Деление с остатком

Итак, мы уже познакомились с делением. Но есть еще один важный и нужный вид деления — это деление с остатком.

Откуда берется остаток

Остаток получается, если делимое нельзя разделить на делитель нацело (то есть до получения целого числа).

Представим, что мы купили $\textcolor{orange}{10}$ яблок. К нам пришли друзья, и мы захотели поделиться с ними яблоками, и при этом дать каждому равное количество.

Если друга всего $\textcolor{coral}{2}$, то каждому дадим по $\textcolor{green}{5}$ яблок.

Но что делать, если друзей будет $\textcolor{coral}{3}$, $\textcolor{coral}{7}$ или $\textcolor{coral}{9}?$ У нас не получится разделить $\textcolor{orange}{10}$ яблок поровну на такое количество человек.

Предположим, что в итоге у нас $\textcolor{coral}{7}$ друзей и $\textcolor{orange}{10}$ яблок. Чтобы никого не обидеть, мы можем дать каждому по $\textcolor{green}{1}$ яблоку и у нас останется $\textcolor{blue}{3}$ яблока. Теперь давайте рассмотрим пример:$$\textcolor{orange}{10}:\textcolor{coral}{7}=\textcolor{green}{1}\space (ост.\space\textcolor{blue}{3})$$В данном случае, $\textcolor{orange}{10}$ яблок — это делимое, $\textcolor{coral}{7}$ друзей — делитель, а $\textcolor{green}{1}$ — неполное частное. Что же означает цифра $\textcolor{blue}{3}$ и откуда она взялась?

То число, которое осталось при делении, называют остатком.

В нашем случае $\textcolor{blue}{3}$ яблока и будут остатком.

{"questions":[{"content":"У нас было $12$ игрушек. К нам в гости пришло $5$ друзей, и каждому из них мы раздали по $2$ игрушки. Сколько всего игрушек у нас осталось?[[image-1]][[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/my-toys.svg","width":"450"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$2$","$5$","$10$"],"answer":[0]}}}]}

Как найти остаток

Рассмотрим другой пример$$\textcolor{orange}{42}:\textcolor{coral}{9}=\textcolor{green}{x}\space(ост.\space \textcolor{blue}{y})$$Давайте попробуем найти $\textcolor{green}{x}$ и $\textcolor{blue}{y}$:

1. Сначала нужно проверить, есть остаток или нет. В нашем случае $\textcolor{orange}{42}$ не делится нацело на $\textcolor{coral}{9}$, значит, остаток есть.
2. Теперь подберем самое большое число, которое можно разделить нацело на делитель. При этом данное число должно быть меньше самого делимого. $\textcolor{purple}{36}$ — самое большое число, которое делится нацело на $\textcolor{coral}{9}$.
3. Чтобы получить $\textcolor{purple}{36}$, нужно $\textcolor{coral}{9}$ умножить на $\textcolor{green}{4}$, значит, $\textcolor{green}{4}$ и будет неполным частным $\textcolor{green}{x}$.
4. Из $\textcolor{orange}{42}$ вычтем произведение делителя и неполного частного $(\textcolor{orange}{42} — \textcolor{purple}{36})$. В ответе получаем $\textcolor{blue}{6}$ — это как раз и будет остаток $\textcolor{blue}{y}$. Пример решен!

Запомним еще два правила, которые необходимы при работе с остатком:

Остаток всегда меньше делителя.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, то есть нацело.

{"questions":[{"instruction":"Найдите значение выражения","content":"$$\\textcolor{orange}{384}:\\textcolor{coral}{10}=$$ [[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$38\\space(ост. \\space4)$","$38\\space (ост.\\space 0)$","$4\\space (ост. \\space38)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сначала нужно проверить, есть остаток или нет. В нашем случае $\\textcolor{orange}{384}$ не делится нацело на $\\textcolor{coral}{10}$, значит, остаток есть.","Теперь подберем самое большое число, которое можно разделить нацело на делитель. При этом данное число должно быть меньше самого делимого. $\\textcolor{purple}{380}$ — самое большое число, которое делится нацело на $\\textcolor{coral}{10}.$","Чтобы получить $\\textcolor{purple}{380}$, нужно $\\textcolor{coral}{10}$ умножить на $\\textcolor{green}{38}.$ Неполное частное — $\\textcolor{green}{38}.$","Из $\\textcolor{orange}{384}$ вычтем произведение делителя и неполного частного $(\\textcolor{orange}{384} — \\textcolor{purple}{380})$. В ответе получаем остаток $\\textcolor{blue}{4}.$"]}]}

Как найти делимое

Нужно уметь находить не только частное и остаток, но и делимое. На самом деле здесь также все просто.

Чтобы найти $\textcolor{orange}{делимое}$ при делении с остатком, нужно умножить $\textcolor{green}{неполное\spaceчастное}$ на $\textcolor{coral}{делитель}$ и к полученному произведению прибавить $\textcolor{blue}{остаток}$.

Рассмотрим пример$$\textcolor{orange}{x}:\textcolor{coral}{11}=\textcolor{green}{3} \space(ост. \space\textcolor{blue}{9})$$Умножаем $11$ на $3$, получаем $33$. К этому значению прибавляем $9$, и в ответе получается $42.$ Это и есть искомый $x$!$$\textcolor{coral}{11}\cdot\textcolor{green}{3}=33\newline33+\textcolor{blue}{9}=\textcolor{orange}{42}$$

{"questions":[{"content":"В выражении $\\textcolor{orange}{x}:\\textcolor{coral}{9}=\\textcolor{green}{4} \\space(ост.\\space\\textcolor{blue}{4})$ найдите $\\textcolor{orange}{делимое}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=40$","$x=36$","$x=2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Чтобы найти делимое, нужно умножить делитель на неполное частное, а затем прибавить остаток.","$\\textcolor{green}{4}\\cdot\\textcolor{coral}{9}+\\textcolor{blue}{4}=\\textcolor{orange}{40}$"]}]}

Часто задаваемые вопросы