0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Умножение натуральных чисел и его свойства

Содержание

    На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах. Выделяют сочетательное и переместительное свойство.

    Умножение

    Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?

    Решение:
    $10 + 10 + 10 + 10 = 40$

    Ответ: $40$ конфет.

    В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

    Рисунок 1. Умножение

    Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.

    Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b$, нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которые равно $а$. Сами натуральные числа $а$ и $b$ в этом случае называются множителями, а выражение $а \cdot b$ произведением чисел $а$ и $b$.

    Переместительное свойство

    Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

    От перестановки множителей произведение не меняется

    Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$

    Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:

    $3 \cdot 4 = 12$ квадратов

    Рисунок 2

    Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата – всего:

    $4 \cdot 3 = 12$ квадрата.

    Рисунок 3

    Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

    $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$

    Приведём примеры:

    $3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$

    $$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

    Сочетательное свойство

    Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

    Запишем буквами:

    $$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$

    Решим пример двумя способами:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$

    Теперь применим сочетательное свойство умножения:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$

    Другие свойства

    Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:

    При умножении числа на $1$ получится само число

    Потому что мы это число берем $1$ раз.

    При умножении числа на нуль получится нуль

    Потому что мы это число берем $0$ раз.

    Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.

    Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:

    $$x \cdot y \cdot z = xyz$$

    Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:

    $$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$

    Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.

    Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:

    $$(ab)c$$

    Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке — слева направо.

    $$(ab)c = abc$$

    Рисунок 4. Свойства умножения

    Как правильно прочитать произведение

    Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.

    Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

    Разложение на множители

    Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

    Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

    $$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение