Умножение натуральных чисел

На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах.

Чтобы увереннее выполнять вычисления, повторите таблицу умножения в онлайн-тренажере.

Что такое умножение

Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?

Решение:
$10 + 10 + 10 + 10 = 40$

Ответ: $40$ конфет.

В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.

Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b,$ нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которых равно $а.$

Интерактив

Изменяйте количество яблок в ряду, а также рядов яблок, чтобы увидеть, как работает умножение.

{"questions":[{"content":"Замените сумму на произведение: $$3+3+3+3+3=15$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3\\cdot5=15$","$3\\cdot3=15$","$\\frac{3}{5}=15$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В данном примере число $3$ складывается друг с другом пять раз, поэтому можем заменить на $3\\cdot5=15$"]}]}

Переместительное свойство

Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

От перестановки множителей местами произведение не меняется:
$\textcolor{coral}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{coral}{a}$

Это свойство легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:

$3 \cdot 4 = 12$ квадратов

Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата — всего:

$4 \cdot 3 = 12$ квадратов

Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то$$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$$

{"questions":[{"content":"Выберите выражение, в котором применяется переместительный закон умножения[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5 + 8 = 8 + 5$","$3 \\cdot 15 = 15 \\cdot 3$","$1 \\cdot 9 = 9$","$0 \\cdot 26 = 0$"],"answer":[1]}}}]}

Сочетательное свойство

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего:$$\textcolor{coral}{а} \cdot (\textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{green}{c}) = (\textcolor{coral}{а} \cdot \textcolor{blue}{b}) \cdot \textcolor{green}{c}$$

Решим пример:$$8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$$

Теперь применим сочетательное свойство умножения:$$8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$$

{"questions":[{"content":"Выберите пример, в котором применили сочетательный закон умножения.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9 + (7 + 2) = (9 + 2) +  7$","$17 \\cdot 3 = 3 \\cdot 17$","$(13 \\cdot 40) \\cdot 5 = 13 \\cdot (40 \\cdot 5)$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":[]}]}

Другие свойства умножения

Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить.

Умножение на единицу

При умножении числа на $1$ получится само число:$$\textcolor{coral}{a}\cdot1=\textcolor{coral}{a}$$

Применим данное свойство к задаче про коробки конфет. Если мы возьмем $1$ коробку с $10$ конфетами, то всего у нас будет $10$ конфет:$$1\cdot10=10$$

{"questions":[{"content":"Сколько будет $876 \\cdot 1 = ?$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$1$","$0$","$876$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":["$а \\cdot 1 = а$"]}]}

Умножение на ноль

При умножении числа на ноль получится ноль:$$\textcolor{coral}{a}\cdot0=0$$

Применим и это свойство к задаче про коробки конфет. Если мы возьмем $0$ коробок с $10$ конфетами, то всего у нас будет $0$ конфет:$$0\cdot10=0$$

{"questions":[{"content":"Сколько будет $23 \\cdot 0 =?$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$23$","$0$","$1$"],"explanations":[],"answer":[1]}},"hints":["$а \\cdot 0 = 0$"]}]}

Постановка знака умножения

Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется:$$4 \cdot y= 4y$$

Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:$$x \cdot y \cdot z = xyz$$

Перед и между скобками знак умножения также не пишется:$$а(m + n)\space\textcolor{orange}{и}\space(x + y)(b + c)$$

Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо:$$(ab)c = abc$$

{"questions":[{"content":"Где знак умножения не ставится?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Между числом и переменной","Между переменными","Между числовыми множителями"],"answer":[0,1]}}}],"mix":1}

Как правильно прочитать произведение

Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.

Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

{"questions":[{"content":"Запишите в виде числового равенства: <br />«Произведение пяти и суммы трех и семи равно пятидесяти».[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5(3+7)=50$","$5\\cdot3\\cdot7=50$","$5\\cdot3+7=50$"],"answer":[0]}}}]}

Разложение на множители

Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

$$2 \cdot 18=36\space\textcolor{orange}{или}\space3 \cdot 12=36\space\textcolor{orange}{или}\space4 \cdot 9=36\space\textcolor{orange}{или}\space6 \cdot 6=36$$

{"questions":[{"content":"Разложите на множители: $16=8\\cdot$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$8$","$1$"],"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы