Упрощение выражений

На этом уроке мы разберем правила упрощения выражений.

Для чего нужно упрощать выражения?

Упрощение математических примеров используется для ускорения решения заданий, а также уменьшения вероятности допустить ошибку.

Решим пример, применяя правила умножения и сложения:$$(\textcolor{coral}{10}+\textcolor{green}{4})\cdot \textcolor{blue}{3}$$$$\textcolor{orange}{14}\cdot\textcolor{blue}{3}=42$$Далеко не всегда такой способ будет удобным при решении задач. Если числа будут слишком большими — это будет неудобно.

Теперь рассмотрим пример его упрощения:$$\textcolor{coral}{10}\cdot \textcolor{blue}{3}+\textcolor{green}{4}\cdot \textcolor{blue}{3}$$Мы видим, что выражение значительно изменилось. При этом ответ будет точно таким же. Такое выражение легче и быстрее решать, что помогает избежать ошибок при вычислении.

Правила упрощения

Правила упрощения выражений с умножением называют распределительными свойствами умножения относительно сложения и вычитания. Давайте их разберем:

Для того чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число первое и второе слагаемые, а затем сложить получившиеся произведения.

С помощью букв данное правило записывают так: $$(\textcolor{coral}{a}+\textcolor{green}{b})\cdot \textcolor{blue}{c}=\textcolor{coral}{a}\textcolor{blue}{c}+\textcolor{green}{b}\textcolor{blue}{c}$$

{"questions":[{"instruction":"Упростите выражение","content":"$(9+10)\\cdot5=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$9\\cdot5+10\\cdot5$","$9\\cdot10+10\\cdot9$","$5\\cdot5+9\\cdot10$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Если нам нужно умножить разность на число, то следует умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого произведения вычесть второе.

Буквенное выражение данного свойства выглядит следующим образом: $$(\textcolor{coral}{a}-\textcolor{green}{b})\cdot \textcolor{blue}{c}=\textcolor{coral}{a}\textcolor{blue}{c}-\textcolor{green}{b}\textcolor{blue}{c}$$

{"questions":[{"content":"Используя распределительное свойство умножения, упростите выражение $$(\\textcolor{coral}{17}-\\textcolor{green}{10})\\cdot\\textcolor{lightblue}{3}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$17\\cdot3-10\\cdot3$","$10\\cdot3-17\\cdot3$","$3\\cdot17+10\\cdot3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Если нам нужно умножить разность на число, то следует умножить на это число $\\textcolor{coral}{уменьшаемое}$ и $\\textcolor{green}{вычитаемое}$, а потом из первого произведения вычесть второе."]}]}

Решение уравнений с применением упрощения выражений

Правила упрощения выражений работают и в обратную сторону, то есть позволяют внести разность или сумму в скобки, а число, на которое нужно умножить вынести за скобки. Именно поэтому их используют для решения уравнений.

Разберем на примере:$$\textcolor{coral}{3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{green}{7}\textcolor{blue}{x}+25=85$$Для того чтобы сложить два числа с $\textcolor{blue}{x}$, нам нужно применить уже изученное нами распределительное свойство:$$\textcolor{coral}{3}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{green}{7}\textcolor{blue}{x}=(\textcolor{coral}{3}+\textcolor{green}{7})\textcolor{blue}{x}=\textcolor{orange}{10}\textcolor{blue}{x}$$Благодаря данному упрощению мы сможем до конца решить наше уравнение:$$\textcolor{orange}{10}\textcolor{blue}{x}+25=85$$ $$\textcolor{orange}{10}\textcolor{blue}{x}=85-25$$ $$\textcolor{orange}{10}\textcolor{blue}{x}=60$$ $$\textcolor{blue}{x}=60:\textcolor{orange}{10}$$ $$\textcolor{blue}{x}=6$$

{"questions":[{"instruction":"Решите уравнение","content":"$\\textcolor{coral}{23}\\textcolor{blue}{y}+5−\\textcolor{purple}{21}\\textcolor{blue}{y}−2=15$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=6$","$y=7$","$y=15$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Перенесем все числовые значения в правую сторону, а значения с $y$ оставим слева:<br />$\\textcolor{coral}{23}\\textcolor{blue}{y}−\\textcolor{purple}{21}\\textcolor{blue}{y}=15+2-5$","Применим правило упрощения к выражению слева:<br />$(\\textcolor{coral}{23}-\\textcolor{purple}{21})\\textcolor{blue}{y}=15+2-5$<br />$\\textcolor{orange}{2}\\textcolor{blue}{y}=15+2-5$","Произведем вычисления справа:<br />$\\textcolor{orange}{2}\\textcolor{blue}{y}=12$","Найдем неизвестный множитель $y$:<br />$\\textcolor{blue}{y}=12:\\textcolor{orange}{2}$<br />$\\textcolor{blue}{y}=6$"]}]}

Часто задаваемые вопросы