Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
На этом уроке мы познакомимся с неравенствами с двумя переменными и их системами.
Неравенства с двумя переменными
Рассмотрим неравенство: $$\textcolor{coral}{y}>2\textcolor{blue}{x}+3$$ При $x=\textcolor{blue}{1},$ а $y=\textcolor{coral}{6}$ данное выражение обращается в верное числовое неравенство: $$\textcolor{coral}{6}>2\cdot \textcolor{blue}{1}+3$$ Говорят, что пара значений $x=1, \space y=6$ является решением этого неравенства.
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.
Нетрудно проверить, что точки с координатами $(\textcolor{blue}{0};\textcolor{coral}{4}), \space (\textcolor{blue}{-1};\textcolor{coral}{2})$ также являются решением данного неравенства.
Показать проверку
Скрыть
$$\textcolor{coral}{4}>2\cdot \textcolor{blue}{0} +3$$ $$\textcolor{coral}{2}>2\cdot (\textcolor{blue}{-1})+3$$
Множество решений неравенства
Множество точек, являющихся решением неравенства, задает полуплоскость, каждая точка которой удовлетворяет данному неравенству.
Прямая, ограничивающая данную полуплоскость, строится по исходному неравенству, в котором знак неравенства заменен на знак равно.
Пример 1
Построим график неравенства: $$y>2x+3$$ Для начала построим прямую, ограничивающую полуплоскость: $$y=2x+3$$
Показать решение
Скрыть
Графиком линейного уравнения $\textcolor{coral}{y}=2\textcolor{blue}{x}+3$ является прямая, которую можно построить по двум точкам. Зададим пару произвольных точек: $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{-2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=2\cdot(\textcolor{blue}{-2})+3=\textcolor{coral}{-1}\\x=\textcolor{blue}{0}&: \quad \textcolor{coral}{y}=2\cdot\textcolor{blue}{0}+3=\textcolor{coral}{3}\end{aligned}$$
$\textcolor{blue}{x}$ | $-2$ | $0$ |
$\textcolor{coral}{y}$ | $-1$ | $3$ |
Далее смотрим на знак неравенства: $y\textcolor{coral}{>}2x+3,$ значит, полуплоскость находится выше данной прямой:
Обратим внимание
Так как знак неравенства строгий, прямая, ограничивающая полуплоскость изображается пунктирной линией.
Пример 2
Покажем на координатной прямой множество точек, которое задает неравенство: $$x \leq 2$$
Построим прямую, ограничивающую полуплоскость, заменив знак неравенства на знак равно: $$x=2$$ Закрасим плоскость слева от проведенной прямой, так как стоит знак неравенства: $x \textcolor{coral}{\leq} 2.$
Также заметим, что знак неравенства нестрогий, значит, точки самой прямой будут удовлетворять условию неравенства, поэтому прямую проводим сплошной линией:
Системы линейных неравенств
Определим, какое множество точек на координатной плоскости задает система неравенств: $$\left\{\begin{aligned}y&>0.5x-1\\y&<0.5x+3\end{aligned}\right.$$
Построим прямые, ограничивающие данное множество.
Так как угловые коэффициенты $0.5$ равны, наклон прямых будет одинаковым, значит, прямые будут параллельны.
Показать решение
Скрыть
В обоих уравнениях заменим знак неравенства на знак равно и составим таблицу значений переменных для каждого уравнения по отдельности. $$\textcolor{coral}{y}=0.5\textcolor{blue}{x}-1$$ $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{2}-1=\textcolor{coral}{0}\\x=\textcolor{blue}{4}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{4}-1=\textcolor{coral}{1}\end{aligned}$$
$\textcolor{blue}{x}$ | $2$ | $4$ |
$\textcolor{coral}{y}$ | $0$ | $1$ |
$$\textcolor{coral}{y}=0.5\textcolor{blue}{x}+3$$ $$\begin{aligned}x=\textcolor{blue}{-2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot (\textcolor{blue}{-2})+3=\textcolor{coral}{2}\\x=\textcolor{blue}{2}&: \quad \textcolor{coral}{y}=0.5\cdot \textcolor{blue}{2}+3=\textcolor{coral}{4}\end{aligned}$$
$\textcolor{blue}{x}$ | $-2$ | $2$ |
$\textcolor{coral}{y}$ | $2$ | $4$ |
Множество значений должно быть выше первой прямой$(y\textcolor{orange}{>}0.5x-1)$, но ниже второй прямой$(y\textcolor{orange}{<}0.5x+3)$. Решением данного неравенства будет являться множество точек, ограниченных прямыми уравнений системы.
Часто задаваемые вопросы
Решением неравенства с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.
Все зависит от знака неравенства. Если знак неравенства нестрогий $(\geq$ или $\leq),$ прямая рисуется сплошной линией, а точки, лежащие на данной прямой, будут удовлетворять условию неравенства. Если знак неравенства строгий $(<$или $>),$ то прямая рисуется прерывистой линией, точки данной прямой не будут удовлетворять условию неравенства.
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.