Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Умножение натуральных чисел и его свойства

Содержание

    На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах. Выделяют сочетательное и переместительное свойство.

    Умножение

    Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?

    Решение:
    $10 + 10 + 10 + 10 = 40$

    Ответ: $40$ конфет.

    В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:

    Рисунок 1. Умножение

    Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.

    Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b$, нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которые равно $а$. Сами натуральные числа $а$ и $b$ в этом случае называются множителями, а выражение $а \cdot b$ произведением чисел $а$ и $b$.

    Переместительное свойство

    Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:

    От перестановки множителей произведение не меняется

    Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$

    Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:

    $3 \cdot 4 = 12$ квадратов

    Рисунок 2

    Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата – всего:

    $4 \cdot 3 = 12$ квадрата.

    Рисунок 3

    Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

    $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$

    Приведём примеры:

    $3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$

    $$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

    Сочетательное свойство

    Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

    Запишем буквами:

    $$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$

    Решим пример двумя способами:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$

    Теперь применим сочетательное свойство умножения:
    $8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$

    Другие свойства

    Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:

    При умножении числа на $1$ получится само число

    Потому что мы это число берем $1$ раз.

    При умножении числа на нуль получится нуль

    Потому что мы это число берем $0$ раз.

    Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.

    Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:

    $$x \cdot y \cdot z = xyz$$

    Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:

    $$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$

    Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.

    Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:

    $$(ab)c$$

    Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке — слева направо.

    $$(ab)c = abc$$

    Рисунок 4. Свойства умножения

    Как правильно прочитать произведение

    Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.

    Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.

    Разложение на множители

    Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.

    Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:

    $$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение