Степень числа. Квадрат и куб числа

На этом уроке мы изучим, что такое «степень числа», как правильно записать число в степени, как решать задачи с числами в степени, а также что такое квадрат и куб числа.

Мы уже узнали, что записать сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно в виде произведения. Например, если у нас есть выражение:

$$5+5+5+5+5+5+5$$

Мы можем его записать таким образом: $$5\cdot7$$

Здесь число $7$ указывает на то, сколько слагаемых было в сумме.

Но можем ли мы сделать короче выражение, в котором произведение имеет равные друг другу множители? Ответ прост — можем! Если в случае со сложением чисел, где все слагаемые одинаковые, мы получим произведение, то при умножении равных друг другу чисел, мы получим степень числа. Давайте разберем поподробнее, чем же является степень и как решать выражения со степенями.

Понятие степени

У каждого степенного выражения есть свое основание и свой показатель. Давайте рассмотрим на примере:

$$2^{6}$$

Число $2$ называют основанием степени, а число $6$ — показателем степени. Само выражение называют степенным, или просто степенью. Правильно читать подобные примеры нужно так: «Два в степени шесть», то есть сначала называть основание степени и только потом ее показатель.

{"questions":[{"content":"Какие утверждения верны касаемо выражения $9^{4}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$9$ - это показатель степени","$4$ - это показатель степени","$4$ - это основание степени","$9$ - это основание степени"],"answer":[1,3]}}}]}

Квадрат и куб числа

Квадратом числа называют число во второй степени, то есть $3\cdot3=3^{2}$, или же «три в квадрате».

Для удобства запоминания квадратов чисел существуют специальные таблицы квадратов первых 10 натуральных чисел:

Куб числа — это число в третьей степени, то есть $4\cdot4\cdot4=4^{3}$, или же «четыре в кубе».

Для запоминания кубов чисел также есть специальные таблицы кубов первых 10 натуральных чисел:

Первую степень числа считают равной самому числу.

В таком случае, $18^{1}=18\cdot1=18$. Именно поэтому показатель степени $1$ обычно не пишут.

{"questions":[{"content":"Опираясь на таблицы кубов и квадратов чисел, чему будет равно произведение тройки в квадрате и двойки в кубе?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Три в квадрате - это $3^{2}$","Два в кубе - это $2^{3}$","$3^{2}=9$","$2^{3}=8$","Вычисли выражение $9\\cdot8$ и запиши ответ"]}]}

Решение задач

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

Давайте разберем на примере: $(4+3)^{2}\cdot5^{2}-8^{3}+2^{6} $

Следуя правильному порядку выполнения действий, сначала нужно посчитать действия в скобках, а затем степени чисел: $$7^{2}\cdot25-512+64=49\cdot25-512+64$$

Следующим этапом станет выполнение действий второй ступени, то есть умножения и деления: $$1225-512+64$$

Последним шагом следует посчитать все действия первой ступени (сложение и вычитание): $$1225-512+64=777$$

Ответом нашего выражение стало $777$.

{"questions":[{"content":"Реши пример:<br />$$4^{3}:2^{3}+(1+9)^{2}-3^{4}$$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Сначала посчитай действия в скобках.","Затем вычисли степени чисел.","Дальше выполни действия второй ступени.","Потом посчитай действия первой ступени и запиши ответ."]}]}