Умножение натуральных чисел и его свойства

На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах. Выделяют сочетательное и переместительное свойство.

Умножение

Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?

Решение:
$10 + 10 + 10 + 10 = 40$

Ответ: $40$ конфет.

В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.

Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b$, нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которые равно $а$. Сами натуральные числа $а$ и $b$ в этом случае называются множителями, а выражение $а \cdot b$ произведением чисел $а$ и $b$.

Переместительное свойство

Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

От перестановки множителей произведение не меняется

Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$

Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:

$3 \cdot 4 = 12$ квадратов

Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата – всего:

$4 \cdot 3 = 12$ квадрата.

Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$

Приведём примеры:

$3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$

$$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

{"questions":[{"content":"Выберите выражение, в котором применяется переместительный закон умножения[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5 + 8 = 8 + 5$","$3 \\cdot 15 = 15 \\cdot 3$","$1 \\cdot 9 = 9$","$0 \\cdot 26 = 0$"],"answer":[1]}}}]}

Сочетательное свойство

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Запишем буквами:

$$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$

Решим пример двумя способами:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$

Теперь применим сочетательное свойство умножения:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$

{"questions":[{"content":"Выберите пример, в котором применили сочетательный закон умножения.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9 + (7 + 2) = (9 + 2) +  7$","$17 \\cdot 3 = 3 \\cdot 17$","$(13 \\cdot 40) \\cdot 5 = 13 \\cdot (40 \\cdot 5)$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":[]}]}

Другие свойства

Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:

При умножении числа на $1$ получится само число

Потому что мы это число берем $1$ раз.

{"questions":[{"content":"Сколько будет $876 \\cdot 1 = ?$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$1$","$0$","$876$"],"explanations":[],"answer":[2]}},"hints":["$а \\cdot 1 = а$"]}]}

При умножении числа на нуль получится нуль

Потому что мы это число берем $0$ раз.

{"questions":[{"content":"Сколько будет $23 \\cdot 0 =?$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$23$","$0$","$1$"],"explanations":[],"answer":[1]}},"hints":["$а \\cdot 0 = 0$"]}]}

Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.

Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:

$$x \cdot y \cdot z = xyz$$

Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:

$$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$

Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.

Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:

$$(ab)c$$

Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке — слева направо.

$$(ab)c = abc$$

Как правильно прочитать произведение

Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.

Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

Разложение на множители

Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

$$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$