Уравнение

В данном уроке мы сформулируем определение уравнения и его корня, узнаем, что значит решить уравнение, а также научимся их решать.

Определения

В некоторых равенствах есть буквенная часть (обычно это какая-то латинская буква), например: $$6a+18=60$$ Такие выражения и называют уравнениями.

То есть уравнением называется равенство, содержащее букву (переменную), значение которой надо найти.

Значение буквы (переменной), при котором уравнение становится верным числовым равенством, называют корнем уравнения.

В процессе решения мы можем найти значение этой переменной. В этом нам помогут правила нахождения неизвестного слагаемого, множителя, уменьшаемого, частного.

Примеры решения уравнений

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. $$x+a=b$$ $$x=b-a$$

В нашем уравнении $6a+18=60$, чтобы найти слагаемое $6a$, вычтем $18$ из $60$.

Тогда получим: $$6a=60-18$$

Посчитаем правую часть равенства: $$6a=42$$ Теперь найдем $а$: $$a=\frac{42}{6}$$ $$a=7$$

Как проверить ответ

Верно ли решение, мы можем проверить, подставив полученное значение вместо буквы в первоначальное выражение. Если равенство сохранится, то наше решение правильное.

Проверим:

$$6\times 7+18=60$$ $$42+18=60$$ $$60=60$$

Как видим, равенство сохранилось. Следовательно, мы нашли верное решение уравнения, то есть посчитали, чему равен его корень $a$.

Другой пример 

Решим уравнение $$d-17=14$$

В данном случае для нахождения корня уравнения $d$ нужно применить правило нахождения уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое. $$x-a=b$$ $$x=b+a$$

Тогда $$d=14+17$$ $$d=31$$

Проверим себя, подставив вместо $d$ полученное число:

$$31-17=14$$ $$14=14$$ Равенство верное.

Рассмотрим пример, когда нужно найти вычитаемое, и решим уравнение $$63-m=28$$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, из уменьшаемого вычтем разность: $$a-x=b$$ $$x=a-b$$

В нашем случае $$m=63-28$$ $$m=35$$ 

Проверка: $$63-35=28$$ $$28=28$$

{"questions":[{"content":"Укажите, как находится неизвестное <b>слагаемое</b>, <b>уменьшаемое</b> и <b>вычитаемое</b>.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x$ - неизвестное <b>слагаемое</b><br />$x+a=b$","$x$ - неизвестное <b>уменьшаемое</b><br />$x−a=b$","$x$ - неизвестное <b>вычитаемое</b><br />$a−x=b$"],"items":["$x=b−a$","$x=b+a$","$x=a−b$"]}},"hints":["Чтобы найти неизвестное <b>слагаемое</b>, надо из суммы вычесть известное слагаемое.","Чтобы найти неизвестное <b>уменьшаемое</b>, нужно сложить разность и вычитаемое.","Чтобы найти неизвестное <b>вычитаемое</b>, нужно из уменьшаемого вычесть разность."]}]}

Случаи, когда у уравнения нет корней

Бывает, что уравнение не имеет верного решения. К примеру, рассмотрим выражение: $$8b+5-4b=10+7b-9-3b+5$$ Перенесем влево с противоположными знаками все части уравнения с буквой, а без нее – вправо, и посчитаем результат: $$8b-4b-7b+3b=10-9+5-5$$ $$0b=1$$ Здесь, чтобы найти корень $b$ нам нужно разделить $1$ на $0$, но на $0$ делить нельзя. В подобных случаях уравнение не имеет верных решений или корней.

Подводя итог, мы можем сказать, что решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что данное уравнение не имеет ни одного корня.

Как читать названия переменных

При произношении нужно учитывать, что латинские буквы, обозначающие переменные $x$, $y$, $z$ – мужского рода. Названия всех других латинских букв – среднего рода. Например, $x$ равен $3$, но $a$ равно $3$. Или $y$ равен $9$, но $b$ равно $9$. Также при чтении выражений нужно помнить, что в математике названия букв не склоняются. К примеру, выражение $y+13=100$ будет читаться так: «сумма игрек и тринадцати равна ста».

{"questions":[{"content":"Укажите, какие из перечисленных выражений прочитаны <b>неверно</b>?[[choice-23]]","widgets":{"choice-23":{"type":"choice","options":["$x=10$<br />$x$ равен десяти","$b=4$<br />$b$ равен четырём","$y=1$<br />$y$ равно одному","$c=22$<br />$c$ равно двадцати двум","$z=5$<br />$z$ равен пяти"],"explanations":["","Названия всех латинских букв кроме $x$, $y$, $z$ – среднего рода.<br />Данное выражение правильно читается так: $b$ <b>равно</b> четырём.","Латинские буквы, обозначающие переменные $x$, $y$, $z$ – мужского рода.<br />Данное выражение правильно читается так: $y$ <b>равен</b> одному.","",""],"answer":[0,3]}},"hints":["При произношении нужно учитывать, что латинские буквы, обозначающие переменные $x$, $y$, $z$ – мужского рода. Названия всех других латинских букв – среднего рода."]}]}

Уравнения и решение задач

Очень часто уравнения используют для быстрого и простого решения задач. Тогда важно решить, что в задании лучше обозначить за неизвестную переменную. Обычно неизвестную величину в задачах обозначают латинскими буквами $x$ или $y$. 

Решим задание

В большом блюде было некоторое количество яблок, затем в него добавили еще $8$ плодов. Всего в итоге в емкости оказалось $26$ яблок. Нужно найти, сколько было яблок в блюде изначально.

Решение. 

Обозначим за $x$ изначальное число яблок в блюде. После того, как добавили еще $8$ плодов, в емкости оказалось $x+8$ яблок. 

В итоге получим следующее равенство: $$x+8=26$$ Решив данное уравнение, мы и найдем ответ на вопрос в задаче: $$x=26-8$$ $$x=18$$ Для уверенности проверим себя, подставив найденное число в равенство: $$18+8=26$$ $$36=36$$ Равенство верное. Так мы выяснили, что первоначально в блюде было $18$ яблок. 

Ответ: $18$ яблок.

Проверьте себя.

Найдите корень: $8k+33-2=47$

Показать ответ

Скрыть

Решите с помощью уравнения. Несколько девочек играли мячом. Затем к ним присоединились еще три подруги и всего девочек стало $2$. Сколько девочек играло мячом с самого начала?

Показать ответ

Скрыть