Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписаться
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Способ сложения

Содержание
5 332

На этом уроке мы рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения.

Алгоритм решения способом сложения

Решение системы уравнений способом сложения:

  1. Если нужно, умножаем уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты одной из переменных обоих уравнений стали противоположными.

  2. Складываем уравнения системы.

  3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

  4. Находим значение второй переменной, подставляя значение первой переменной в любое из исходных уравнений.

Пример 1

Решим систему уравнений:$\newline$
$$\left\{\begin{aligned}&2y+11x=15\\&10y-11x=9\end{aligned}\right.$$

Заметим, что коэффициенты перед $\textcolor{coral}{x}$ являются противоположными числами, поэтому, сложив уравнения, мы можем избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}&2y+11x=\textcolor{darkgreen}{15}\\&10y-11x=\textcolor{darkgreen}{9}\end{aligned}\Rightarrow \textcolor{blue}{2y}+\textcolor{coral}{11x}+\textcolor{blue}{10y}\textcolor{coral}{-11x}=\textcolor{darkgreen}{15+9}$$

Найдем значение $\textcolor{blue}{y}$, решив полученное уравнение:

$$\textcolor{blue}{12y}=24$$ $$y=\frac{24}{12}=\textcolor{darkgreen}{2}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{darkgreen}{y}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{coral}{x}$:

$$2\textcolor{darkgreen}{y}+11\textcolor{coral}{x}=15$$ $$2\cdot \textcolor{darkgreen}{2}+11\textcolor{coral}{x}=15$$ $$11\textcolor{coral}{x}=15-4=11$$ $$\textcolor{coral}{x}=\frac{11}{11}=1$$

Ответ: $x=1$, $y=2$.

Пример 2

Решим еще одну систему:$\newline$
$$\left\{\begin{aligned}&12y-7x=2\\&4y-5x=6\end{aligned}\right.$$

В данных уравнениях у нас нет противоположных коэффициентов перед переменными. Однако мы помним, что если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число, равенство не изменится.

Домножим нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{-3}$, чтобы коэффициенты перед $\textcolor{blue}{y}$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}&12\textcolor{blue}{y}-7x=2\\&4\textcolor{blue}{y}-5x=6\space|\cdot(\textcolor{orange}{-3})\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\textcolor{darkgreen}{12}y-7x=2\\&\textcolor{darkgreen}{-12}y+15x=-18\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}12y-7x&=\textcolor{purple}{2}\\-12y+15x&=\textcolor{purple}{-18}\end{aligned}\Rightarrow\textcolor{darkgreen}{12y}\textcolor{coral}{-7x}\textcolor{darkgreen}{-12y}\textcolor{coral}{+15x}=\textcolor{purple}{2-18}$$

Найдем значение $\textcolor{coral}{x}$, решив полученное уравнение:

$$8\textcolor{coral}{x}=\textcolor{purple}{-16}$$ $$\textcolor{coral}{x}=\frac{\textcolor{purple}{-16}}{8}=-2$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{x}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{y}$:

$$12\textcolor{blue}{y}-7\textcolor{coral}{x}=2$$ $$12\textcolor{blue}{y}-7\cdot (\textcolor{coral}{-2})=2$$ $$12\textcolor{blue}{y}+14=2$$ $$12\textcolor{blue}{y}=2-14$$ $$12\textcolor{blue}{y}=-12$$ $$\textcolor{blue}{y}=\frac{-12}{12}=-1$$

Ответ: $x=-2$, $y=-1$.

Решение примеров способом сложения

Пример 3

Составьте уравнение вида $y=kx+b$, график которого проходит через точки $A(\textcolor{purple}{5};\textcolor{orange}{5})$ и $B(\textcolor{coral}{-10};\textcolor{green}{-19}).$

Показать решение и ответ

Скрыть

График функции проходит через заданные точки, значит, в точке с координатой $x=\textcolor{purple}{5},$ $y$ будет равен $\textcolor{orange}{5}.$ А в точке с координатой $x=\textcolor{coral}{-10},$ $y$ будет равен $\textcolor{green}{-19}.$ Зададим эти точки системой уравнений, подставив значения каждой точки в уравнения.

$$\left\{\begin{aligned}\textcolor{orange}{5}&=\textcolor{purple}{5}k+b\\\textcolor{green}{-19}&=\textcolor{coral}{-10}k+b\end{aligned}\right.$$

Решим данную систему методом сложения, чтобы найти коэффициенты $k$ и $b.$

Домножим верхнее уравнение на $2$, чтобы коэффициенты перед $k$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}5&=5k+b\space|\cdot 2\\-19&=-10k+b\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}10&=\textcolor{blue}{10}k+2b\\-19&=\textcolor{blue}{-10}k+b\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}\textcolor{darkgreen}{10}&=10k+2\textcolor{coral}{b}\\\textcolor{darkgreen}{-19}&=-10k+\textcolor{coral}{b}\end{aligned}\Rightarrow \textcolor{darkgreen}{10-19}=\textcolor{blue}{10}k+2\textcolor{coral}{b}\textcolor{blue}{-10}k+\textcolor{coral}{b}$$

Найдем значение $\textcolor{coral}{b}$, решив полученное уравнение:

$$10-19=10k+2\textcolor{coral}{b}-10k+\textcolor{coral}{b}$$ $$-9=3\textcolor{coral}{b}$$ $$\textcolor{coral}{b}=-9:3=-3$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{b}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{k}$:

$$5=5\textcolor{blue}{k}+\textcolor{coral}{b}$$ $$5=5\textcolor{blue}{k}\textcolor{coral}{-3}$$ $$5+3=5\textcolor{blue}{k}$$ $$\textcolor{blue}{k}=\frac{8}{5}=1.6$$

Оба неизвестных найдены, подставим их в исходное уравнение $y=\textcolor{blue}{k}x+\textcolor{coral}{b}$:

$$y=\textcolor{blue}{1.6}x\textcolor{coral}{-3}$$

Пример 4

График линейной функции пересекает оси координат в точках $(\textcolor{purple}{-5};\textcolor{orange}{0})$ и $(\textcolor{coral}{0};\textcolor{blue}{12})$. Задайте эту функцию формулой.

Показать решение и ответ

Скрыть

Формула линейной функции в общем виде выглядит так: $\textcolor{green}{y=kx+b}.$

График функции проходит через заданные точки, значит, в точке с координатой $x=\textcolor{purple}{-5},$ $y$ будет равен $\textcolor{orange}{0}.$ В точке с координатой $x=\textcolor{coral}{0},$ $y$ будет равен $\textcolor{blue}{12}.$ Зададим эти точки системой уравнений, подставив значения каждой точки в $\textcolor{green}{уравнение \space линейной \space функции}$.

$$\left\{\begin{aligned}\textcolor{orange}{0}&=\textcolor{purple}{-5}k+b\\ \textcolor{blue}{12}&=\textcolor{coral}{0}k+b\end{aligned}\right.$$

Из второго уравнения видно, что $b=12$, так как любое число, умноженное на $0,$ дает $0$:

$$12=0k+b$$ $$\textcolor{coral}{12}=b$$

Чтобы найти коэффициент $\textcolor{blue}{k}$, подставим значение $\textcolor{coral}{b}$ в верхнюю формулу:

$$0=-5k+\textcolor{coral}{b}$$ $$0=-5k+\textcolor{coral}{12}$$ $$5k=\textcolor{coral}{12}$$ $$k=\frac{12}{5}=\textcolor{blue}{2.4}$$

Зададим линейную функцию формулой, подставив найденные значение $\textcolor{blue}{k}$ и $\textcolor{coral}{b}$:

$$y=\textcolor{blue}{k}x+\textcolor{coral}{b}$$ $$y=\textcolor{blue}{2.4}x+\textcolor{coral}{12}$$

Часто задаваемые вопросы

Какой способ решения систем линейных уравнений проще?

Способ сложения проще, чем способ подстановки, однако применять его целесообразно лишь тогда, когда удобно приводить коэффициенты одной из переменных к противоположным числам.

В какое из уравнений подставлять значение найденной переменной?

Подставлять значение найденной переменной можно в любое уравнение системы, так как значения переменных в них одинаковы.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ