0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Расчет массы и объема тела по его плотности

Содержание

    На прошлом уроке мы познакомились с определением плотности тела, узнали формулу, по которой можно ее рассчитать: $\rho = \frac{m}{V}$.

    Сейчас нам предстоит взглянуть на эту формулу с других сторон. Мы научимся находить объем и массу по известной плотности материала тела, решать задачи, используя полученные знания.

    Расчет массы тела по его плотности

    Знание плотности веществ очень важно для многих практических целей. Для инженеров и строителей, например, знание плотности имеет колоссальное значение — так они могут рассчитать массу будущего механизма или строения.

    Как вычисляется масса тела по его плотности и объему?

    Плотность определяется по формуле  $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим отсюда массу:

    $m = \rho V$.

    Чтобы рассчитать массу тела, если известны его объем и плотность, нужно плотность умножить на объем.

    Задача на расчет массы

    Рассмотрим пример задачи на расчет массы.

    Рассчитайте массу детали, изготовленной из латуни, объемом $0.15 \space м^3$.

    Из таблицы 1 предыдущего урока берем значение плотности латуни. Она равна $8500 \frac{кг}{м^3}$.

    Дано:
    $\rho = 8500 \frac{кг}{м^3}$
    $V = 0.15 \space м^3$

    $m -?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    $m = \rho \cdot V$,
    $m = 8500 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.15 \space м^3 = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.

    Ответ: $m = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.

    Расчет объема тела по его плотности

    По какой формуле можно определить объем тела?

    Подобным образом выразим из формулы плотности объем:

    $V = \frac{m}{\rho}$.

    Чтобы рассчитать объем тела, если известны его масса и плотность, нужно массу разделить на плотность.

    Данной формулой для определения объема часто пользуются в тех случаях, когда тела имеют сложную неправильную форму. 

    Задача на расчет объема

    Рассмотрим пример задачи на расчет объема.

    Молоко в бутылке имеет массу $1.03 \space кг$. Рассчитайте объем бутылки.

    В таблице 2 прошлого параграфа находим молоко: его плотность равна $1030 \frac{кг}{м^3}$.

    Дано:
    $\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$
    $m = 1.03 \space кг$

    $V -?$

    Решение:

    $V = \frac{m}{\rho}$,
    $V = \frac{1.03 \space кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0.001 \space м^3 = 1 \space л$.

    Ответ: $V = 1 \space л$.

    Дополнительные задачи

    Задача №1

    На рисунке 1 изображен кусок хозяйственного мыла в упаковке. По данным производителя размеры размеры его полиэтиленовой упаковки составляют 6 см x 9 см x 5,5 см.

    Масса одного куска 200 г. Масса брутто (масса товара вместе с упаковкой) указан 211 г. Найдите объем куска мыла без упаковки. Выразите ответ в СИ.

    Рисунок 1. Хозяйственное мыло

    Обозначим стороны упаковки как $a, b \space и \space с$, массу куска была $m_м$, массу куска мыла в упаковке  — $m$, а общую массу мыла в упаковке — $m_{уп}$.

    Объем куска мыла будем обозначать как $V_м$, а вместе с упаковкой  — $V$.

    Дано:
    $a = 6 \space см$
    $b = 9 \space см$
    $c = 5.5 \space см$
    $m_м = 200 \space г$
    $m = 211 \space г$

    $V_м -?$

    Показать решение и ответ

    Срыть

    Решение:

    Найдем массу упаковки:
    $m_{уп} = m — m_м$,
    $m_{уп} = 211 \space г — 200 \space г = 11 \space г$.

    Общий объем упаковки и мыла:
    $V = a \cdot b \cdot c$,
    $V = 6 \space см \cdot 9 \space см \cdot 5.5 \space см = 297 \space см^3$.

    Указано, что упаковка изготовлена из полиэтилена (из таблицы 1 предыдущего параграфа его плотность $\rho_п$ равна $0.92 \frac{г}{см^3}$).

    Найдем объем упаковки $V_{уп}$:
    $V_{уп} =  \frac{m_{уп}}{\rho_{уп}}$,
    $V_{уп} = \frac{11 \space г}{0.92 \frac{г}{см^3}} \approx 12 \space см^3$.

    Общий объем куска мыла в упаковке складывается из объема самого куска и объема упаковки. Так мы можем найти объем куска мыла:
    $V_м  = V — V_{уп}$,
    $V_м = 297 \space см^3 — 12 \space см^3 = 285 \space см^3$.

    Выразим в СИ:
    $285 \space см^3 = 285 \cdot 1 \space см \cdot 1 \space см \cdot 1 \space см = 285 \cdot 0.01 \space м \cdot 0.01 \space м \cdot 0.01 \space м = 285 \cdot 0.000001 \space м^3 = 0.000285 \space м^3$.

    Ответ: $V_м = 0.000285 \space м^3$

    Задача №2

    Масса чугунного шара составляет 800 г. Его объем — $125 \space см^3$. Будет ли этот шар сплошным (отлитым полностью из одного материала) или полым (иметь пространство внутри, заполненное, например, воздухом)? 

    Показать решение

    Скрыть

    Проверить это достаточно просто: рассчитаем плотность этого шара:

    $\rho = \frac{m}{V}$,
    $\rho = \frac{800 г}{125 \space см^3} = 6.4 \frac{г}{см^3}$.

    Сравним полученное значение с табличной плотностью чугуна:
    $\rho = 7 \frac{г}{см^3}$
    Сколько бы тогда весил сплошной шар?

    $m = \rho V$,
    $m = 7 \frac{г}{см^3} \cdot 125 \space см^3 = 875 \space г$.

    Разница между массами реального и предполагаемого сплошного шара составляет 75 г.  

    Следовательно, реальный шар имеет внутри какую-то полость, он не полностью выполнен из чугуна.

    Задача №3

    В грузовой автомобиль загрузили 48 сосновых бревен. Масса каждого соснового бревна составляет $20 \space дм^3$. На сколько увеличилась масса автомобиля после загрузки?

    Из таблицы 1 предыдущего параграфа возьмем плотность сухой сосны ($400 \frac{кг}{м^3}$). Переведем $20 \space дм^3$ в $м^3$:

    $20 \space дм^3 = 20 \cdot 0.1 \space м \cdot 0.1 \space м \cdot 0.1 \space м = 20 \cdot 0.001 \space м^3 = 0.02 \space м^3$.

    Количество брусков — $n$.

    Дано:
    $V = 20 \space дм^3$
    $\rho = 400 \frac{кг}{м^3}$
    $n = 48$

    СИ:
    $V = 0.02 \space м^3$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Рассчитаем массу одного соснового бревна:
    $m = \rho \cdot V$,
    $m = 400 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.02 \space м^3 = 8 \space кг$.

    Масса всех сосновых бревен (M) будет равна:
    $M = n \cdot m$,
    $M = 48 \cdot 8 \space кг = 384 \space кг$

    Ответ: масса автомобиля после загрузки увеличится на 384 кг.

    Упражнения

    Упражнение №1

    Какова масса $0.5 \space л$ спирта, молока, ртути?

    Дано:
    $V = 0.5 \space л$
    $\rho_1 = 800 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 1030 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_3 = 13600 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $V = 5 \cdot 10^{-4} \space м^3$

    $m_1 — ?$
    $m_2 — ?$
    $m_3 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Зная объем и плотность тела, мы может рассчитать его массу по формуле: $m = \rho V$.

    Рассчитаем массу спирта:
    $m_1 = \rho_1 V$,
    $m_1 = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 0.4 \space кг$.

    Рассчитаем массу молока:
    $m_2 = \rho_2 V$,
    $m_2 = 1030 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 0.515 \space кг$.

    Рассчитаем массу ртути:
    $m_3 = \rho_3 V$,
    $m_3 = 13600 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 6.8 \space кг$.

    Ответ: $m_1 = 0.4 \space кг$, $m_2 = 0.515 \space кг$, $m_3 = 6.8 \space кг$.

    Упражнение №2

    Определите объем льдинки, масса которой $108 \space г$.

    Дано:
    $m = 108 \space г$
    $\rho = 900 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $m = 0.108 \space кг$

    $V — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Зная массу и плотность льда, рассчитаем его объем:
    $V = \frac{m}{\rho}$,
    $V = \frac{0.108 \space кг}{900 \frac{кг}{м^3}} = 0.00012 \space м^3 = 120 \space см^3$.

    Ответ: $V = 120 \space см^3$.

    Упражнение №3

    Сколько килограммов керосина входит в пятилитровую бутыль?

    Дано:
    $V = 5 \space л$
    $\rho = 800 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $V = 5 \cdot 10^{-3} \space м^3$

    $m — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Зная плотность и объем, найдем массу керосина:
    $m = \rho V$,
    $m = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 4 \space кг$.

    Ответ: $m = 4 \space кг$.

    Упражнение №4

    Грузоподъемность лифта составляет $3 \space т$. Сколько листов железа можно погрузить в лифт, если длина каждого листа равна $3 \space м$, ширина — $60 \space см$ и толщина — $4 \space мм$?

    Дано:
    $M = 3 \space т$
    $a = 60 \space см$
    $b = 4 \space мм$
    $c = 3 \space м$
    $\rho = 7800 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $M = 3000 \space кг$
    $a = 0.6 \space м$
    $b = 0.004 \space м$

    $n — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Сначала рассчитаем массу одного железного листа. Для этого нам нужно знать его объем (плотность мы взяли из таблицы). Объем мы может вычислить, перемножив друг на друга ширину, высоту и длину: $V = a \cdot b \cdot c$.

    Масса железного листа:
    $m = \rho V = \rho \cdot a \cdot b \cdot c$,
    $m = 7800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.6 \space м \cdot 0.004 \space м \cdot 3 \space м = 56.16 \space кг$.

    Теперь разделим грузоподъемность лифта на массу одного лифта. Полученное целое число и будет ответом на вопрос задачи:
    $n = \frac{M}{m}$,
    $n = \frac{3000 \space кг}{56.16 \space кг} \approx 53$.

    Ответ: $n = 53$.

    Упражнение №5

    Кружка доверху наполнена молоком. Определите объем кружки, если масса молока в кружке $515 \space г$, плотность молока найдите в таблице.

    Дано:
    $m = 515 \space г$
    $\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $m = 0.515 \space кг$

    $V — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Зная массу и плотность молока, найдем объем, который оно занимает в кружке:
    $V = \frac{m}{\rho}$,
    $V = \frac{0.515 \space кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0.0005 \space м^3 = 0.5 \space л$.

    Ответ: $V = 0.5 \space л$.

    Задание

    Возьмите баночку из-под меда. Рассмотрите внимательно этикетку. Найдите на ней, какова масса меда и объем баночки. Затем рассчитайте плотность меда. Полученный результат проверьте по таблице.

    Дано:
    $m = 800 \space г$
    $V = 500 \space мл$

    СИ:
    $m = 0.8 \space кг$
    $V = 0.0005 \space м^3$

    $\rho — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Рассчитаем плотность меда:
    $\rho = \frac{m}{V}$,
    $rho = \frac{0.8 \space кг}{0.0005 \space м^3} = 1600 \frac{кг}{м^3}$.

    По таблице плотность меда составляет $1350 \frac{кг}{м^3}$. Существует множество различных сортов меда, плотность которых отличается друг от друга. Наше значение плотности не сильно отличается от табличного, поэтому можно сказать, что результат получен правильный.

    Ответ: $\rho = 1600 \frac{кг}{м^3}$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение