<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна $15,$ а их разность равна $3.$ Найдите меньшую сторону прямоугольника.[[fill_choice_big-1]][[image-1729]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1729":{"type":"image","url":""}},"step":1,"hints":["Примем длину одной стороны за $\\textcolor{blue}{x},$ а другой — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Сумма сторон равна $15$: $\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=15.$<br />Разность сторон равна $3$: $\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=3$.<br />Получаем систему уравнений:$$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=15\\\\x-y&=3\\end{aligned}\\right.$$","Решим данную систему методом сложения:$$+\\begin{aligned}x+y&=\\textcolor{darkgreen}{15}\\\\x-y&=\\textcolor{darkgreen}{3}\\end{aligned}\\Rightarrow \\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}+\\textcolor{blue}{x}\\cancel{\\textcolor{coral}{-y}}=\\textcolor{darkgreen}{15+3}$$ $$2\\textcolor{blue}{x}=18$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{18}{2}=\\textcolor{blue}{9}$$","Найдем $\\textcolor{coral}{y},$ подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в верхнее уравнение: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=15$$ $$\\textcolor{blue}{9}+\\textcolor{coral}{y}=15$$ $$\\textcolor{coral}{y}=15\\textcolor{blue}{-9}=\\textcolor{coral}{6}$$","Мы нашли обе стороны: $\\textcolor{blue}{9}$ и $\\textcolor{coral}{6}.$ В ответе нужно указать меньшую из сторон.$\\newline$<br />Ответ: $6.$"],"id":"0"},{"content":"Сумма смежных углов равна $180$ градусам, а их разность равна $80.$ Найдите градусную меру большего угла.[[fill_choice_big-21]][[image-1758]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$130\\degree$","$50\\degree$","$150\\degree$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1758":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/def-supp.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Примем величину одного угла за $\\textcolor{blue}{x},$ а другого — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Сумма двух углов равна $180$: $\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=180.$<br />Разность этих углов равна $80$: $\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=80$.<br />Получаем систему уравнений:$$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=180\\\\x-y&=80\\end{aligned}\\right.$$","Решим данную систему методом сложения:$$+\\begin{aligned}x+y&=\\textcolor{darkgreen}{180}\\\\x-y&=\\textcolor{darkgreen}{80}\\end{aligned}\\Rightarrow \\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}+\\textcolor{blue}{x}\\cancel{\\textcolor{coral}{-y}}=\\textcolor{darkgreen}{180+80}$$ $$2\\textcolor{blue}{x}=260$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{260}{2}=\\textcolor{blue}{130}$$","Найдем $\\textcolor{coral}{y},$ подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в верхнее уравнение: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=180$$ $$\\textcolor{blue}{130}+\\textcolor{coral}{y}=180$$ $$\\textcolor{coral}{y}=180\\textcolor{blue}{-130}=\\textcolor{coral}{50}$$","Мы нашли оба угла: $\\textcolor{blue}{130}$ и $\\textcolor{coral}{50}.$ В ответе нужно указать больший угол.$\\newline$<br />Ответ: $130\\degree.$"],"id":"0"},{"content":"Периметр прямоугольника равен $18\\space см,$ а одна его сторона больше другой на $1\\space см.$ Найдите большую сторону прямоугольника.[[fill_choice_big-51]]","widgets":{"fill_choice_big-51":{"type":"fill_choice_big","options":["$5 \\spaceсм$","$8 \\spaceсм$","$7 \\spaceсм$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Примем длину одной стороны за $\\textcolor{blue}{x},$ а другой — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон: $$ \\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}+\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=18$$ $$2\\textcolor{blue}{x}+2\\textcolor{coral}{y}=18$$<br />Одна сторона больше другой на $1\\space см$: $$\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=1$$ Получаем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=18\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$$","Решим полученную систему методом сложения. Домножим нижнее уравнение на $\\textcolor{orange}{2}$ и сложим уравнения:$$\\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=18\\\\x-y&=1 \\space | \\cdot \\textcolor{orange}{2}\\end{aligned}\\right. \\Rightarrow \\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=18\\\\2x-2y&=2\\end{aligned}\\right.$$ $$+\\begin{aligned}2x+2y&=18\\\\2x-2y&=2\\end{aligned}\\Rightarrow 2\\textcolor{blue}{x}+\\cancel{2\\textcolor{coral}{y}}+2\\textcolor{blue}{x} \\cancel{-2\\textcolor{coral}{y}}=\\textcolor{darkgreen}{18+2}$$ $$4\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{20}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{20}{4}=\\textcolor{blue}{5}$$","Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=1$$ $$\\textcolor{blue}{5}-\\textcolor{coral}{y}=1$$ $$-\\textcolor{coral}{y}=1-5=-4$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{coral}{4}$$ Большая сторона равна $\\textcolor{blue}{5} \\spaceсм.$<br />Ответ: $5 \\spaceсм.$"],"id":"0"},{"content":"Первый автомобиль проезжает за $6$ часов такой же путь, как второй за $5$ часов. Известно, что скорость первого автомобиля на $10 \\space км/ч$ меньше скорости второго. Найдите скорость первого автомобиля.[[fill_choice_big-493]][[image-1834]]","widgets":{"fill_choice_big-493":{"type":"fill_choice_big","options":["$50 \\space км/ч$","$30 \\space км/ч$","$80 \\space км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1834":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/bolid-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть скорость первого автомобиля $\\textcolor{blue}{x},$ а скорость второго — $\\textcolor{coral}{y}.$","Путь равен произведению скорости на время. Пути, пройденные первым автомобилем за $6$ часов и вторым автомобилем за $5$ часов, равны: $$6\\textcolor{blue}{x}=5\\textcolor{coral}{y}$$ Скорость первого автомобиля на $10 \\space км/ч$ меньше скорости второго: $$\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=10$$ Получаем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}6x&=5y\\\\y-x&=10\\end{aligned}\\right.$$","Выразим из нижнего уравнения $\\textcolor{coral}{y}$ и подставим в верхнее уравнение: $$\\left\\{\\begin{aligned}6x&=5(\\textcolor{coral}{x+10})\\\\\\textcolor{coral}{y}&=\\textcolor{coral}{x+10}\\end{aligned}\\right.$$ $$6\\textcolor{blue}{x}=5(\\textcolor{blue}{x}+10)$$ $$6\\textcolor{blue}{x}=5\\textcolor{blue}{x}+50$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{blue}{50}$$ Подставим значение $\\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение и найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=10$$ $$\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{50}=10$$ $$\\textcolor{coral}{y}=50+10=\\textcolor{coral}{60}$$","Скорость первого автомобиля принимали за $\\textcolor{blue}{x}.$ <br />Ответ: $50 \\space км/ч.$"],"id":"1"},{"content":"За $2$ часа езды на автомобиле и $5$ часов езды на поезде туристы проехали всего $780 \\space км.$ Найдите скорость поезда, если она на $30 \\space км/ч$ больше скорости автомобиля.[[fill_choice_big-919]][[image-1899]]","widgets":{"fill_choice_big-919":{"type":"fill_choice_big","options":["$120 \\space км/ч$","$90 \\space км/ч$","$150 \\space км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1899":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/poezd-stancziya-.svg","width":"399"}},"step":1,"hints":["Примем скорость поезда за $\\textcolor{blue}{x},$ а скорость автомобиля — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Путь равен произведению скорости на время. За $2$ часа езды на автомобиле и $5$ часов езды на поезде туристы проехали $780 \\space км$: $$2\\textcolor{coral}{y}+5\\textcolor{blue}{x}=780$$ Скорость поезда на $30 \\space км/ч$ больше скорости автомобиля: $$\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=30$$ Получаем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}2y+5x&=780\\\\x-y&=30\\end{aligned}\\right.$$","Домножим нижнее уравнение на $\\textcolor{orange}{2}$ и решим систему методом сложения: $$\\left\\{\\begin{aligned}2y+5x&=780\\\\x-y&=30 \\space |\\cdot \\textcolor{orange}{2}\\end{aligned}\\right.\\Rightarrow \\left\\{\\begin{aligned}2y+5x&=780\\\\2x-2y&=60\\end{aligned}\\right.$$ $$+\\begin{aligned}\\cancel{2\\textcolor{coral}{y}}+5\\textcolor{blue}{x}&=780\\\\2\\textcolor{blue}{x}\\cancel{-2\\textcolor{coral}{y}}&=60\\end{aligned}\\Rightarrow 7\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{780+60}$$ $$7\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{840}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{840}{7}=\\textcolor{blue}{120}$$","За $\\textcolor{blue}{x}$ принимали скорость поезда.<br />Ответ: $120 \\space км/ч$"],"id":"1"},{"content":"За $3$ часа по течению и $2$ часа против течения реки теплоход прошел $105 \\space км.$ Этот же теплоход за $3$ часа против течения проходит на $5 \\space км$ меньше, чем за $2$ часа по течению. Найдите скорость теплохода по течению.[[fill_choice_big-1420]][[image-1985]]","widgets":{"fill_choice_big-1420":{"type":"fill_choice_big","options":["$25 \\space км/ч$","$35 \\space км/ч$","$40 \\space км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1985":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/plavaniesudov2.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть собственная скорость теплохода — $\\textcolor{blue}{x},$ а скорость реки — $\\textcolor{coral}{y}.$ Тогда скорость по течению реки будет: $\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}.$<br />Скорость против течения реки: $\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}.$","Путь равен произведению скорости на время. За $3$ часа по течению и $2$ часа против течения реки теплоход прошел $105 \\space км$: $$3(\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y})+2(\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y})=105$$ $$3\\textcolor{blue}{x}+3\\textcolor{coral}{y}+2\\textcolor{blue}{x}-2\\textcolor{coral}{y}=105$$ $$5\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=105$$ Этот же теплоход за $3$ часа против течения проходит на $5 \\space км$ меньше, чем за $2$ часа по течению: $$2(\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y})-3(\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y})=5$$ $$2\\textcolor{blue}{x}+2\\textcolor{coral}{y}-3\\textcolor{blue}{x}+3\\textcolor{coral}{y}=5$$ $$5\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=5$$ Получаем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}5x+y&=105\\\\5y-x&=5\\end{aligned}\\right.$$","Домножим нижнее уравнение на $\\textcolor{orange}{5}$ и решим систему способом сложения: $$\\left\\{\\begin{aligned}5x+y&=105\\\\5y-x&=5\\space|\\cdot \\textcolor{orange}{5}\\end{aligned}\\right. \\Rightarrow \\left\\{\\begin{aligned}5x+y&=105\\\\25y-5x&=25\\end{aligned}\\right.$$ $$+\\begin{aligned}\\cancel{5\\textcolor{blue}{x}}+\\textcolor{coral}{y}&=\\textcolor{darkgreen}{105}\\\\25\\textcolor{coral}{y}\\cancel{-5\\textcolor{blue}{x}}&=\\textcolor{darkgreen}{25}\\end{aligned}\\Rightarrow 26\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{130}$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{130}{26}=\\textcolor{coral}{5}$$ Подставим значение $\\textcolor{coral}{y}$ в нижнее уравнение и найдем $\\textcolor{blue}{x}$: $$5\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=5$$ $$5\\cdot \\textcolor{coral}{5}-\\textcolor{blue}{x}=5$$ $$\\textcolor{blue}{x}=25-5=\\textcolor{blue}{20}$$","Скорость теплохода по течению: $\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}.$ $$\\textcolor{blue}{20}+\\textcolor{coral}{5}=25$$ Ответ: $25 \\space км/ч.$"],"id":"1"},{"content":"Сколько $5$-процентного и $1$-процентного растворов вещества нужно взять, чтобы получить $3 \\space кг$ $3.2$-процентного раствора?[[fill_choice_big-136]][[image-2058]]","widgets":{"fill_choice_big-136":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.65 \\space кг$ и $1.35\\space кг$","$2\\space кг$ и $1\\space кг$","$1.8\\space кг$ и $1.2\\space кг$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2058":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kleozavr-lupa-himiya-uchenyj-opyty-kolby-klba.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть масса первого раствора $\\textcolor{blue}{x} \\space кг,$ а масса второго — $\\textcolor{coral}{y} \\space кг.$","Оба раствора весят $3$ $кг$: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=3$$<br />Масса вещества в первом растворе $5\\%$: $0.05\\textcolor{blue}{x}.$<br />Масса вещества во втором растворе $1\\%$: $0.01\\textcolor{coral}{y}.$<br />Масса вещества в полученном растворе $3.2\\%$: $$3\\cdot 0.032=0.096$$ Сложив вещества из первого и второго растворов также получим сумму их масс: $$0.05\\textcolor{blue}{x}+0.01\\textcolor{coral}{y}=0.096$$<br />Получаем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=3\\\\0.05x+0.01y&=0.096\\end{aligned}\\right.$$","Домножим нижнее уравнение на $\\textcolor{orange}{-100}$ и решим систему методом сложения: $$0.05x+0.01y=0.096 \\space| \\cdot (\\textcolor{orange}{-100})$$ $$-5x-y=-9.6$$ $$+\\begin{aligned}\\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}&=\\textcolor{darkgreen}{3}\\\\-5\\textcolor{blue}{x}\\cancel{-\\textcolor{coral}{y}}&=\\textcolor{darkgreen}{-9.6}\\end{aligned}\\Rightarrow -4\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{-6.6}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{-6.6}{-4}=\\textcolor{blue}{1.65}$$ Подставим $\\textcolor{blue}{x}$ в верхнее уравнение и найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=3$$ $$\\textcolor{blue}{1.65}+\\textcolor{coral}{y}=3$$ $$\\textcolor{coral}{y}=3-1.65=\\textcolor{coral}{1.35}$$<br />Ответ: $1.65$ $кг$ и $1.35$ $кг.$"],"id":"2"},{"content":"Первый сплав содержит $5 \\%$ олова, а второй — $14\\%$ олова. Масса второго сплава больше массы первого на $7 \\space кг.$ Из двух сплавов получили третий, содержащий $10\\%$ олова. Найдите массу третьего сплава.[[fill_choice_big-129]][[image-2135]]","widgets":{"fill_choice_big-129":{"type":"fill_choice_big","options":["$63\\space кг$","$35\\space кг$","$58\\space кг$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2135":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kuznecz-pech-pechka-ogon-1.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть масса первого сплава $\\textcolor{blue}{x} \\space кг,$ а масса второго — $\\textcolor{coral}{y} \\space кг.$","Доля олова в первом сплаве $5\\%$, тогда его масса будет: $0.05\\textcolor{blue}{x}.$<br />Масса олова во втором сплаве: $0.14\\textcolor{coral}{y}.$<br />Масса олова в полученном сплаве: $$0.05\\textcolor{blue}{x}+0.14\\textcolor{coral}{y}=0.1(\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y})$$ $$0.05\\textcolor{blue}{x}+0.14\\textcolor{coral}{y}=0.1\\textcolor{blue}{x}+0.1\\textcolor{coral}{y}$$ $$0.05\\textcolor{blue}{x}-0.1\\textcolor{blue}{x}+0.14\\textcolor{coral}{y}-0.1\\textcolor{coral}{y}=0$$ $$-0.05\\textcolor{blue}{x}+0.04\\textcolor{coral}{y}=0$$<br />Масса второго сплава больше массы первого на $7 \\space кг$: $$\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=7$$ Получаем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}-0.05x+0.04y&=0\\\\y-x&=7\\end{aligned}\\right.$$","В нижнем уравнении выразим $\\textcolor{coral}{y}$ и подставим в верхнее уравнение: $$\\left\\{\\begin{aligned}-0.05\\textcolor{blue}{x}+0.04(\\textcolor{coral}{7+x})&=0\\\\\\textcolor{coral}{y}&=\\textcolor{coral}{7+x}\\end{aligned}\\right.$$ $$-0.05x+0.04(7+x)=0$$ $$-0.05\\textcolor{blue}{x}+0.28+0.04\\textcolor{blue}{x}=0$$ $$-0.01\\textcolor{blue}{x}+0.28=0$$ $$-0.01\\textcolor{blue}{x}=-0.28$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{-0.28}{-0.01}=\\textcolor{blue}{28}$$ Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{blue}{x}+7$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{blue}{28}+7=\\textcolor{coral}{35}$$<br />","Масса третьего сплава будет равна сумме масс обоих сплавов: $$\\textcolor{blue}{28}+\\textcolor{coral}{35}=63 \\space кг$$ Ответ: $63\\space кг$"],"id":"2"},{"content":"Смешали $70\\%$ и $48\\%$ растворы вещества, получив при этом $66 \\space кг$ $60\\%$ раствора. Сколько $кг$ каждого вещества было взято?[[fill_choice_big-383]][[image-2216]]","widgets":{"fill_choice_big-383":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$ и $36$","$20$ и $46$","$22$ и $44$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2216":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/uchyonyj-1.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Пусть масса первого вещества $\\textcolor{blue}{x} \\space кг,$ а масса второго — $\\textcolor{coral}{y} \\space кг.$","Масса полученного вещества равна $66 \\space кг$: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=66$$<br />Доля вещества в первом растворе $70\\%$, тогда его масса будет: $0.7\\textcolor{blue}{x}.$<br />Масса вещества во втором растворе: $0.48\\textcolor{coral}{y}.$<br />Масса вещества в полученном растворе: $0.6 \\cdot 66 = 39.6$<br />Смешав растворы, мы также складываем растворенные вещества: $$0.7\\textcolor{blue}{x}+0.48\\textcolor{coral}{y}=39.6$$<br />Получаем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=66\\\\0.7x+0.48y&=39.6\\end{aligned}\\right.$$","В верхнем уравнении выразим $\\textcolor{blue}{x}$ и подставим в нижнее уравнение: $$\\left\\{\\begin{aligned}\\textcolor{blue}{x}&=\\textcolor{blue}{66-y}\\\\0.7(\\textcolor{blue}{66-y})+0.48y&=39.6\\end{aligned}\\right.$$ $$\\textcolor{darkgreen}{46.2}-0.7\\textcolor{coral}{y}+0.48\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{39.6}$$ $$-0.22\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{-6.6}$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{-6.6}{-0.22}=\\textcolor{coral}{30}$$","Найдем $\\textcolor{blue}{x},$ подставив значение $\\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=66$$ $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{30}=66$$ $$\\textcolor{blue}{x}=66-30=\\textcolor{blue}{36}$$ <br />Ответ: $30$ $кг$ и $36$ $кг.$"],"id":"2"},{"content":"На двух полках стоит $60$ книг. Если с первой полки переставить на вторую половину книг, то книг на второй полке станет в два раза больше. Сколько книг было на первой полке?[[fill_choice_big-85]][[image-2301]]","widgets":{"fill_choice_big-85":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$30$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2301":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/knizhnyj-shkaf.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Примем количество книг на первой полке за $\\textcolor{blue}{x},$ а количество книг на второй полке за $\\textcolor{coral}{y}.$","Всего на двух полках стоит $60$ книг: $\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=60$<br />Если к книгам второй полки добавить половину книг первой полки, книг станет в два раза больше: $\\textcolor{coral}{y}+0.5\\textcolor{blue}{x}= 2\\textcolor{coral}{y}$<br />Получаем систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=60\\\\\\textcolor{green}{y}+0.5x&= \\textcolor{green}{2y}\\end{aligned}\\right. \\Rightarrow \\left\\{\\begin{aligned}x+y&=60\\\\\\textcolor{green}{-y}+0.5x&=0\\end{aligned}\\right.$$","Решим данную систему методом сложения: $$+\\begin{aligned}\\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}&=60\\\\\\cancel{\\textcolor{coral}{-y}}+0.5\\textcolor{blue}{x}&= 0\\end{aligned}\\Rightarrow 1.5\\textcolor{blue}{x}=60$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{60}{1.5}=\\textcolor{blue}{40}$$","В задаче требовалось найти количество книг на первой полке, которое мы приняли за $\\textcolor{blue}{x}.$<br />Ответ: $40$ книг."],"id":"3"},{"content":"За месяц две бригады должны были изготовить $120$ деталей. При этом первая бригада превысила план на $10\\%,$ а вторая — на $20\\%.$ Всего было изготовлено $137$ деталей. Сколько деталей должна была изготовить каждая бригада?[[fill_choice_big-465]][[image-2390]]","widgets":{"fill_choice_big-465":{"type":"fill_choice_big","options":["$50$ и $70$","$80$ и $40$","$90$ и $30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2390":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Количество деталей, которые должна была изготовить первая бригада, примем за $\\textcolor{blue}{x},$ а количество деталей второй бригады — за $\\textcolor{coral}{y}.$","За месяц обе бригады должны были изготовить $120$ деталей: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=120$$ Первая бригада превысила план на $10\\%$: $1.1\\textcolor{blue}{x}.$ Вторая бригада превысила план на $20\\%$: $1.2\\textcolor{coral}{y}.$ Всего было изготовлено $137$ деталей: $$1.1\\textcolor{blue}{x}+1.2\\textcolor{coral}{y}=137$$ Получаем систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=120\\\\1.1x+1.2y&=137\\end{aligned}\\right.$$","Решим полученную систему методом подстановки. Выразим из верхнего уравнения $\\textcolor{blue}{x}$ и подставим в нижнее: $$\\left\\{\\begin{aligned}\\textcolor{blue}{x}&=\\textcolor{blue}{120-y}\\\\1.1(\\textcolor{blue}{120-y})+1.2\\textcolor{coral}{y}&=137\\end{aligned}\\right.$$ $$1.1(120-\\textcolor{coral}{y})+1.2\\textcolor{coral}{y}=137$$ $$\\textcolor{darkgreen}{132}-1.1\\textcolor{coral}{y}+1.2\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{137}$$ $$0.1\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{5}$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{5}{0.1}=\\textcolor{coral}{50}$$ Подставим значение $\\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение и найдем $\\textcolor{blue}{x}$: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=120$$ $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{50}=120$$ $$\\textcolor{blue}{x}=120-50=\\textcolor{blue}{70}$$ Ответ: $50$ и $70.$"],"id":"3"},{"content":"На заводе производятся грузовые и легковые автомобили. Известно, что за месяц было произведено $22$ автомобиля. Среди них грузовых автомобилей на $8$ меньше, чем легковых. Сколько грузовых автомобилей было произведено на заводе за месяц?[[fill_choice_big-368]][[image-2483]]","widgets":{"fill_choice_big-368":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$15$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2483":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/gruzoperevozki-dostavka-gazel-01-1.svg","width":"398"}},"step":1,"hints":["Примем количество произведенных грузовых автомобилей за $\\textcolor{blue}{x},$ а легковых — за $\\textcolor{coral}{y}.$","За месяц было произведено $22$ автомобиля: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=22$$ Грузовых автомобилей произведено на $8$ меньше, чем легковых: $$\\textcolor{coral}{y}-\\textcolor{blue}{x}=8$$ Составим систему:$$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=22\\\\y-x&=8\\end{aligned}\\right.$$","Решим систему уравнений методом сложения: $$+\\begin{aligned} \\cancel{\\textcolor{blue}{x}}+\\textcolor{coral}{y}&=\\textcolor{darkgreen}{22} \\\\ \\textcolor{coral}{y}\\cancel{-\\textcolor{blue}{x}}&=\\textcolor{darkgreen}{8} \\end{aligned} \\Rightarrow 2\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{30} $$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{30}{2}=15$$ Найдем $\\textcolor{blue}{x},$ подставив значение $\\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение: $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=22$$ $$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{15}=22$$ $$\\textcolor{blue}{x}=22-15=\\textcolor{blue}{7}$$","Количество произведенных грузовых автомобилей мы принимали за $\\textcolor{blue}{x}.$<br />Ответ: $7.$"],"id":"3"},{"content":"Два года назад брат был старше сестры в $2$ раза, а $8$ лет назад — в $5$ раз. Сколько лет брату сейчас?[[fill_choice_big-226]]","widgets":{"fill_choice_big-226":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$ лет","$15$ лет","$12$ лет"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть возраст брата сейчас — $\\textcolor{blue}{x}$ лет, а возраст сестры — $\\textcolor{coral}{y}$ лет.","Два года назад брат был старше сестры в $2$ раза: $$2(\\textcolor{coral}{y}-2)=\\textcolor{blue}{x}-2$$ $8$ лет назад брат был старше сестры в $5$ раз: $$5(\\textcolor{coral}{y}-8)=\\textcolor{blue}{x}-8$$ Составим систему уравнений: $$\\left\\{\\begin{aligned}2(y-2)&=x-2\\\\5(y-8)&=x-8\\end{aligned}\\right.$$","Раскроем скобки и нижнее уравнение домножим на $\\textcolor{orange}{-1},$ чтобы коэффициенты перед $\\textcolor{blue}{x}$ стали противоположными:$$\\left\\{\\begin{aligned}2y-4&=x-2\\\\5y-40&=x-8 \\space |\\cdot (\\textcolor{orange}{-1})\\end{aligned}\\right. \\Rightarrow \\left\\{\\begin{aligned}2y-4&=x-2\\\\-5y+40&=-x+8\\end{aligned}\\right.$$","Решим полученную систему методом сложения: $$+\\begin{aligned}2\\textcolor{coral}{y}\\textcolor{purple}{-4}&=\\cancel{\\textcolor{blue}{x}}\\textcolor{darkgreen}{-2}\\\\-5\\textcolor{coral}{y}+\\textcolor{purple}{40}&=\\cancel{-\\textcolor{blue}{x}}+\\textcolor{darkgreen}{8}\\end{aligned}\\Rightarrow -3\\textcolor{coral}{y}+\\textcolor{purple}{36}=\\textcolor{darkgreen}{6}$$ $$-3\\textcolor{coral}{y}=6-36$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{-30}{-3}=\\textcolor{coral}{10}$$ Подставив значение $\\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение, найдем значение $\\textcolor{blue}{x}$: $$2(\\textcolor{coral}{y}-2)=\\textcolor{blue}{x}-2$$ $$2(\\textcolor{coral}{10}-2)=\\textcolor{blue}{x}-2$$ $$16=\\textcolor{blue}{x}-2$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{blue}{18}$$","Текущий возраст брата мы принимали за $\\textcolor{blue}{x},$ значит, брату $18$ лет. <br />Ответ: $18$ лет."],"id":"3"}]}</textarea></pre></div>
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
