Упрощение выражений

В математическом мире существует большое количество выражений, которых трудно решить без упрощения. На этом уроке мы объясним, для чего нужно упрощение выражений, правила упрощения и решение примеров и уравнений с помощью упрощения. Также потренируемся применять распределительное свойство умножения.

Для чего нужно упрощать выражения?

Упрощение математических примеров используется для того, чтобы быстрее и правильнее решить задание.

Давайте рассмотрим пример, и не забывайте, что для этого нам понадобятся знания правил умножения, вычитания и сложения:

$$(5+4)\cdot3$$

В данном случае, сначала мы можем посчитать сумму в скобках, а затем умножить на $3$. Но далеко не всегда такой способ будет удобным при решении задач. Если цифры будут слишком большими — это будет попросту неудобно. Для облегчения решения нам нужно будет упростить данное выражение. Теперь рассмотрим пример его упрощения:

$$5\cdot3+4\cdot3$$

Сейчас мы видим, что выражение значительно изменилось. При этом ответ будет точно таким же, как и в первом случае. Такой вид выражения легче и быстрее решать. Кроме того, это помогает избежать ошибок при вычислении. Итак, как же правильно следует применять правила упрощения выражений и как решать уравнения с их помощью?

Правила упрощения

Существует всего два правила по упрощению выражений с умножением. Их называют распределительными свойствами умножения относительно сложения и вычитания. Давайте их разберем:

Для того чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число первое и второе слагаемое, а затем сложить получившиеся произведения.

С помощью букв данное правило записывают так: $(a+b)\cdot c=ac+bc$

Если нам нужно умножить разность на число, то следует умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого произведения вычесть второе.

Буквенное выражение данного свойства выглядит следующим образом: $(a-b)\cdot c=ac-bc$

{"questions":[{"content":"Следуя распределительным свойствам, разложи данное выражение: $$(67-39)\\cdot 21$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$$67\\cdot21-39\\cdot21$$","$$39\\cdot21-67\\cdot21$$","$$67\\cdot21+39\\cdot21$$"],"explanations":["","Нужно вычитать из произведения числа и уменьшаемого произведение числа и вычитаемого, а не наоборот.","Это распределительное свойство умножения относительно сложения, а не вычитания."],"answer":[0]}},"hints":["При упрощении выражения с вычитанием, нужно сначала умножить уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого вычесть второе."]}]}

Решение уравнений с применением упрощения выражений

Правила упрощения выражений работают и в обратную сторону, то есть позволяют вынести разность или сумму в скобки, а число, на которое нужно умножить — за скобки. Именно поэтому их используют для решения уравнений. Разберем на примере:

$$3x+7x+25=85$$

Для того чтобы сложить два числа с $x$, нам нужно применить уже изученное нами распределительное свойство:

$$3x+7x=(3+7)x=10x$$

Благодаря данному упрощению мы сможем до конца решить наше уравнение:

$$10x+25=85$$ $$10x=85-25$$ $$10x=60$$ $$x=60:10$$ $$x=6$$

{"questions":[{"content":"Реши уравнение, применяя распределительное свойство умножения относительно вычитания. В ответе запиши, чему равен $y$<br />$$23y+5-21y-2=15$$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"step":1,"hints":["Для начала, перенеси все числовые значения в правую сторону, а значения с $y$ оставь слева.","Примени одно из правил упрощения выражений.","Посчитай числовой ответ с правой стороны.","Раздели полученный справа ответ на количество $y$.","Запиши окончательный результат."]}]}