, включая столбы $1$ и $5$: $[1; 5]$. Здесь соединились обе идеи урока: расстояние и промежуток.

Условие «расстояние от x до центра не больше r» задает участок вокруг центра. Для |x − 3| ≤ 2 это отрезок [1; 5] с центром 3, для условия «модуль x меньше 3» — интервал (−3; 3) с центром 0, числа −3 и 3 не входят — $|x-3| \le 2$ задает отрезок $[1; 5]$ с центром $3$, а $|x| < 3$ — интервал $(-3; 3)$ с центром $0$

Правило

Пусть $r > 0$. Условие $|x-a| \le r$ задает отрезок $[a-r; a + r]$ — все точки не дальше $r$ от точки $a$. Условие $|x-a| < r$ задает интервал $(a-r; a + r)$: числа $a-r$ и $a + r$ в него не входят.

Число $a$ — центр участка, число $r$ — его радиус. При $a = 0$ получаются условия $|x| \le r$ и $|x| < r$: промежутки $[-r; r]$ и $(-r; r)$ симметричны относительно нуля.

Важно

Чтобы найти центр, запишите выражение под знаком модуля в виде $x-a$: $|x + 1| = |x-(-1)|$. Значит, центр равен $-1$, а не $1$.

Условие модуль x плюс 1 не больше 3 равно условию расстояние от x до минус 1 не больше 3. Центр равен минус 1, участок — отрезок от минус 4 до 2 — $|x + 1| \le 3$: центр $-1$, радиус $3$, участок $[-4; 2]$

Пример

Диаметр детали должен отличаться от $50$ мм не больше чем на $0{,}1$ мм. Запишите условие через модуль и числовым промежутком.

Расстояние от $d$ до $50$ не больше $0{,}1$: $|d-50| \le 0{,}1$.
Центр $50$, радиус $0{,}1$: $[50-0{,}1; 50 + 0{,}1] = [49{,}9; 50{,}1]$.

Ответ: $|d-50| \le 0{,}1$, то есть диаметр лежит в промежутке $[49{,}9; 50{,}1]$.

Середина отрезка

Столб посередине между точками $A(a)$ и $B(b)$ называют серединой отрезка $AB$. Чтобы его найти, к $a$ прибавляют половину расстояния: $a + \dfrac{b-a}{2} = \dfrac{a + b}{2}$. Это полусумма координат.

Для точек $-3$ и $4$ середина равна $\dfrac{-3 + 4}{2} = 0{,}5$. Проверка: от столба $0{,}5$ до столба $-3$ и до столба $4$ одинаково, по $3{,}5$ км.

Пример

Запишите промежуток $[-2; 8]$ в виде $|x-a| \le r$.

Центр — середина отрезка: $a = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3$.
Радиус — половина длины: $r = \dfrac{8-(-2)}{2} = 5$.

Ответ: $|x-3| \le 5$. Проверка: $3-5 = -2$ и $3 + 5 = 8$.

{"questions":[{"content":"Какой промежуток задает условие $|x-4| \\le 1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$[3; 5]$","$(3; 5)$","$[-5; -3]$","$[4; 5]$"],"explanations":["","Знак $\\le$ нестрогий: числа $3$ и $5$ входят, скобки квадратные. Круглые были бы при знаке $<$.","Центр читают с противоположным знаком: в $|x-4|$ центр равен $4$, а не $-4$.","Радиус нужно отложить в обе стороны от центра $4$: и вправо до $5$, и влево до $3$."],"answer":[0]}}},{"content":"Сколько целых чисел удовлетворяют условию $|x-1| < 3$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Центр $1$, радиус $3$, знак строгий: числа $-2$ и $4$ не входят, интервал $(1-3; 1 + 3) = (-2; 4)$.","Целые числа: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$. Их пять."],"step":1},{"content":"Промежуток $[-1; 7]$ записан как $|x -$[[input-2]]$| \\le$[[input-3]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":"3"},"input-3":{"type":"input","inline":1,"answer":"4"}},"instruction":"Заполните пропуски","hints":["Центр — середина отрезка: $\\dfrac{-1 + 7}{2} = 3$.","Радиус — половина длины: $\\dfrac{7-(-1)}{2} = 4$. Проверка: $3-4 = -1$ и $3 + 4 = 7$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Главное из урока читается на шоссе с километровыми столбами:

координата — число на столбе; цену деления находят по двум подписанным штрихам;
модуль — расстояние до нулевого столба;
расстояние между точками равно $|a-b|$ и не зависит от порядка чисел;
числовой промежуток — участок прямой; скобки показывают, входят ли граничные числа;
условие $|x-a| \le r$ задает отрезок $[a-r; a + r]$.

Эти умения пригодятся при чтении графиков, в работе с функциями и при оценке погрешности измерений. Дальше вы добавите вторую прямую под прямым углом: это «Прямоугольная система координат».

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается модуль числа от самого числа?

Число показывает положение точки на прямой, а его модуль — расстояние от точки до начала отсчета. У числа $-6$ положение левее нуля, а модуль $|-6| = 6$. Поэтому $-6 < 4$, но $|-6| > |4|$.

Почему расстояние находят по модулю разности, а не просто вычитанием?

Простая разность зависит от порядка чисел и может быть отрицательной: $-3-5 = -8$. Расстояние отрицательным не бывает и от порядка не зависит. Модуль разности $|a-b|$ исправляет оба недостатка.

Чем отрезок отличается от интервала?

У отрезка $[a; b]$ границы входят в промежуток, у интервала $(a; b)$ не входят. Поэтому в отрезке $[2; 5]$ четыре целых числа, а в интервале $(2; 5)$ — два. Если одна граница входит, а другая нет, промежуток называют полуинтервалом.

Почему у бесконечности всегда круглая скобка?

Скобка квадратная, когда граница — число, которое входит в промежуток. Бесконечность — не число и не точка на прямой, поэтому включить ее нельзя. Запись $[2; +\infty)$ допустима, а запись $[2; +\infty]$ — нет.

Как быстро проверить, входит ли число в промежуток?

Отметьте число и границы на прямой. Если число между границами, оно входит. Если оно совпало с границей, смотрите на скобку: квадратная — входит, круглая — не входит.

Награды за урок