Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Умножение натуральных чисел и его свойства

Содержание

    Рассмотрим задачу: мама принесла домой 4 коробки конфет, в каждой из которых оказалось по 10 штук. Сколько всего было конфет?

    Решение:
    $10 + 10 + 10 + 10 = 40$

    Ответ: 40 конфет.

    В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

    $$10 + 10 + 10 + 10 = 10 \cdot 4 = 40$$

    Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения 40 называется произведением.

    Чтобы умножить натуральное число а на натуральное число b, нужно найти сумму b слагаемых, каждое из которые равно а. Сами натуральные числа а и b в этом случае называются множителями, а выражение а · b произведением чисел а и b.

    Переместительное свойство

    Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

    От перестановки множителей произведение не меняется

    Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$

    Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата — всего:

    $3 \cdot 4 = 12$ квадратов

    Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата – всего:

    $4 \cdot 3 = 12$ квадрата.

    Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

    $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$

    Приведём примеры:

    $3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$

    $$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

    Сочетательное свойство

    Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

    Запишем буквами:

    $$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$

    Решим пример двумя способами:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$

    Теперь применим сочетательное свойство умножения:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$

    Другие свойства

    Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:

    При умножении числа на 1, получится само число

    Потому что мы это число берем 1 раз.

    При умножении числа на нуль, получится нуль

    Потому что мы это число берем 1 раз.

    Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.

    Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:

    $$x \times y \times z = xyz$$

    Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:

    $$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$

    Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.

    Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:

    $$(ab)c$$

    Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке – слева направо.

    $$(ab)c = abc$$

    Как правильно прочитать произведение

    Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел – эти числа называют в родительном падеже, а произведение – в дательном.

    Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

    Разложение на множители

    Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

    Например, если требуется разложить число 36 на два множителя, то нужно представить его в виде произведения двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

    $$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение