Системы линейных уравнений с двумя переменными. Практика
Системы линейных уравнений с двумя переменными
На этом уроке мы познакомимся с системами линейных уравнений, графическим способом решения систем, а также научимся определять количество решений системы уравнений.
Система уравнений
Задача
Пусть сумма двух чисел равна $14,$ а их разность равна $4$. Найдите эти числа.
Примем первое число за $\textcolor{blue}{x}$, а второе — за $\textcolor{darkgreen}{y}$. Тогда сумма этих чисел равна:$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{darkgreen}{y}=14$$ А разность:$$\textcolor{blue}{x}-\textcolor{darkgreen}{y}=4$$ Мы составили два уравнения, но чтобы решить задачу необходимо найти такие значения переменных, чтобы были верны оба равенства одновременно.
В таких случаях говорят, что мы должны решить систему уравнений.
запись системы уравнений
Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки:
$$\left\{ \begin{aligned}&x+y=14\\&x-y=4\end{aligned}\right.$$
Пара значений переменных $(\textcolor{blue}{9};\textcolor{darkgreen}{5})$ является решением системы:
$$\left\{ \begin{aligned}&\textcolor{blue}{9}+\textcolor{darkgreen}{5}=14\\&\textcolor{blue}{9}-\textcolor{darkgreen}{5}=4\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned}&14=14\\&4=4\end{aligned}\right.$$
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Графический способ решения системы уравнений
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что таких решений нет.
Решим систему уравнений:
$$\left\{ \begin{aligned}&x+2y=5\\&2x-3y=-4\end{aligned}\right.$$
Построим на координатной плоскости график каждого из уравнений.
Показать решение
Скрыть
В первом уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что не содержит $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $2.$
$$x+2y=5$$ $$2y=5-x$$ $$y=\frac{5-x}{2}$$
Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим их в формулу и составим таблицу значений.
$$y=\frac{5-(\textcolor{blue}{-1})}{2}=3$$ $$y=\frac{5-\textcolor{blue}{1}}{2}=4$$
| $x$ | $-1$ | $1$ |
| $y$ | $3$ | $2$ |
Во втором уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что не содержит $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $-3.$
$$2x-3y=-4$$ $$-3y=-4-2x$$ $$y=\frac{-4-2x}{-3}=\frac{4+2x}{3}$$
Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=\frac{4+2 \cdot \textcolor{blue}{1}}{3}=2$$ $$y=\frac{4+2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})}{3}=0$$
| $x$ | $1$ | $-2$ |
| $y$ | $2$ | $0$ |
Графики пересекаются в точке $K(1;2)$, координаты которой и будут решением данной системы:
$$\left\{ \begin{aligned}&1+2\cdot 2=5\\&2\cdot 1-3\cdot 2=-4\end{aligned}\right.$$
графический способ решения уравнений
Способ решения уравнений с помощью их графиков называется графическим. Такой способ часто позволяет находить решения лишь приближенно, так как зависит от точности построения рисунка.
Количество решений систем линейных уравнений
Графиками системы линейных уравнений являются прямые.
Если эти прямые пересекаются, то система имеет одно-единственное решение.
Если прямые параллельны, то система не имеет решений.
Если прямые совпадают, то решений бесконечное множество.
Система имеет одно решение
Решим систему уравнений графическим способом:
$$\left\{ \begin{aligned}&2y-2x+5=5\\&3y=9\end{aligned}\right.$$
Построим графики функций на координатной плоскости и найдем их пересечение.
Показать решение
Скрыть
В первом уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что не содержит $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $2.$
$$2y-2x+5=5$$ $$2y=5-5+2x$$ $$y=x$$
Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=\textcolor{blue}{0}$$ $$y=\textcolor{blue}{1}$$
| $x$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $0$ | $1$ |
Во втором уравнении выразим $y$. Для этого разделим обе части уравнения на $3.$
$$3y=9$$ $$y=3$$
Графиком линейной функции является прямая. Так как переменная $x$ в формуле отсутствует, при любом ее значении $y$ будет принимать значение $3.$
| $x$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $3$ | $3$ |
Графики пересекаются в точке $M(3;3)$, значит, система имеет одно-единственное решение при $x=3,$ $y=3.$
Система не имеет решений
Выясним, имеет ли решения система:
$$\left\{ \begin{aligned}&y-6=2x\\&2=2x-y\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
В первом уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что не содержит $y,$ вправо с противоположным знаком.
$$y-6=2x$$ $$y=2x+6$$
Графиком линейной функции является прямая, поэтому для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=2 \cdot(\textcolor{blue}{-3})+6=0$$ $$y=2\cdot(\textcolor{blue}{-2})+6=2$$
| $x$ | $-3$ | $-2$ |
| $y$ | $0$ | $2$ |
Во втором уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что содержит $y,$ влево, а все, что не содержит, — вправо с противоположным знаком.
$$2=2x-y$$ $$y=2x-2$$
Графиком линейной функции является прямая, поэтому для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=2\cdot \textcolor{blue}{0}-2$$ $$y=2\cdot \textcolor{blue}{1}-2$$
| $x$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $-2$ | $0$ |
Как видно из рисунка, графики функций параллельны, поэтому система уравнений не имеет решений.
Система имеет множество решений
Разберем еще один случай:
$$\left\{ \begin{aligned}&3y=x+6\\&2x-6y=-12\end{aligned}\right.$$
Показать решение
Скрыть
В первом уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого разделим обе части уравнения на $3.$
$$3y=x+6$$
$$y=\frac{x+6}{3}$$
Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=\frac{\textcolor{blue}{-3}+6}{3}=1$$
$$y=\frac{\textcolor{blue}{3}+6}{3}=3$$
| $x$ | $-3$ | $3$ |
| $y$ | $1$ | $3$ |
Во втором уравнении выразим $y$ через $x.$ Для этого перенесем все, что не содержит $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $-6.$
$$2x-6y=-12$$
$$-6y=-12-2x$$
$$y=\frac{-12-2x}{-6}=2+\frac{1}{3}x$$
Графиком линейной функции является прямая, поэтому для ее построения достаточно взять две точки. Возьмем два произвольных значения $x$, подставим в формулу и составим таблицу значений.
$$y=2+\frac{1}{3}\cdot (\textcolor{blue}{-3})=1$$
$$y=2+\frac{1}{3}\cdot \textcolor{blue}{3}=3$$
| $x$ | $-3$ | $3$ |
| $y$ | $1$ | $3$ |
Графики функций совпадают, поэтому система имеет бесконечное множество решений.
Часто задаваемые вопросы
В курсе седьмого класса мы познакомимся с графическим способом решения систем линейных уравнений и неравенств, способами подстановки и сложения.
Система уравнений обозначается слева фигурной скобкой. Эта скобка говорит нам о том, что уравнения должны решаться одновременно, поэтому ее можно заменить союзом «и».
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти