Умножение натуральных чисел и его свойства
Содержание
На этом уроке поговорим об умножении и его свойствах. Выделяют сочетательное и переместительное свойство.
Умножение
Рассмотрим задачу: мама принесла домой $4$ коробки конфет, в каждой из которых оказалось по $10$ штук. Сколько всего было конфет?
Решение:
$10 + 10 + 10 + 10 = 40$
Ответ: $40$ конфет.
В этом примере все четыре слагаемых в сумме были одинаковые, поэтому ее можно записать короче:
Числа $10$ и $4$ здесь называются множителями, а результат умножения $40$ называется произведением.
Чтобы умножить натуральное число $а$ на натуральное число $b$, нужно найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которые равно $а$. Сами натуральные числа $а$ и $b$ в этом случае называются множителями, а выражение $а \cdot b$ произведением чисел $а$ и $b$.
Переместительное свойство
Первое свойство умножения называется переместительным. Оно очень похоже на переместительное свойство сложения. Звучит оно так:
От перестановки множителей произведение не меняется
Запишем это свойство с помощью букв:$$a \cdot b = b \cdot a$$
Переместительный закон умножения легко проверить при подсчете двумя способами числа квадратиков на рисунке. Все квадраты можно расположить в $3$ ряда по $4$ квадрата — всего:
$3 \cdot 4 = 12$ квадратов
Но можно расположить все квадраты в $4$ столбца по $3$ квадрата – всего:
$4 \cdot 3 = 12$ квадрата.
Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то
$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$
Приведём примеры:
$3 \cdot 5 = 15$ и $5 \cdot 3 = 15$
$$\frac{1}{2} \cdot 4 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
Сочетательное свойство
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Запишем буквами:
$$а \cdot (b \cdot c) = (а \cdot b) \cdot c$$
Решим пример двумя способами:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = 8 \cdot 18 = 144$
Теперь применим сочетательное свойство умножения:
$8 \cdot (3 \cdot 6) = (8 \cdot 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$
Другие свойства
Мы разобрали два основных закона умножения, но есть и другие свойства, которые важно помнить:
При умножении числа на $1$ получится само число
Потому что мы это число берем $1$ раз.
При умножении числа на нуль получится нуль
Потому что мы это число берем $0$ раз.
Между числовым и буквенным множителями знак умножения обычно не пишется, то есть вместо выражения $4 \cdot y$ принято писать просто $4y$.
Произведение нескольких буквенных множителей, как правило, тоже записывается без знака умножения между ними:
$$x \cdot y \cdot z = xyz$$
Перед и между скобками знак умножения также не пишется, то есть запись будет выглядеть так:
$$а(m + n)$$ $$(x + y)(b + c)$$
Если в произведении нет скобок, то умножение выполняется слева направо.
Иногда в примере стоят скобки, но нет других действий, кроме умножения, то есть запись выглядит так:
$$(ab)c$$
Скобки в этом случае можно просто опустить и выполнять умножение в том же порядке — слева направо.
$$(ab)c = abc$$
Как правильно прочитать произведение
Чтобы правильно прочитать произведение двух чисел, эти числа называют в родительном падеже, а произведение — в дательном.
Например, $4 \cdot 3 = 12$ читается так: произведение четырех и трех равно двенадцати.
Разложение на множители
Существует такое понятие, как «разложение на множители» — это представление числа в виде произведения.
Например, если требуется разложить число $36$ на два множителя, то нужно представить его как произведение двух множителей, и сделать это можно несколькими способами:
$$36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$$
Хотите оставить комментарий?