Сравнение натуральных чисел. Знаки неравенств

«Больше или меньше?» – этот вопрос возникает почти каждый день. Например, мы сравниваем ценники в магазине, сколько кто набрал очков в игре и тому подобное.

На этом уроке мы поговорим о том, как происходит сравнение натуральных чисел, какие бывают знаки сравнения, как происходит сравнение многозначных чисел и отрезков, изучим некоторые свойства неравенств, а также узнаем, что такое нестрогое и двойное неравенство.

Натуральный ряд чисел и сравнение чисел

Образавр и Вообразавр решили поспорить, кто за пять минут сделает больше самолетиков из бумаги. Чтобы помочь им, давайте разберемся, как сравнивать натуральные числа.

Вспомним, что все натуральные числа образуют натуральный ряд чисел:
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…$ и т. д.
В этом натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше, чем предыдущее.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).

Например, число $13$ больше числа $9$, так как в ряду натуральных чисел число $13$ находится правее.

Если одно число больше или меньше другого, то в математике это называется неравенством.

{"questions":[{"content":"Сравните числа:<br />$21$[[fill_choice-1]]$19$<br />$17$[[fill_choice-4]]$33$<br />$26$[[fill_choice-12]]$16$","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["больше","меньше"],"answer":0},"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["больше","меньше"],"answer":1},"fill_choice-12":{"type":"fill_choice","options":["больше","меньше"],"answer":0}},"step":1,"hints":["Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала)."]}]}

Знаки сравнения

В математике для простоты записи сравнения на бумаге используют знаки $<$ и $>$.

Например, если Образавр сделал $13$ самолетиков, а Вообразавр — $11$, получается, что Образавр сделал больше:

В неравенстве больше то число, которое стоит у раскрытой части знака $>$, а меньше — то, что у закрытой.

Как читаем $4 < 9$? 
Если вопрос: «Что меньше?», ответ: «Четыре меньше девяти».
Если вопрос: «Что больше?», ответ: «Девять больше четырех».

Интерактив

Изменяйте ползунками значения двух сравниваемых чисел, чтобы увидеть, как меняется знак сравнения между ними.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте утверждения и их записи на бумаге:[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Три больше двух","Пять меньше, чем десять","Шестьдесят больше восьми"],"items":["$3 >2$","$5<10$","$60>8$","$60<8$"]}},"hints":["Больше то число, которое стоит правее в числовом ряду"]}]}

{"questions":[{"instruction":"Выберите знак неравенства, обозначающий «меньше»:","content":"[[img_choice-1]]","widgets":{"img_choice-1":{"type":"img_choice","options":[["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/menshe.svg"],["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/bir.svg"],["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/untitled-1.svg"]],"answer":[0]}}}]}

Строгие и нестрогие неравенства

Те неравенства, которые мы разбирали выше, называются строгими. Помимо них, в математике также есть нестрогие неравенства. Они обозначаются знаками $\leq$ и $\geq$.

Пример нестрогого неравенства: $n \leq m$.
Это значит, что число $n$ либо $<$, либо $=$ числу $m$.

Данное неравенство нужно читать так: «$n$ меньше или равно $m$».

Нестрогое неравенство является верным в случае, если выполняется хотя бы одно из двух его условий, то есть одно число либо равно сравниваемому с ним числу, либо больше или меньше его (в зависимости от знака).

{"questions":[{"instruction":"Выберите верные неравенства:","content":"[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7 \\geq 6$","$7 \\geq 7$","$7 \\leq 6$"],"explanations":["Верно, так как одно из его условий выполняется: $7 > 6$","Верно, так как $7 = 7$. Одно из условий выполняется.","Не является верным, так как ни одно из его условий не выполняется"],"answer":[0,1]}}}]}

{"questions":[{"instruction":"Сопоставьте произношение и запись неравенств:","content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Десять больше или равно четырем","Сто больше или равно ста","Восемьдесят восемь меньше или равно девяноста"],"items":["$10\\geq4$","$100\\geq100$","$88\\leq90$","$10\\leq4$"]}},"hints":["Чтобы неравенство было верным, нужно, чтобы одно из его условий выполнялось."]}]}

Свойства неравенств

Неравенства подчиняются общим правилам, которые называют свойствами неравенств.

Если первое число больше второго, а второе больше третьего, значит, первое число больше третьего, то есть если $a > b$, а $b > c$, то $a > c$

Чтобы было понятнее, давайте подставим вместо букв числа. Пусть $a = 5$, $b = 3$, $c = 2$.

Если $5 > 3$, а $3 > 2$, то и $5 > 2$.

{"questions":[{"content":"Если $12>6$ и $6>2$, тогда:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12>2$","$12<2$","$2>12$"],"answer":[0]}},"hints":["Если первое число больше второго, а второе больше третьего, значит, первое число больше третьего"]}]}

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то неравенство не изменится, то есть если $a > b$, то $a +c > b + c$

Проверим на числах: $$5 + 2 > 3 + 2$$ $$7 > 5$$

А как вы думаете, что будет больше: $a + b$, $a-b$ или $a$?
Если числа $a$ и $b$ являются натуральными, то $a + b > a$.
Проверим: $5 + 3 > 5$

Двойное неравенство

С простым неравенством разобрались, но в математике выделяют еще и двойное, то есть когда сравнивают уже не $2$, а $3$ числа.

• Во-первых, самое главное из них — то число, которое стоит посередине. Мы только с ним сравниваем $2$ других. Например, пять больше двух, но меньше восьми ($2<5<8$).
• Во-вторых, знаки должны быть согласованы по направлению: например, $2<5<8$ или $8>5>2$. При этом строгий и нестрогий знаки могут сочетаться: $1\le x<3$.

{"questions":[{"instruction":"Вставьте пропущенный знак:","content":"$45<55$[[fill_choice_big-1]]$65$","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$<$","$>$"],"answer":0}},"hints":["Здесь нужно поставить знак «меньше»: 55 меньше 65."]}]}

Хотя знаки в приведенном двойном неравенстве направлены одинаково, произнося ответ, мы всегда должны где-то употребить слово «больше», а где-то «меньше». Как правило, сначала употребляют слово «больше», а потом «меньше» ($5$ больше $2$, но меньше $8$).

{"questions":[{"instruction":"Сопоставьте словесное и письменное описание неравенств:","content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Десять меньше тринадцати, но больше четырех","Сорок шесть больше сорока пяти, но меньше сорока семи","Сорок пять больше или равно сорока пяти и меньше или равно шестидесяти пяти"],"items":["$13>10>4$","$45<46<47$","$45\\leq45\\leq65$","$3\\geq2\\geq1$"]}},"hints":["Больше то число, которое стоит дальше от нуля в ряду натуральных чисел"]}]}

Сравнение многозначных чисел

Сравнить числа $9$ и $13$ легко, потому что числа небольшие и легко понять, какое из них будет находиться в ряду правее и какое левее.

А если числа, которые нужно сравнить, большие, состоят из трех и более цифр? Такие как $648$ и $7352$ или $340567$ и $341974$. Каким образом выяснить, какое из чисел будет больше? Для этого нужно посмотреть, из скольких цифр состоят числа.

Из двух чисел больше то число, у которого цифр больше. 

Рассмотрим еще один пример. Допустим, у нас есть числа $2, 876, 63, 20987, 7774, 108453$. И нам нужно расположить их по возрастанию, то есть от самого маленького до самого большого.  Обратим внимание, из скольких цифр состоит каждое число:

Значит, самым маленьким будет число из одной цифры — это число $2$. Самым большим будет число, которое состоит из $6$ цифр — $108453$.

{"questions":[{"content":"Какое число больше: $2193746$ или $219346$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2193746$","$219346$","Равны"],"explanations":[],"answer":[0]}},"hints":["Из двух чисел больше то число, у которого цифр больше"]},{"content":"Какое число больше: $9999999999$ или $111111111$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$9999999999$","$111111111$","Равны"],"explanations":[],"answer":[0]}},"hints":["Из двух чисел больше то число, у которого цифр больше"]},{"content":"Какое число меньше: $102938123$ или $9998988$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$9998988$","$102938123$","Равны"],"explanations":[],"answer":[0]}},"hints":["Из двух чисел больше то число, у которого цифр больше"]}]}

Сравнение многозначных чисел с одинаковым количеством цифр

Чтобы сравнить $2$ числа, можно сравнивать их по разрядам, начиная с наивысших.

Из двух чисел с одинаковым количеством цифр больше то, у которого больше первая (слева направо) из неодинаковых цифр

Сравним два числа:

$4930978$
$4931423$

Итак, первые три цифры у чисел одинаковые. Далее — у первого числа стоит $0$, а у второго в этой позиции — $1$.
$1$ больше, чем $0$, значит, второе число больше, чем первое:
$493\textcolor{red}{0}978<493\textcolor{red}{1}423$

{"questions":[{"instruction":"Вставьте пропущенный знак:","content":"$455$[[fill_choice_big-1]]$465$","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$<$","$>$"],"answer":0}},"hints":["Больше число, имеющее больший старший разряд"]}]}

Сравнение отрезков

В математике сравнивают не только числа, но и буквы, которыми, например, обозначаются отрезки.

Возьмем три отрезка: $PE$ — $5$ $см$, $KO$ — $5$ $см$, а $QM$ — $10$ $см$.

Конечно, длиннее будет $QM$, то есть $QM$ $>$ $PE$, а отрезки $PE$ и $KO$ равны, то есть $PE$ $=$ $KO$

Интерактив

Изменяйте с помощью ползунков длины отрезков, чтобы увидеть, как изменяется знак сравнения между ними.

{"questions":[{"content":"Даны два отрезка: $AB=6$ $см$, $CD=9$ $см$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB< CD$","$AB>CD$","$AB=CD$"],"answer":[0]}}}]}

{"questions":[{"instruction":"Сравним три отрезка:","content":"[[image-1]][[choice-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/untitled.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$PE< KM< QO$","$KM>PE>QO$","$QO>PE>KM$","$PE< QO< KM$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сравниваем длины отрезков: $PE$ самый маленький, $KM$ — средний по длине, $QO$ — самый большой","$KM$ больше, чем $PE$, но меньше, чем $QO$ $$PE< KM< QO$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы