Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписаться
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Способ подстановки

Содержание
30 435

На этом уроке мы рассмотрим способ подстановки — основной способ решения систем уравнений, а также потренируемся в решении примеров способом подстановки.

Алгоритм решения способом подстановки

Пример 1

Решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{aligned}&4x+2y=6\\&x-y=3\end{aligned}\right.$$

В первом уравнении выразим $\textcolor{coral}{y}$.

Показать решение

Скрыть

Для этого перенесем все, что не содержит переменную $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент перед $y$:$$\textcolor{blue}{4x}+2y=6$$ $$\textcolor{darkgreen}{2}y=6\textcolor{blue}{-4x}$$ $$y=\frac{6-4x}{\textcolor{darkgreen}{2}}=\frac{6}{\textcolor{darkgreen}{2}}-\frac{4x}{\textcolor{darkgreen}{2}}=3-2x$$

$$\left\{\begin{aligned}&\textcolor{coral}{y}=3-2x\\&x-y=3\end{aligned}\right.$$

Подставив во второе уравнение вместо $y$ правую часть верхнего выражения, получим:$$\left\{\begin{aligned}&y=\textcolor{purple}{3-2x}\\&x-(\textcolor{purple}{3-2x})=3\end{aligned}\right.$$

Теперь нижнее уравнение содержит только одну переменную. Решим его.

Показать решение

Скрыть

$$x-(3-2x)=3$$ $$\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3}+\textcolor{green}{2x}=3$$ $$\textcolor{green}{3x}=3\textcolor{orange}{+3}$$ $$3x=6$$ $$x=2$$

$$\left\{\begin{aligned}&y=3-2x\\&x=2\end{aligned}\right.$$

Мы нашли $x$. Чтобы найти $y$, подставим значение $x$ в верхнее уравнение системы:$$\left\{\begin{aligned}&y=3-2\cdot \textcolor{coral}{2}\\&x=\textcolor{coral}{2}\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=-1\\&x=2\end{aligned}\right.$$

Мы решили систему способом подстановки.

Решение системы уравнений способом подстановки:

  1. Выражаем из любого уравнения одну переменную через другую.

    Для этого переносим все, что не содержит искомую переменную, в противоположную часть, а затем производим вычисления.

  2. Подставляем в другое уравнение вместо этой переменной полученное выражение.

  3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

  4. Находим значение второй переменной.

    Подставляем значение найденной переменной в любое уравнение системы и производим вычисления.

Решение примеров способом подстановки

Пример 2

$$\left\{\begin{aligned}&8p-q=4\\&2q-21p=2\end{aligned}\right.$$

Показать решение и ответ

Скрыть

В первом уравнении выразим $q$. Для этого перенесем все, что не содержит переменную $q,$ вправо с противоположным знаком, а затем домножим обе части уравнения на $-1$, чтобы у переменной $q$ убрать минус:$$\textcolor{darkgreen}{8p}-q=4$$ $$-q=4\textcolor{darkgreen}{-8p}$$ $$q=-4+8p$$

$$\left\{\begin{aligned}&q=-4+8p\\&2q-21p=2\end{aligned}\right.$$

Подставив во второе уравнение вместо $q$ правую часть верхнего выражения, получим:$$\left\{\begin{aligned}&q=\textcolor{purple}{-4+8p}\\&2(\textcolor{purple}{-4+8p})-21p=2\end{aligned}\right.$$

Решим второе уравнение: $$2(-4+8p)-21p=2$$ $$\textcolor{blue}{-8}+\textcolor{orange}{16p}\textcolor{orange}{-21p}=2$$ $$\textcolor{orange}{-5p}=2\textcolor{blue}{+8}$$ $$-5p=10$$ $$p=-2$$

$$\left\{\begin{aligned}&q=-4+8p\\&p=\textcolor{coral}{-2}\end{aligned}\right.$$

Решим верхнее уравнение, подставив найденное значение переменной $p$: $$q=-4+8\textcolor{coral}{p}$$ $$q=-4+8\cdot (\textcolor{coral}{-2})=-20$$

Ответ: $q=-20$, $p=-2.$

Пример 3

$$\left\{\begin{aligned}&\frac{2u}{5}+\frac{v}{3}=1\\&\frac{u}{10}-\frac{7v}{6}=4\end{aligned}\right.$$

Показать решение и ответ

Скрыть

Избавимся от знаменателей в первом уравнении. Для этого домножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное обоих знаменателей:

$$\frac{2u}{5}^{(15}+\frac{v}{3}^{(15}=1^{(15}$$

$$\frac{\textcolor{darkgreen}{2u}\cdot {}^{\textcolor{darkgreen}{3}}\cancel{15}}{{}^{1}\cancel{5}}+\frac{\textcolor{blue}{v}\cdot {}^{\textcolor{blue}{5}}\cancel{15}}{{}^{1}\cancel{3}}= 15$$

$$\textcolor{darkgreen}{6u}+\textcolor{blue}{5v}=15$$

Аналогичным образом избавимся от знаменателей второго уравнения:

$$\frac{u}{10}^{(30}-\frac{7v}{6}^{(30}=4^{(30}$$

$$\frac{\textcolor{darkgreen}{u} \cdot {}^{\textcolor{darkgreen}{3}}\cancel{30}}{{}^{1}\cancel{10}}-\frac{\textcolor{blue}{7v}\cdot {}^{\textcolor{blue}{5}}\cancel{30}}{{}^{1}\cancel{6}}=4\cdot 30$$

$$\textcolor{darkgreen}{3u}-\textcolor{blue}{35v}=120$$

Получилась система:

$$\left\{\begin{aligned}&6u+5v=15\\&3u-35v=120\end{aligned}\right.$$

В первом уравнении выразим $v$. Для этого перенесем все, что не содержит переменную $v,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $5$:

$$\textcolor{purple}{6u}+5v=15$$ $$5v=15\textcolor{purple}{-6u}$$ $$v=\textcolor{green}{\frac{15-6u}{5}}$$

Подставив во второе уравнение вместо $v$ правую часть верхнего выражения, получим:

$$3u-{}^{7}\cancel{35}\cdot \textcolor{green}{\frac{15-6u}{{}^{1}\cancel{5}}}=120$$ $$3u-7\cdot(15-6u)=120$$ $$\textcolor{orange}{3u}\textcolor{lightblue}{-105}+\textcolor{orange}{42u}=120$$ $$\textcolor{orange}{45u}=120\textcolor{lightblue}{+105}$$ $$\textcolor{darkgreen}{45}u=225$$ $$u=\frac{225}{\textcolor{darkgreen}{45}}=\textcolor{blue}{5}$$

Решим верхнее уравнение, подставив найденное значение переменной $\textcolor{blue}{u}$:

$$v=\frac{15-6\textcolor{blue}{u}}{5}$$

$$v=\frac{15-6\cdot \textcolor{blue}{5}}{5}=\frac{-15}{5}=-3$$

Ответ: $u=5$, $v=-3.$

Часто задаваемые вопросы

Нужно ли выражать переменную $y$ из двух уравнений?

Нет, достаточно выразить переменную в одном из уравнений и подставить в другое.

Из какого уравнения выражать неизвестную переменную?

Неизвестную переменную можно выражать из любого уравнения. Как правило, такую переменную выражают из того уравнения, в котором проще произвести вычисления.

Можно ли выразить переменную $x$, а не $y$?

Да, в уравнении можно выражать любую неизвестную переменную.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ