Карточки
Тесты
Зави
График линейного уравнения с двумя переменными
График линейного уравнения с двумя переменными
В уроке «Линейное уравнение с двумя переменными» вы узнали, что у такого уравнения бесконечно много решений — пар чисел $(x;y)$. Выписать их все нельзя, но можно нарисовать. В этом уроке разберем, что такое график уравнения с двумя переменными, почему у линейного уравнения это прямая, как быстро построить ее по двум точкам и какие прямые получаются, когда одной из переменных в уравнении нет.
Решения уравнения ложатся на одну линию
Рассмотрим уравнение $2x+3y=6$. Сколько у него решений? Бесконечно много: $x$ можно взять любым, а $y$ найти из уравнения. Можно ли увидеть все решения сразу? И всегда ли получится линия? На первый вопрос ответим в этом разделе, на второй — в конце урока.
Вспомним модель модуля. Пара $(x;y)$ — адрес точки на координатной плоскости: сначала абсцисса $x$, потом ордината $y$. Уравнение — улика: оно не называет один адрес, а отбирает подходящие. Найдем несколько решений и отметим их адреса на карте.
| $x$ | $y$ | Проверка: $2x+3y$ |
|---|---|---|
| $-3$ | $4$ | $2\cdot(-3)+3\cdot4=6$ |
| $0$ | $2$ | $2\cdot0+3\cdot2=6$ |
| $1{,}5$ | $1$ | $2\cdot1{,}5+3\cdot1=6$ |
| $3$ | $0$ | $2\cdot3+3\cdot0=6$ |
| $6$ | $-2$ | $2\cdot6+3\cdot(-2)=6$ |
Все пять точек легли на одну прямую. Точка $(2;2)$ уравнению не подходит: $2\cdot2+3\cdot2=10\ne6$ — и на рисунке она лежит в стороне от линии. Дробные решения, например $(1{,}5;1)$, заполняют промежутки между целыми, поэтому линия сплошная. Улика $2x+3y=6$ отмечает на карте не один адрес, а целую линию.
Определение
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Точка лежит на графике тогда и только тогда, когда ее координаты обращают уравнение в верное равенство.
Если в уравнении есть y, график — знакомая прямая
Почему решения $2x+3y=6$ легли именно на прямую? Выразим $y$ через $x$, как в прошлом уроке: перенесем $2x$ вправо, $3y=6-2x$, и разделим обе части на 3.
$$y=-\frac23x+2$$
Получилась линейная функция $y=kx+m$ с $k=-\frac23$ и $m=2$, а ее график — прямая: это вы знаете из уроке о линейной функции. Решения уравнения и точки графика функции — одни и те же пары, поэтому график уравнения — та же прямая. Так можно поступить с любым уравнением $ax+by=c$, где $b\ne0$: разделить обе части на $b$ и выразить $y$.
Правило
Если $b\ne0$, графиком уравнения $ax+by=c$ является прямая. Чтобы ее построить, достаточно найти два решения, отметить две точки и провести через них прямую.
Пример
Задача. Постройте график уравнения $2x-y=1$.
Решение. Выразим $y$: $y=2x-1$. При $x=0$ получаем $y=-1$ — точка $(0;-1)$. При $x=2$ получаем $y=3$ — точка $(2;3)$. Отметим обе точки и проведем через них прямую.
Проверим третьей точкой: при $x=1$ получаем $y=1$, и $2\cdot1-1=1$ — верно. Точка $(1;1)$ легла на прямую, значит, вычисления верны.
Ответ: прямая, проходящая через точки $(0;-1)$ и $(2;3)$.
Обратите внимание
Через одну точку проходит бесконечно много прямых, поэтому одной найденной точки мало: прямую по ней не провести. Вторая точка обязательна, третья — проверка. Если третья точка не легла на прямую, в одной из подстановок ошибка.
Если y в уравнении нет, прямая стоит вертикально
Возьмем уравнение $4x=10$. Его тоже можно считать уравнением с двумя переменными: $4x+0y=10$. Здесь $b=0$, и выразить $y$ нельзя. Будем рассуждать по определению графика.
Из $4x=10$ получаем $x=2{,}5$. А $y$ может быть каким угодно: слагаемое $0y$ равно нулю при любом $y$. Значит, решения — $(2{,}5;-2)$, $(2{,}5;0)$, $(2{,}5;3)$ и вообще все пары с $x=2{,}5$. Улика говорит: «абсцисса 2,5, ордината любая». Все такие адреса стоят в одном столбце карты — на вертикальной прямой.
Правило
Уравнение, в котором нет $y$ ($b=0$, $a\ne0$), сводится к виду $x=p$, где $k=\frac{c}{a}$ — число. Его график — вертикальная прямая, которая проходит через точку $(p;0)$ параллельно оси $Oy$. При $k=0$ это сама ось $Oy$.
Важно
Прямая $x=2{,}5$ — график уравнения, но не график функции. У функции каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, а здесь при $x=2{,}5$ подходит любое $y$. Поэтому говорят «уравнение $x=2{,}5$», а не «функция $x=2{,}5$». Записью $y=kx+m$ вертикальную прямую не задать ни при каких $k$ и $m$.
Если x в уравнении нет, прямая лежит горизонтально
Теперь уравнение $-2y=-5$, или $0x-2y=-5$. Разделим на $-2$: $y=2{,}5$. А $x$ может быть любым: подходят $(-3;2{,}5)$, $(0;2{,}5)$, $(4;2{,}5)$. Улика говорит: «ордината 2,5, абсцисса любая». Все такие адреса лежат в одной строке карты — на горизонтальной прямой. Это график функции $y=kx+m$ при $k=0$: каждому $x$ соответствует одно значение $y$, равное 2,5.
Правило
Уравнение, в котором нет $x$ ($a=0$, $b\ne0$), сводится к виду $y=p$, где $k=\frac{c}{b}$ — число. Его график — горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0;p)$ параллельно оси $Ox$. При $k=0$ это сама ось $Ox$.
Ошибка
Вообразавр строит график $y=2{,}5$ так: «Вижу число 2,5, отмечаю его на оси $Ox$ и провожу вертикаль». Проверим подстановкой точку его прямой $(2{,}5;0)$. В уравнении $y=2{,}5$ получаем $0=2{,}5$ — неверно, точка не на графике. А точка $(0;2{,}5)$ дает $2{,}5=2{,}5$ — верно, но на прямой Вообразавра ее нет.
Где сломалось рассуждение: Вообразавр посмотрел на число, а не на букву. Буква показывает, какая координата у всех точек одна и та же. В $y=2{,}5$ постоянна ордината — точки стоят в одной строке, прямая горизонтальная. Вертикаль через $(2{,}5;0)$ — график другого уравнения, $x=2{,}5$.
Две самые удобные точки лежат на осях
Вернемся к уравнению $2x+3y=6$ из начала урока. Если выражать $y$, появляются дроби: $y=-\frac23x+2$. Есть способ быстрее — найти, где прямая пересекает оси координат.
У каждой точки оси $Oy$ абсцисса равна 0. Подставим $x=0$: $3y=6$, $y=2$ — точка $(0;2)$. У каждой точки оси $Ox$ ордината равна 0. Подставим $y=0$: $2x=6$, $x=3$ — точка $(3;0)$. Обе точки найдены без дробей, и через них проходит та самая прямая из первого раздела.
Правило
Чтобы найти точку пересечения прямой $ax+by=c$ с осью $Oy$, подставьте $x=0$. Чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$, подставьте $y=0$.
Пример
Задача. Постройте график уравнения $5x-2y=10$.
Решение. При $x=0$: $-2y=10$, $y=-5$ — точка $(0;-5)$ на оси $Oy$. При $y=0$: $5x=10$, $x=2$ — точка $(2;0)$ на оси $Ox$. Проведем прямую через эти точки.
Проверим третьей точкой: при $x=4$ получаем $20-2y=10$, $y=5$. Точка $(4;5)$ лежит на проведенной прямой.
Ответ: прямая, проходящая через точки $(0;-5)$ и $(2;0)$.
Обратите внимание
Если $c=0$, например в уравнении $2x-y=0$, обе подстановки дают одну и ту же точку $(0;0)$. Тогда вторую точку находят иначе: при $x=1$ получаем $y=2$, точка $(1;2)$.
Когда в уравнении не остается ни x, ни y
Теперь ответим на второй вопрос из начала урока: всегда ли уравнение с двумя переменными рисует линию? Остался случай $a=0$ и $b=0$. В уравнении $0x+0y=c$ левая часть равна 0 при любых $x$ и $y$, и все решает число $c$.
Если $c=0$, получаем $0=0$ — верно для любой пары. Такой улике подходит любой адрес: графиком будет вся координатная плоскость. Если $c\ne0$, например $0x+0y=5$, получаем $0=5$ — неверно для любой пары. Ни один адрес не подходит, решений нет, и на графике нет ни одной точки (такое множество называют пустым).
Правило
Графиком уравнения $ax+by=c$ является прямая, если хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ не равен нулю. Если $a=b=0$, графиком будет вся плоскость при $c=0$, а при $c\ne0$ на графике нет ни одной точки.
Итак, у $2x+3y=6$ бесконечно много решений, и все они видны сразу: это прямая через $(0;2)$ и $(3;0)$. Линию дает любое уравнение $ax+by=c$, где $a$ или $b$ не равно нулю. Вертикаль, горизонталь и наклонная прямая — три вида этой линии, а при $a=b=0$ линии нет совсем.
Вывод
График уравнения — это все его решения, нарисованные сразу: каждое решение — адрес точки, а уравнение-улика собирает подходящие адреса. У линейного уравнения $ax+by=c$ это прямая, и строят ее по двум точкам, удобнее всего — по точкам на осях. Это понадобится уже в следующем уроке: у двух уравнений две прямые, и общее решение — точка их пересечения, перекресток двух улик.
Как быстро вспомнить, какой будет график:
Часто задаваемые вопросы
График функции — частный случай: у него каждому $x$ соответствует одна точка. График уравнения может содержать сколько угодно точек с одной абсциссой: у $x=2{,}5$ их бесконечно много. Поэтому вертикальная прямая — график уравнения, но не график функции.
Две точки задают прямую, а третья проверяет вычисления. Если она не легла на прямую, ошибка в одной из подстановок. Проверка занимает минуту и сразу показывает, где искать ошибку.
Подставьте точку $(0;0)$: левая часть станет равна 0. Значит, прямая $ax+by=c$ проходит через начало координат, только если $c=0$, как у $2x-y=0$. В этом случае точки на осях совпадают, и вторую точку берут при другом $x$.
Могут. Например, уравнение $4x+6y=12$ получается из $2x+3y=6$ умножением обеих частей на 2, поэтому решения у них одни и те же, а значит, и график один. Это видно и по точкам на осях: у обоих уравнений это $(0;2)$ и $(3;0)$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий