КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Способ подстановки. Практика
Способ подстановки
На этом уроке мы рассмотрим способ подстановки — основной способ решения систем уравнений, а также потренируемся в решении примеров способом подстановки.
Алгоритм решения способом подстановки
Пример 1
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned}&4x+2y=6\\&x-y=3\end{aligned}\right.$$
В первом уравнении выразим $\textcolor{coral}{y}$.
Показать решение
Скрыть
Для этого перенесем все, что не содержит переменную $y,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент перед $y$:$$\textcolor{blue}{4x}+2y=6$$ $$\textcolor{darkgreen}{2}y=6\textcolor{blue}{-4x}$$ $$y=\frac{6-4x}{\textcolor{darkgreen}{2}}=\frac{6}{\textcolor{darkgreen}{2}}-\frac{4x}{\textcolor{darkgreen}{2}}=3-2x$$
$$\left\{\begin{aligned}&\textcolor{coral}{y}=3-2x\\&x-y=3\end{aligned}\right.$$
Подставив во второе уравнение вместо $y$ правую часть верхнего выражения, получим:$$\left\{\begin{aligned}&y=\textcolor{purple}{3-2x}\\&x-(\textcolor{purple}{3-2x})=3\end{aligned}\right.$$
Теперь нижнее уравнение содержит только одну переменную. Решим его.
Показать решение
Скрыть
$$x-(3-2x)=3$$ $$\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3}+\textcolor{green}{2x}=3$$ $$\textcolor{green}{3x}=3\textcolor{orange}{+3}$$ $$3x=6$$ $$x=2$$
$$\left\{\begin{aligned}&y=3-2x\\&x=2\end{aligned}\right.$$
Мы нашли $x$. Чтобы найти $y$, подставим значение $x$ в верхнее уравнение системы:$$\left\{\begin{aligned}&y=3-2\cdot \textcolor{coral}{2}\\&x=\textcolor{coral}{2}\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=-1\\&x=2\end{aligned}\right.$$
Мы решили систему способом подстановки.
Решение системы уравнений способом подстановки:
- Выражаем из любого уравнения одну переменную через другую.
Для этого переносим все, что не содержит искомую переменную, в противоположную часть, а затем производим вычисления.
- Подставляем в другое уравнение вместо этой переменной полученное выражение.
- Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
- Находим значение второй переменной.
Подставляем значение найденной переменной в любое уравнение системы и производим вычисления.
Решение примеров способом подстановки
Пример 2
$$\left\{\begin{aligned}&8p-q=4\\&2q-21p=2\end{aligned}\right.$$
Показать решение и ответ
Скрыть
В первом уравнении выразим $q$. Для этого перенесем все, что не содержит переменную $q,$ вправо с противоположным знаком, а затем домножим обе части уравнения на $-1$, чтобы у переменной $q$ убрать минус:$$\textcolor{darkgreen}{8p}-q=4$$ $$-q=4\textcolor{darkgreen}{-8p}$$ $$q=-4+8p$$
$$\left\{\begin{aligned}&q=-4+8p\\&2q-21p=2\end{aligned}\right.$$
Подставив во второе уравнение вместо $q$ правую часть верхнего выражения, получим:$$\left\{\begin{aligned}&q=\textcolor{purple}{-4+8p}\\&2(\textcolor{purple}{-4+8p})-21p=2\end{aligned}\right.$$
Решим второе уравнение: $$2(-4+8p)-21p=2$$ $$\textcolor{blue}{-8}+\textcolor{orange}{16p}\textcolor{orange}{-21p}=2$$ $$\textcolor{orange}{-5p}=2\textcolor{blue}{+8}$$ $$-5p=10$$ $$p=-2$$
$$\left\{\begin{aligned}&q=-4+8p\\&p=\textcolor{coral}{-2}\end{aligned}\right.$$
Решим верхнее уравнение, подставив найденное значение переменной $p$: $$q=-4+8\textcolor{coral}{p}$$ $$q=-4+8\cdot (\textcolor{coral}{-2})=-20$$
Ответ: $q=-20$, $p=-2.$
Пример 3
$$\left\{\begin{aligned}&\frac{2u}{5}+\frac{v}{3}=1\\&\frac{u}{10}-\frac{7v}{6}=4\end{aligned}\right.$$
Показать решение и ответ
Скрыть
Избавимся от знаменателей в первом уравнении. Для этого домножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное обоих знаменателей:
$$\frac{2u}{5}^{(15}+\frac{v}{3}^{(15}=1^{(15}$$
$$\frac{\textcolor{darkgreen}{2u}\cdot {}^{\textcolor{darkgreen}{3}}\cancel{15}}{{}^{1}\cancel{5}}+\frac{\textcolor{blue}{v}\cdot {}^{\textcolor{blue}{5}}\cancel{15}}{{}^{1}\cancel{3}}= 15$$
$$\textcolor{darkgreen}{6u}+\textcolor{blue}{5v}=15$$
Аналогичным образом избавимся от знаменателей второго уравнения:
$$\frac{u}{10}^{(30}-\frac{7v}{6}^{(30}=4^{(30}$$
$$\frac{\textcolor{darkgreen}{u} \cdot {}^{\textcolor{darkgreen}{3}}\cancel{30}}{{}^{1}\cancel{10}}-\frac{\textcolor{blue}{7v}\cdot {}^{\textcolor{blue}{5}}\cancel{30}}{{}^{1}\cancel{6}}=4\cdot 30$$
$$\textcolor{darkgreen}{3u}-\textcolor{blue}{35v}=120$$
Получилась система:
$$\left\{\begin{aligned}&6u+5v=15\\&3u-35v=120\end{aligned}\right.$$
В первом уравнении выразим $v$. Для этого перенесем все, что не содержит переменную $v,$ вправо с противоположным знаком, а затем разделим обе части уравнения на $5$:
$$\textcolor{purple}{6u}+5v=15$$ $$5v=15\textcolor{purple}{-6u}$$ $$v=\textcolor{green}{\frac{15-6u}{5}}$$
Подставив во второе уравнение вместо $v$ правую часть верхнего выражения, получим:
$$3u-{}^{7}\cancel{35}\cdot \textcolor{green}{\frac{15-6u}{{}^{1}\cancel{5}}}=120$$ $$3u-7\cdot(15-6u)=120$$ $$\textcolor{orange}{3u}\textcolor{lightblue}{-105}+\textcolor{orange}{42u}=120$$ $$\textcolor{orange}{45u}=120\textcolor{lightblue}{+105}$$ $$\textcolor{darkgreen}{45}u=225$$ $$u=\frac{225}{\textcolor{darkgreen}{45}}=\textcolor{blue}{5}$$
Решим верхнее уравнение, подставив найденное значение переменной $\textcolor{blue}{u}$:
$$v=\frac{15-6\textcolor{blue}{u}}{5}$$
$$v=\frac{15-6\cdot \textcolor{blue}{5}}{5}=\frac{-15}{5}=-3$$
Ответ: $u=5$, $v=-3.$
Часто задаваемые вопросы
Нет, достаточно выразить переменную в одном из уравнений и подставить в другое.
Неизвестную переменную можно выражать из любого уравнения. Как правило, такую переменную выражают из того уравнения, в котором проще произвести вычисления.
Да, в уравнении можно выражать любую неизвестную переменную.
5
5
1
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.