Линейное уравнение с двумя переменными

На прошлых уроках мы уже познакомились с линейными уравнениями с одной переменной. Давайте узнаем, что такое линейное уравнение с двумя переменными и какие у него есть свойства.

Уравнения с двумя переменными

В саду Вообразавр собрал на $6$ яблок больше Решавра. Если количество яблок, собранных Вообразавром, принять за $\textcolor{coral}{x}$, а количество яблок, собранных Решавром, — за $\textcolor{blue}{y}$, тогда можно составить уравнение:$$\textcolor{coral}{x}-\textcolor{blue}{y}=6$$Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида: $$a\textcolor{coral}{x}+b\textcolor{blue}{y}=c$$где $\textcolor{coral}{x}$ и $\textcolor{blue}{y}$ — переменные, а $a, \space b,\space c$ — числа.

Уравнение вида $x-y=6$ при $x=10$, $y=4$ обращается в верное равенство: $10-4=6$

Пара значений переменных $x=10$, $y=4$ является решением этого уравнения.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, при которых равенство будет верным.

Решениями уравнения $x-y=6$ также будут пары: $(100;94)$, $(5;-1)$ и т. д.

Уравнения с двумя переменными имеют бесконечное множество решений.

{"questions":[{"content":"Выберите пару чисел, которая является решением уравнения:$$x+y=12$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(20;-8)$","$(6;-6)$","$(12;1)$"],"explanations":["$20+(-8)=12$","$6+(-6)=0$","$12+1=13$"],"answer":[0]}}}]}

Свойства уравнений с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными обладают теми же свойствами, что и уравнения с одной переменной.

Рассмотрим уравнение:$$4\textcolor{darkgreen}{x}+2\textcolor{blue}{y}=16$$Выразим одну переменную через другую, например, $\textcolor{blue}{y}$ через $\textcolor{darkgreen}{x}$. Для этого перенесем все, что не содержит $\textcolor{blue}{y}$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $2$:

$$2\textcolor{blue}{y}=16-4\textcolor{darkgreen}{x} \newline \textcolor{blue}{y}=8-2\textcolor{darkgreen}{x}$$

Пользуясь полученной формулой можно найти сколько угодно решений данного уравнения. Для этого берем любое значение $\textcolor{darkgreen}{x}$ и подставляем в формулу. Например, если $\textcolor{darkgreen}{x}=2$, то $\textcolor{blue}{y}$ будет равен:

$$\textcolor{blue}{y}=8-2 \cdot 2=4$$

{"questions":[{"content":"На стол положили несколько двухрублевых и пятирублевых монет. Известно, что общая сумма денег на столе равна $28$ рублям. Сколько двухрублевых монет было на столе?[[image-1]][[fill_choice_big-15]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dengi-koshelek-monety-.svg","width":"402"},"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Примем за $x$ количество монет номиналом в $2$ рубля, за $y$ — количество монет номиналом в $5$ рублей. Составим уравнение:$$2x+5y=28$$","Выразим $y$. Для этого перенесем $2x$ за знак «=» с противоположным знаком:<br />$$5y=28\\textcolor{darkgreen}{-2x}$$","Разделим левую и правую части уравнения на $5$:<br />$$y=\\frac{28-2x}{5}$$","Подберем такое значение $\\textcolor{blue}{x}$, чтобы $y$ было целым числом:<br />$$y=\\frac{28-2 \\cdot \\textcolor{blue}{2}}{5} = 4.8$$ $$ y=\\frac{28-2 \\cdot \\textcolor{blue}{5}}{5} =3.6$$ $$ y=\\frac{28-2 \\cdot \\textcolor{blue}{4}}{5}=\\textcolor{coral}{4}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы