Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Сравнение натуральных чисел. Знаки неравенств

Содержание

    «Больше или меньше?» – этот вопрос возникает почти каждый день. Например, мы сравниваем ценники в магазине, сколько кто набрал очков в игре и тому подобное.

    На этом уроке мы поговорим о том, как происходит сравнение натуральных чисел, какие бывают знаки сравнения, как происходит сравнение многозначных чисел и отрезков, изучим некоторые свойства неравенств, а также узнаем, что такое нестрогое и двойное неравенство.

    Натуральный ряд чисел и сравнение чисел

    Образавр и Вообразавр решили поспорить, кто за пять минут сделает больше самолетиков из бумаги. Чтобы помочь им, давайте разберемся, как сравнивать натуральные числа. Ведь именно так, посмотрев на результат соперника, можно увидеть, кто пока выигрывает. 

    Вспомним, что все натуральные числа образуют натуральный ряд чисел:

    $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…$ и т. д.

    В этом натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше, чем предыдущее. Или каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему единицы.

    Так, $4$ на единицу больше, чем число $3$. А если к $9$ прибавить $1$, получится следующее число — $10$. И так с каждой парой соседних чисел в ряду натуральных чисел.

    Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).

    Это означает, что чем дальше от начала находится число в ряду натуральных чисел, тем оно больше.

    Например, число $13$ больше числа $9$, число $9$ больше числа $5$, так как в ряду натуральных чисел число $13$ находится правее числа $9$, а $9$ правее числа $5$.

    И наоборот, число $9$ меньше числа $13$, число $5$ меньше числа $9$, так как в ряду натуральных чисел, число $9$ находится левее числа $13$, а $5$ левее числа $9$.

    Если одно число больше или меньше другого, то в математике это называется неравенством.

    Но это лишь один из способов. Выделяют и другие. Например:

    Одно число больше другого, если его при счете произносишь позже, а меньше, соответственно, то, которое называешь раньше.

    Знаки сравнения

    В математике для простоты записи на бумаге используют знаки. Если надо написать, что одно число больше или меньше другого, то необходимо использовать знаки $<$ и $>$.

    Например, если Образавр сделал $13$ самолетиков, а Вообразавр — $11$, получается, что Образавр сделал больше:

    Рисунок 1

    Знак $>$ и сам похож на самолетик, который своим «носиком» указывает на меньшее число.

    Еще знаки неравенства похожи на клюв птицы. Знак $>$ на открытый клюв птицы, которая хочет съесть как можно больше, а знак $<$ — на закрытый клювик.

    Рисунок 2. Знаки $>$ и $<$

    Как читаем $4 < 9$? 

    Если вопрос: «Что меньше?», ответ: «Четыре меньше девяти».

    Если вопрос: «Что больше?», ответ: «Девять больше четырёх».

    Одно и то же выражение можно читать по-разному. Но если поменять местами числа, то знак надо менять, так как число, которое больше, теперь стоит не слева, а справа (или наоборот). Например, $4 < 9$. Поменяли местами и теперь число $9$ стоит слева. Будет $9 > 4$.

    Строгие и нестрогие неравенства

    Те неравенства, которые мы разбирали выше, называются строгими. Помимо них, в математике также есть нестрогие неравенства. Они обозначаются знаками $\leq$ и $\geq$.

    Рисунок 3. Знак нестрогого неравенства

    Пример нестрогого неравенства: $n \leq m$

    Что это значит, как думаете?

    Показать ответ

    Скрыть

    Это значит, что число $n$ либо $<$, либо $=$ числу $m$.

    Данное неравенство нужно читать так: «$n$ меньше или равно $m$».

    Иначе можно было бы записать то же самое так: $n < m$ или $n = m$

    Получается, что неравенство $n \leq m$ удовлетворяет одно из двух условий.

    Нестрогое неравенство является верным в случае, если выполняется хотя бы одно из двух его условий, то есть одно число либо равно сравниваемому с ним числу, либо больше или меньше его (в зависимости от знака).

    Например, давайте рассмотрим нестрогое неравенство $7 \geq 6$. Является ли оно верным?

    Показать ответ

    Скрыть

    Да, так как одно из его условий выполняется: $7 > 6$

    А будет ли верным неравенство $7 \geq 7$, как думаете?

    Показать ответ

    Скрыть

    Тоже да, так как $7 = 7$. Одно из условий выполняется.

    А вот нестрогое неравенство $7 \leq 6$ не является верным, ведь ни одно из его условий не выполняется.

    Свойства неравенств

    Неравенства подчиняются общим правилам, которые называют свойствами неравенств. Давайте разберем некоторые из них.

    Если первое число больше второго, а второе больше третьего, значит, первое число больше третьего, то есть если $a > b$, а $b > c$, то $a > c$

    Чтобы было понятнее, давайте подставим вместо букв числа. Пусть $a = 5$, $b = 3$, $c = 2$.

    $$5 > 3$$

    $$3 > 2$$

    $$5 > 2$$

    Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то неравенство не изменится, то есть если $a > b$, то $a +c > b + c$

    Проверим на числах:

    $$5 + 2 > 3 + 2$$

    А как вы думаете, что будет больше, $a + b$, $a-b$ или $a$?

    Показать ответ

    Скрыть

    Если числа $a$ и $b$ являются натуральными, то $a + b > a$. Проверим:

    $$5 + 3 > 5$$

    Ну а $a-b$ будет меньше, чем $a$.

    $$5-3 < 5$$

    Двойное неравенство

    С простым неравенством разобрались, но в математике выделяют ещё и двойное, то есть, когда сравнивают уже не $2$, а $3$ числа. Соответственно, в таком случае уже не $1$ знак, а $2$. Давайте разберёмся. Выделяют несколько особенностей, сравнивая $3$ числа.

    Во-первых, самое главное из них — то число, которое стоит посередине. Мы только с ним сравниваем $2$ других. Например, пять больше двух, но меньше восьми ($2<5<8$). Мы с числом $5$ сравниваем числа $2$ и $8$, но обязательно по очереди. Сначала берем число, находящее слева, а потом уже другое.

    Во-вторых, всегда одинаковые знаки. Если вначале поставили «$<$», то и второй знак будет точно таким же.

    Хотя знаки в двойном неравенстве одинаковые, произнося ответ, мы всегда должны где-то употребить слово «больше», а где-то «меньше». Как правило, сначала употребляют слово «больше», а потом «меньше» ($5$ больше $2$, но меньше $8$).

    Рисунок 4. Чтение неравенств

    Сравнение многозначных чисел

    Сравнить числа $9$ и $13$ легко, потому что числа небольшие и легко понять, какое из них будет находиться в ряду правее, и какое левее.

    А если числа, которые нужно сравнить, большие, состоят из трех и более цифр? Такие как $648$ и $7352$, или $340567$ и $341974$. Каким образом выяснить, какое из чисел будет больше? Для этого нужно посмотреть, из скольких цифр состоят числа.

    Из двух чисел больше то число, у которого цифр больше. 

    Рассмотрим еще один пример. Допустим, у нас есть числа $2, 876, 63, 20987, 7774, 109453$. И нам нужно расположить их по возрастанию, то есть от самого маленького до самого большого.  Обратим внимание, из скольких цифр состоит каждое число:

    ЧислоСколько в нем цифр
    $2$$1$ цифра
    $876$$3$ цифры
    $63$$2$ цифры
    $20987$$5$ цифр
    $7774$$4$ цифры
    $108453$$6$ цифр

    Значит, самым маленьким будет число из одной цифры — это число $2$. Далее будет число, состоящее из двух цифр — это число $63$. Следующее состоит из трех цифр — число $876$. Затем из пяти цифр — $20987$. И самым большим будет число, которое состоит из $6$ цифр — $108453$.

    Сравнение многозначных чисел с одинаковым количеством цифр

    Чтобы сравнить $2$ числа, можно сравнивать их по разрядам, начиная с наивысших.

    Сравним $2305$ и $2186$.

    Сравниваем по очереди тысячи, сотни, десятки и единицы обоих чисел. Итак, тысячи тут совпадают (и там $2$, и там $2$), тогда смотрим на сотни.

    В $2305$ — $3$ сотни, а в $2186$ — $1$ сотня. Значит, в $2305$ больше сотен, чем в $2186$, поэтому $2305 > 2186$.

    Из двух чисел с одинаковым количеством цифр, больше то, у которого больше первая (слева направо) из неодинаковых цифр

    Сравним $4910$ и $4909$. Сравниваем цифры слева направо:

    Для удобства запишем эти числа одно под другим:

    $4930978$
    $4931423$

    Итак, первые слева цифры у чисел — это четвёрки. Значит, сравниваем следующие цифры. Далее идут девятки. Значит, сравниваем следующие. И так будем сравнивать до тех пор, пока сравниваемые цифры не будут разными.

    Смотрим далее — у первого числа стоит $0$, а у второго в этой позиции — $1$. $1$ больше, чем $0$, значит, и второе число больше, чем первое.

    $$4930978$$
    $$4931423$$

    Сравнение отрезков

    Рисунок 5

    В математике сравнивают не только числа, но и буквы, а именно отрезки.

    Например, PE — $5$ см, KO — $5$ см, а QM — $10$ см.

    Конечно, длиннее будет QM, то есть QM $>$ PE.

    Отрезки PE и KO равны, то есть PE $=$ KO

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение