Что такое переменная? Буквенные обозначения переменных

На этом уроке мы расскажем, что такое переменная, какие символы применяются для обозначения переменной, и как она применяется в математике.

Что такое переменная?

Наверняка вам встречались записи такого вида:

$$4-x = 2$$

$$a + b = b + a$$

Зачем нужны все эти $a,b,x,y,z$? Почему в математике помимо цифр используют еще и буквы? Почему бы не оперировать просто цифрами? Давайте попробуем найти ответы на эти вопросы.

Буквы нам нужны для обозначения переменных.

Переменная — это буква, входящая в буквенное выражение. Она может принимать любые числовые значения.

Обозначение переменных

Буквы в математике — это всего лишь символы, и ничего более. И использовать можно абсолютно любую букву латинского алфавита, которая больше всего нравится.

При решении задач можно использовать и письменный, и печатный вариант написания буквы. Для обозначения чисел чаще всего используют маленькие прописные буквы. Очень часто используется буква $x$.

Предположим, у нас есть выражение:

$$x + 3 = 10$$

Причина, по которой мы записали здесь букву $x$, заключается в следующем. На самом деле мы не знаем, чему равна эта переменная. Это что-то неизвестное, и это неизвестное нам и нужно найти. Хотя совсем не обязательно, чтобы это был $x$ или какая-то другая буква.

Мы могли этот же пример записать так:

почерк плюс три равно десяти

$$\_ + 3 =10$$

Или так: знак вопроса плюс три равно десяти

$$? + 3 = 10$$

На самом деле непринципиально, как мы обозначим переменную. Мы можем поставить вместо нее вот такой смайлик — 😀

Тогда это будет смайлик плюс три равно десяти

😀 $ + 3 = 10$

Если бы вместо смайлика было записано какое-то число, то это уже не была бы переменная.

Мы можем решить это уравнение и найти значение, которое соответствует этому смайлику.

Показать решение уравнения

Скрыть

{"questions":[{"content":"$21 + 36 + 72-99 = 30$<br />Если обозначить в данном примере все четные числа буквой $a$, а нечетные буквой $b$, какое выражение получится? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$b + a + a-b = a$","$b + a + b-b = a$","$a + b + b-a = b$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Четные числа — это числа, которые делятся на $2$ нацело и без остатка.","Следовательно, в данном выражении четными будут цифры $36, 72, 30$. Их нужно обозначить буквой $a$. Остальные — нечетные, их обозначим буквой $b$."]}]}

Выражения с переменными

Если в примере есть переменная, значит, этот пример — выражение с переменной.

Выражение с переменной — это совокупность одной или нескольких переменных и чисел, соединенных знаками арифметических операций ($«+» , «-» , « : », «\cdot»$). Значение выражения с переменной зависит от значений входящих в него переменных. 

Также буквы используют для выражения отношения между числами.

Например, если в записи

$$5 > 0$$

число $5$ обозначить буквой $x$, то получится выражение:

$$x > 0$$

то есть число $5$ получило свое обозначение, так сказать свое название, свое имя. Это имя и есть буква $x$.

Рассмотрим еще один пример. В записи $у > 0$ на месте буквы $у$ может стоять любое положительное число.

Это может быть и $23$, и $307$, и $2057$. И еще множество других положительных чисел. Потому что, как мы уже знаем, любое положительное число — это число, которое больше нуля.

Если есть два числа, одно из которых больше другого, то с помощью букв это можно записать вот так:

$x > y$

Это могли быть числа $50$ и $20$ соответственно. То есть $x$ здесь равно $50$, а $y = 20$.

На самом деле не обязательно использовать именно $x$ или $y$ для обозначения тех или иных переменных. Просто так сложилось исторически.

Вместо $x$ мы могли бы использовать треугольник, а вместо $у$ — смайлик. Тогда наше выражение выглядело бы весьма симпатично:

∆ > 😀

Если вместо каждой буквы, которая входит в выражение с переменной, подставить какое-либо число, а потом выполнить все действия, то в результате получим некоторое число, которое будет значением выражения.

Тренировка использования переменных

Давайте потренируемся. У нас есть следующие выражения с переменной:

$$x-8$$

$$x + x$$

$$14 + x$$

Можем ли мы сейчас найти значения этих выражений?

Показать ответ

Скрыть

Теперь давайте вычислим значения этих выражений при $x = 10$

Подставляем значения переменной в выражения и вычисляем:

$$10-8 = 2$$

$$10 + 10 = 20$$

$$14 + 10 = 24$$

Попробуйте сами. Вычислите значения выражений при $x = 15$

Показать вычисления

Скрыть

{"questions":[{"content":"При каких значениях $x$ данные выражения будут верными?[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x + 8 = 17$","$16-x = 8$"],"items":["$x = 9$","$x = 8$"]}},"step":1,"hints":["Для того, чтобы узнать, при каких значениях $x$ будут верными выражения, можно использовать два способа.","Первый способ: подставить вместо $x$ возможное значение и проверить, верное ли выражение получается. Например, у нас получатся вот такие выражения: <br />$8 + 8 = 17$<br />$9 + 8 = 17$<br />Правильным является только второе равенство, следовательно, $x = 9$","Второй способ: решить предложенные равенства как уравнения и найти $x$  <br />$x + 8 = 17$<br />$x = 17-8$<br />$x = 9$"]}]}

Еще один пример.

$y < 3$

Каким может быть значение $y$, если известно, что $y$ — натуральное число?

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"При каких значениях $x$ и $y$ данные выражения будут верными?[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x + 34 = y$","$17-x = y$","$x + y = 18$"],"items":["$x = 2$<br />$y = 36$","$x = 5$<br />$y = 12$","$x = 11$<br />$y = 7$"]}},"step":1,"hints":["Для того, чтобы узнать, какие из значений подходят, подставим их в выражения. Возьмём первое выражение $x + 34 = y$. При $x = 5$ сумма $x$ и $34$ будет $39$, значит, это значение не подходит. Таким же способом узнаём, что $x = 11$ также не подходит. Это выражение будет верным только при $x = 2$; $y = 36$","С выражением $x + y = 18$ поступаем аналогично: подставляем значения и получаем равенства $2 + 36 = 18$; $5 + 12 = 18$ и $11 + 7 = 18$. Верным будет только последнее равенство, следовательно, $x = 11$; $y = 7$"]},{"content":"При каких значениях $y$ будет верным неравенство $3 < y < 6$, при условии что $y$ — натуральное число? Перечислите через запятую.[[input-49]]","widgets":{"input-49":{"type":"input","answer":["4, 5","4,5"]}},"step":1,"hints":["Между $3$ и $6$ располагаются только натуральные числа $4$ и $5$.","Следовательно, $y$ может быть равен только этим двум числам."]},{"content":"Образавр гулял $2$ часа, а Решавр — на $a$ часа дольше. <br />Какое из выражений подходит к этой задаче?[[choice-89]]","widgets":{"choice-89":{"type":"choice","options":["$2 + a$","$2-a$","$2+2 + a$","$2+3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Мы обозначили разницу во времени буквой $a$.","Следовательно, если нам нужно указать, что Решавр гулял на $a$ больше, чем Образавр, то нам нужно прибавить $a$ ко времени, которое потратил на прогулку Образавр."]}]}