Числовые и буквенные выражения

На этом уроке поговорим о числовых и буквенных выражениях, об их различиях и использовании, а также потренируемся решать задачи с помощью буквенных выражений.

Числовое выражение

Числовое выражение — это запись действий с числами. Числовыми выражениями удобно пользоваться, если требуется сначала записать действия, чтобы затем подсчитать значение выражения, например, при решении задач.

Задача 1. Велосипедист в первый день проехал $30$ км, во второй день на $3$ км меньше. Сколько км проехал велосипедист за $2$ дня?

Решение: в первый день велосипедист проехал $30$ км. Во второй день он проехал на $3$ км меньше, то есть $(30-3)$ км. Запишем расстояние, которое преодолел велосипедист за два дня, в виде числового выражения:

$$30 + (30-3)$$  

Таким образом, решение задачи записано в виде числового выражения, и чтобы получить ответ, нужно найти его значение, то есть вычислить это выражение: $$30 + (30-3) = 30 + 27 = 57$$

Ответ: $57$ км.

Буквенное выражение

Если в числовом выражении заменить одно из чисел на букву, то мы получим буквенное выражение. В буквенных выражениях, как правило, используются буквы латинского алфавита и обычно они обозначают переменную величину. Этот принцип применяется при составлении уравнений.

В рассмотренной выше задаче обозначим расстояние, которое проехал велосипедист в первый день, за $y$ км, тогда получим, что во второй день он проехал $у-3$ км, а общее расстояние можно записать в виде буквенного выражения $у + (у-3)$. 

Подставляя вместо $у$ число $30$, получим снова числовое выражение $30 + (30-3)$, найдя значение которого сможем решить задачу. Число $30$, которое заменяет букву $у$ в данном случае, называется значением этой буквы.

{"questions":[{"content":"Какое из выражений будет числовым, а какое — буквенным? [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Разность $90$ и $k$","Сумма $70$ и $30$"],"items":["буквенное выражение","числовое выражение"]}},"step":1,"hints":["$90-k$ является буквенным выражением, так как вычитаемое выражено буквой $k$.","$70+30$ является числовым выражением, так как оба слагаемых выражены числами."]}]}

Решение задач с помощью буквенных выражений

Рассмотрим в качестве примера задачу, которую можно решить с помощью буквенного выражения.

Задача 2. Ширина прямоугольника $3$ см, его длина — $4$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Показать решение

Скрыть

Значением букв в данном случае являются ширина и длина прямоугольника.

Задача 3. Найдите периметр прямоугольника из задачи 2, если его ширина увеличилась в $5$ раз.

Показать решение

Скрыть

Решать задачи с использованием буквенных выражений удобно, когда одна или несколько величин могут измениться.

{"questions":[{"content":"Автобус ехал от рынка до библиотеки $10$ минут, а от библиотеки до поликлиники — на $n$ минут меньше. Сколько времени он ехал от рынка до поликлиники? [[choice-1]]<br />Вычислите выражение при $n = 3$[[input-14]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10+(10-n)$","$10+(10+n)$","$10+n$"],"answer":[0]},"input-14":{"type":"input","unit":"минут","answer":"17"}},"step":1,"hints":["Так как мы обозначили разницу во времени между первым отрезком пути и вторым буквой $n$, отрезок пути от библиотеки до поликлиники займет $10-n$ времени.","Все время пути — это сумма времени, за которое автобус проехал первый отрезок пути и времени, за которое проехал второй: $10+(10-n)$","При $n = 3$ получаем: $10+(10-3)=10+7=17$"]},{"content":"Длина прямоугольника $5$ см, а ширина — $x$ см. Вычислите периметр прямоугольника при разных значениях $x$.[[matcher-32]]","widgets":{"matcher-32":{"type":"matcher","labels":["$x = 2$","$x = 3$","$x = 4$"],"items":["$P = 14$","$P = 16$","$P = 18$"]}},"step":1,"hints":["Периметр прямоугольника — это сумма его сторон. Он находится по формуле $P=2 (a+b)$, где $a$ и $b$ — это стороны прямоугольника. В нашем случае $a=5$, а $b=x$","При $x = 2$ периметр равен $2 \\cdot (5+2)=14$","При $x = 3$ периметр равен $2 \\cdot (5+3)=16$","При $x = 4$ периметр равен $2 \\cdot (5+4)=18$"]},{"content":"Вычислите значение выражения: сумма $32$ и разности $50$ и $8$.[[input-103]]","widgets":{"input-103":{"type":"input","answer":"74"}},"step":1,"hints":["Сначала запишем числовое выражение: $$32+(50-8)$$","Теперь вычислим: $$32+(50-8)=32+42=74$$"]}]}