Точка и прямая на плоскости

Каждая геометрическая фигура, даже самая замысловатая, как, например, линейная сфера на изображении выше, раскладывается на точки и прямые. Если вы ознакомились с уроком из введения про аксиоматический метод, можно провести следующую параллель: как клубочек любой теоремы разматывается до аксиом, так и фигуры полностью «разбираются» до точек и прямых.

Что такое плоскость в геометрии?

Аналогия с конструктором-игрушкой, на самом деле, очень сподручна. И мы воспользуемся ей еще раз для того, чтобы рассмотреть, что такое плоскость в геометрии. Положим, вы купили набор в стиле «собери домик». Казалось бы, первым делом вы осмотрите схему сборки и детали. Однако… это не так. Первым делом вы освободите себе место на полу, где будет идти жилстроительство.

Определим плоскость математически:

Плоскость — двухмерная поверхность, к которой принадлежат все геометрические фигуры.

Тем не менее, для правильного понимания, что такое плоскость в геометрии, сравнение «как место на полу» не стоит воспринимать буквально. Место на полу имеет физические ограничения. К тому же оно реально, — вы можете прикоснуться к поверхности пола в любой момент.

Давайте сравним. Плоскость в геометрии:  

• Абстрактна. Ее нельзя так же явственно представить, как реальный физический объект. Например, яблоко. Вы не можете ее сфотографировать или нарисовать.  
• Двухмерна. Построенный на плоскости пола домик из игрушечного набора является трехмерным. Плоскость в планиметрии задает фигуры без объема. Условно говоря, лишь их «очертания».
• Не поддается измерению. Плоскость в геометрии нельзя измерить в длину или ширину как поверхность пола. Она бесконечна, она просто существует.

Абстрактные плоскости!

Вроде бы геометрические фигуры являются конкретными объектами мира, но вот начальная их стадия изучения, выходит, привязана к абстракциям. Просто помните, что во многом абстракция — это идея, и у идей нет формы. Задумайтесь: вся математика является воображаемой, ведь числа в действительности тоже не существует.

Число мы придумали как абстракцию, которая оказалась очень удобной для описания физически существующего. Плоскость в геометрии — еще одна удобная математическая идея, чтобы представить место, где бы располагались фигуры. Плоскость не в пример полу идеально ровная и идеально бесконечная. В общем-то наука полна абстрактных идей. Даже физика не исключение.

{"questions":[{"content":"Перечислим еще раз основные свойства плоскости. Выберите положения, которые соответствуют определению плоскости в геометрии. [[speech-1]]<br>[[choice-5]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Небольшая подсказка: мы обсудили <b><i>три</i></b> положения."},"choice-5":{"type":"choice","options":["Двухмерная","Трехмерная","Абстрактная","Конкретная","Измеряемая","Не имеет меры"],"answer":[0,2,5]}}}]}

Точка и прямая в геометрии  

Мы неспроста часто упоминаем в уроке комментарий «в геометрии». Выше, например, мы говорили про плоскость в геометрии. Сейчас — про точки и прямые в геометрии. Все дело в том, что наше бытовое понимание терминов «точка, прямая, плоскость» разительно отличается от геометрического. Будьте внимательны и осторожны в том, что на самом деле понимается под терминами!

На плоскости основными геометрическими фигурами являются точка и прямая. Рассмотрим, как они изображаются и обозначаются. На чертеже вы видите прямые $a$ и $b$ и точки $A$ и $B$. Плоскость в геометрии никак не обозначается — мы просто подразумеваем ее существование.

Размер точки

Возьмите лист бумаги, толстый маркер и остро отточенный карандаш. Отметьте на листе пишущими принадлежностями две точки. Теперь подумайте: если смотреть на точки геометрически, будет ли между ними разница? А вот и нет. И все потому, что размер точки в геометрии не определен.

Точку можно мысленно представить как координату на плоскости, словно вы тыкаете в некоторое место пальцем. Размер точки не имеет значения. Главное, куда вы «тыкнули».

Не обозначен, не задан и так далее — про размер точки выразиться можно по-разному. Попробуйте подумать про круг с радиусом, уменьшающимся настолько, что круг в итоге становится бесконечно малым. Да, верно: точка в геометрии — очередная абстракция, как и плоскость. Прямая тоже, поскольку нигде не гнется, не имеет ширины и обладает бесконечной длиной.

{"questions":[{"content":"Ниже даны свойства основных геометрических фигур. Распределите свойства согласно соответствующим геометрическим объектам. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Свойства точки","Свойства прямой"],"items":[["Не имеет составных частей, неделима","Бесконечно мала","Обозначается прописными латинскими буквами"],["Состоит из множества точек","Бесконечно длинная","Обозначается строчными латинскими буквами"]]}}}]}

Принадлежность точки прямой

Определимся, как выражать принадлежность точки прямой. Для этого рассмотрим на плоскости точки $C$, $D$, $F$, $G$ и прямые $a$, $b$. Точки $C$ и $D$ лежат на прямой $a$. Точка $G$ лежит на прямой $b$. С другой стороны, точки $F$ и $G$ не лежат на прямой $a$. То же самое можно сказать про точки $C$, $D$ и $F$ — они не лежат на прямой $b$.

Математические символы

Принадлежность точки прямой обозначается символом «$\in$» и читается как «принадлежит». Например, $A\in{a}$ — «точка $A$ принадлежит прямой $a$». Для отсутствия принадлежности используется перечеркнутый символ «$\notin$». Например, $B\notin{c}$ — «точка $B$ не принадлежит прямой $c$».

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Даны прямая $a$ и точки $A$ и $B$. Завершите ниже отношения принадлежности точек прямой, вписав соответствующие обозначения.<br><br>[[input-8]] $\\in$ [[input-18]]<br>[[input-44]] $\\notin$ [[input-66]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/AB-test.svg"},"input-8":{"type":"input","inline":1,"answer":"A"},"input-18":{"type":"input","inline":1,"answer":"a"},"input-44":{"type":"input","inline":1,"answer":"B"},"input-66":{"type":"input","inline":1,"answer":"a"}},"step":1,"hints":["Точка $A$ принадлежит прямой $a$. В математической нотации: $$A\\in{a}$$","Точка $B$ <b>не</b> принадлежит прямой $a$. В математической нотации: $$B\\notin{a}$$"]}]}

Точки и прямые связаны отношениями принадлежности. Также вспомним, что прямая — абстрактный геометрический объект, состоящий из точек. Из этого мы можем сделать вывод, что на плоскости всегда будут точки, принадлежащие прямой, и точки, ей не принадлежащие. Это — одна из главных аксиом планиметрии.

Внимание. Аксиомы мы будем вымещать в рамочки и вести нумерацию «$A_x$», где $x$ — номер аксиомы.

Давайте сформулируем нашу первую аксиому:

$A_1$. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Точка и прямая: аксиома прямой

Мы говорили о том, что прямая — это совокупность точек, но ни разу не определили, сколько минимум нужно расположить точек на плоскости, чтобы задать строго одну прямую.

Предположим, что достаточно только одной точки. Рассмотрим, к примеру, точку $A$ и прямые $a$ и $b$. Как видим, через одну точку может проходить сколь угодно прямых.

Оставлять вопрос открытым нельзя. «Минимальные требования» к тому, сколько точек необходимо для проведения одной прямой, очень важны, ведь по сути они являются определением прямой.

Поэтому в планиметрии в данном отношении принята следующая аксиома:

$A_2$. Через любые две точки, находящиеся на плоскости, можно провести прямую, и только одну.

Почему через две точки можно провести только одну прямую?

Однако объяснение вполне прозаично. Давайте представим себе ситуацию с пересечением прямых. Пусть есть две прямые, которые пересекаются не в одной точке, а в двух. Давайте еще и не представлять, а чертить. Реален ли подобный чертеж выше?

Никак не реален. Если бы прямые имели две точки пересечения, они бы были уже не прямые, а изогнутые. Отсюда аксиома, говорящая, почему через две точки можно провести только одну прямую. И соответственно из нее следствие:

Следствие из $A_2$. Если две различные прямые пересекаются, то они пересекаются только в одной точке.  

{"questions":[{"content":"[[speech-1]]<br><br>Мы изучили две основные аксиомы планиметрии и одно следствие. Ниже располагаются различные утверждения, основанные на них, — как ложные, так и истинные. Выберите только те утверждения, которые не противоречат рассмотренным аксиомам. [[choice-11]]","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Время подведения итогов!"},"choice-11":{"type":"choice","options":["Через две точки может проходить сколь угодно прямых.","Через две точки проходит только одна прямая.","На плоскости всегда могут существовать точки, принадлежащие прямой, и ей не принадлежащие.","Все точки, существующие на плоскости, принадлежат прямым.","Прямые пересекаются в только одной точке."],"answer":[1,2,4]}}}]}