Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Решение задач на плотность вещества

Содержание

    Тела, состоящие из различных веществ, при одинаковой массе будут иметь различные объемы, а при одинаковых объемах — различные массы. Происходит это из-за того, что каждое вещество имеет определенную плотность, которая описывается формулой $\rho = \frac{m}{V}$.

    На данном уроке мы рассмотрим задачи на нахождение массы, объема или плотности по другим известным параметрам тел и их подробные решения. Вам понадобятся табличные значения плотностей различных веществ, из которых состоят тела, — их вы можете найти здесь.

    Задача №1

    Определите массу бензина, спирта, меда объемом $10 \space л$.

    Дано:
    $V = 10 \space л$
    $\rho_б = 710 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_c = 800 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_м = 1350 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $V = 0.01 \space м^3$

    $m_б, m_с, m_м — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    При известных плотности и объеме мы можем рассчитать массу по формуле $m = \rho V$.

    Перед вычислениями не забывайте переводить единицы измерения величин в СИ!

    Рассчитаем массу бензина:
    $m_б = \rho_б V$,
    $m_б = 710 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.01 \space м^3 = 7.1 \space кг$.

    Рассчитаем массу спирта:
    $m_с = \rho_с V$,
    $m_с = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.01 \space м^3 = 8 \space кг$.

    Рассчитаем массу меда:
    $m_м = \rho_м V$,
    $m_м = 1350 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.01 \space м^3 = 13.5 \space кг$.

    Ответ: $m_б = 7.1 \space кг$, $m_с = 8 \space кг$, $m_м = 13.5 \space кг$.

    Задача №2

    Медная кастрюля имеет массу $0.5 \space кг$. Если кастрюлю такого же размера изготовить из стали, какая у нее будет масса?

    Дано:
    $m_1 = 0.5 \space кг$
    $\rho_1 = 8900 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 7800 \frac{кг}{м^3}$
    $V_1 = V_2 = V$

    $m_2 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Обратите внимание, что, когда в задаче говорится о размерах тела, речь идет о его объеме.

    Рассчитаем объем медной кастрюли:
    $V = \frac{m_1}{\rho_1}$,
    $V = \frac{0.5 \space кг}{8900 \frac{кг}{м^3}} \approx 5.6 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

    Теперь рассчитаем массу такой же кастрюли из стали:
    $m_2 = \rho_2 V$,
    $m_2 = 7800 \frac{кг}{м^3} \cdot 5.6 \cdot 10^{-5} \space м^3 \approx 0.4 \space кг$.

    Ответ: $m_2 \approx 0.4 \space кг$.

    Задача №3

    Металлический кусок имеет объем $200 \space см^3$ и массу $540 \space г$. Из какого металла этот кусок? Какова его плотность?

    Дано:
    $V = 200 \space см^3$
    $m = 540 \space г$

    $\rho — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Плотность часто измеряют в $\frac{г}{см^3}$, а также у нас есть табличные значения плотностей в этих единицах. Поэтому мы не стали переводить единицы измерения массы и объема в $кг$ и $м^3$.

    Найдем плотность металла:
    $\rho = \frac{m}{V}$,
    $\rho = \frac{540 \space г}{200 \space см^3} = 2.7 \frac{г}{см^3}$.

    Пользуясь таблицей, найдем металл с такой плотностью — это алюминий.

    Ответ: алюминий, $\rho = 2.7 \frac{г}{см^3}$.

    Задача №4

    Вычислите массу чугунного бруска с внутренней выемкой (рисунок 1).

    Рисунок 1. Чугунный брусок с внутренней выемкой

    Дано:
    $a = 5 \space см$
    $b = 3 \space см$
    $c = 2 \space см$
    $a_1 = 2 \space см$
    $b_1 = 1 \space см$
    $\rho = 7 \frac{г}{см^3}$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Используя длину $a$, высоту $b$ и ширину $c$ бруска мы можем рассчитать его объем вместе с выемкой. Потом мы вычтем объем этой выемки и получим реальный объем этой детали.

    Объем бруска вместе с объемом выемки:
    $V_2 = a \cdot b \cdot c$,
    $V_2 = 5 \space см \cdot 3 \space см \cdot 2 \space см = 30 \space см^3$.

    Теперь вычислим объем выемки:
    $V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c$,
    $V_2 = 2 \space см \cdot 1 \space см \cdot 2 \space см = 4 \space см^3$.

    Рассчитаем действительный  объем бруска:
    $V = V_2 — V_1$,
    $V = 30 \space см^3 — 4 \space см^3 = 26 \space см^3$.

    Зная объем бруска и плотность, найдем его массу:
    $m = \rho V$,
    $m = 7 \frac{г}{см^3} \cdot 26 \space см^3 = 182 \space г$.

    Ответ: $m = 182 \space г$.

    Задача №5

    Емкость бадьи для бетона $1.5 \space м^3$. Такая емкость выбрана для того, чтобы ее масса с бетоном не превышала грузоподъемности подъемного крана, которая равна $5 \space т$. Определите плотность бетона, если вес самой бадьи $1.7 \space т$.

    Дано:
    $m = 5 \space т$
    $m_1 = 1.7 \space т$
    $V = 1.5 \space м^3$

    СИ:
    $m = 5 \cdot 10^3 \space кг$
    $m_1 = 1.7 \cdot 10^3 \space кг$

    $\rho — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Бадья с бетоном не должна весить больше $5 \cdot 10^3 \space кг$. Тогда максимальная масса бетона будет равна:
    $m_2 = m — m_1$,
    $m_2 = 5 \cdot 10^3 \space кг — 1.7 \cdot 10^3 \space кг = 3.3 \cdot 10^3 \space кг$.

    Рассчитаем плотность бетона, если бадья будет полностью заполнена:
    $\rho = \frac{m_2}{V}$,
    $\rho = \frac{3.3 \cdot 10^3 \space кг}{1.5 \space м^3} = 2.2 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 2.2 \frac{г}{см^3}$.

    Ответ: $\rho = 2.2 \frac{г}{см^3}$.

    Задача №6

    Мензурка, до краев наполненная спиртом, имеет массу $500 \space г$. Та же мензурка без спирта имеет массу $100 \space г$. Какой объем вмещает мензурка?

    Дано:
    $m = 500 \space г$
    $m_1 = 100 \space г$
    $\rho = 0.8 \frac{г}{см^3}$

    $V — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Масса спирта будет равна разности масс наполненной мензурки и пустой мензурки:
    $m_2 = m — m_1$,
    $m_2 = 500 \space г — 100 \space г = 400 \space г$.

    Так как мензурку заполняли спиртом до краев, объем спирта будет равен объему мензурки:
    $V = \frac{m_2}{\rho}$,
    $V = \frac{400 \space г}{0.8 \frac{г}{см^3}} = 500 \space см^3$.

    Ответ: $V = 500 \space см^3$.

    Задача №7

    Один из самых легких металлов — магний — является главной составной частью сплава, которая называется “электрон-металл”, имеющего применение в авиастроении. Плотность этого сплава $1.8 \frac{г}{см^3}$. Во сколько раз предмет, изготовленный из электрон-металла, будет легче такого же размера изделия из стали?

    Дано:
    $\rho = 1.8 \frac{г}{см^3}$
    $\rho_с = 7.8 \frac{г}{см^3}$

    $\frac{m_с}{m} — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Масса предмета, изготовленного из электрон-металла, рассчитывается по формуле:
    $m = \rho V$.

    Масса предмета, изготовленного из стали, рассчитывается по формуле:
    $m_с = \rho_с V$.

    Объем у нас остается тем же, ведь мы говорим об одном и том же предмете, но выполненном из разных материалов:
    $V = \frac{m}{\rho} = \frac{m_с}{\rho_с}$.

    Отсюда сравним массы таких предметов:
    $\frac{m_с}{m} = \frac{\rho_с}{\rho}$,
    $\frac{m_с}{m} = \frac{7.8 \frac{г}{см^3}}{1.8 \frac{г}{см^3}} \approx 4.3$.

    Значит, предмет, изготовленный из электрон-металла, будет в 4.3 раза легче такого же размера изделия из стали.

    Ответ: в 4.3 раза.

    Задача №8

    Газовый баллон имеет объем $30 \space дм^3$. Его наполняют газом, обращенным в жидкое состояние. Рассчитайте, сколько в баллоне помещается килограммов жидкого хлора, плотность которого $1.2 \frac{г}{см^3}$. Сколько получится при выпуске литров газообразного хлора, плотность которого $0.0032 \frac{г}{см^3}$?

    Дано:
    $V_1 = 30 \space дм^3 = 30 \cdot 10^3 \space см^3$
    $\rho_1 = 1.2 \frac{г}{см^3}$
    $\rho_2 = 0.0032 \frac{г}{см^3}$

    $m — ?$
    $V_2 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    В жидком состоянии хлор имеет определенную плотность $\rho_1$ и занимает определенный объем $V_1$. В газообразном же состоянии хлор будет иметь другую плотность $\rho_2$ и другой объем $V_2$. При этом масса хлора остается постоянной: что в жидком, что в газообразном виде.

    Рассчитаем массу хлора, используя данные для его жидкого состояния:
    $m = \rho_1 V_1$,
    $m = 1.2 \frac{г}{см^3} \cdot 30 \cdot 10^3 \space см^3 = 36 \cdot 10^3 \space г = 36 \space кг$.

    Теперь вычислим объем газообразного хлора и выразим его в литрах:
    $V_2 = \frac{m}{\rho_2}$,
    $V_2 = \frac{36 \cdot 10^3 \space г}{0.0032 \frac{г}{см^3}} = 11 \space 250 \space 000 \space см^3 = 11 \space 250 \space л$.

    Ответ: $m = 36 \space кг$, $V_2 = 11 \space 250 \space л$.

    Задача №9

    Ртуть и нефть одинаковой массы налили в разные емкости. Во сколько раз объем, занимаемой ртутью, меньше объема, занимаемого нефтью? 

    Дано:
    $m_1 = m_2 = m$
    $\rho_1 = 13.6 \frac{г}{см^3}$
    $\rho_2 = 0.8 \frac{г}{см^3}$

    $\frac{V_2}{V_1} — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Так как масса ртути и масса нефти равны друг другу, мы можем записать:
    $m = \rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$.

    Выразим отсюда отношение объемов:
    $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2}$.

    Рассчитаем:
    $\frac{V_2}{V_1} = \frac{13.6 \frac{г}{см^3}}{0.8 \frac{г}{см^3}} = 17$.

    Значит, объем, занимаемой ртутью, в 17 раз меньше объема, занимаемого нефтью.

    Ответ: в 17 раз.

    Задача №10

    На одну чашу весов положили мраморный шарик, на другую — шарик из латуни, втрое меньший по объему. Останутся ли весы в равновесии?

    Дано:
    $V_2 = \frac{V_1}{3}$
    $\rho_1 = 2700 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 8500 \frac{кг}{м^3}$

    $\frac{m_2}{m_1} — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Весы останутся в равновесии в том случае, если массы шариков будут равны, т. е. $\frac{m_2}{m_1} = 1$.

    Выразим массу каждого шарика через его объем и плотность:
    $\frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho_2 V_2}{\rho_1 V_1} = \frac{\rho_2 V_1}{3 \rho_1 V_1} = \frac{\rho_2}{3 \rho_1}$.

    Рассчитаем это отношение масс:
    $\frac{m_2}{m_1} = \frac{8500 \frac{кг}{м^3}}{3 \cdot 2700 \frac{кг}{м^3}} \approx 1.05$.

    Это означает, что весы не останутся в равновесии. Масса шарика из латуни больше массы шарика из мрамора.

    Ответ: нет.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение