Десятичная система счисления. Классы и разряды

Согласитесь, очень хорошо, когда все находится на своих местах: учебники на полке, кастрюли в шкафчике, зубная паста в ванной. У каждой цифры тоже есть свое место в числе. Сегодня мы рассмотрим тему классов и числовых разрядов.

Десятичная и позиционная система

Для записи чисел используется специальная система счисления, на сегодняшний момент самой распространенной является десятичная позиционная система. Эта система, в которой для записи чисел используют десять знаков – это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – цифры.

{"questions":[{"content":"Сколько существует цифр?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10$","Бесконечно много","$9$"],"explanations":["Цифр всего десять: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$","Важно не путать числа с цифрами. Чисел бесконечно много, цифр – 10.",""],"answer":[0]}}}]}

Десятичная система счисления имеет свои особенности и правила записи чисел. В такой системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в числе.

Разберем пример: число 999. Число состоит из трех одинаковых цифр, но позиция этих цифр отличается, по этому принципу меняется и разряд. Первая справа цифра – девять единиц, цифра посередине – девять десятков, а цифра слева – девять сотен. Значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления традиционно называют позиционной.

Например, в числе $555$ первая справа $5$ означает $5$ единиц, вторая $5$ означает $5$ десятков, а третья — $5$ сотен.

Важную роль имеет число $10$. $10$ единиц образует десяток, $10$ десятков образует сотню, $10$ сотен — тысячу.

• 1 — единица
• 10 — десять
• 100 — сто
• 1000 — тысяча
• 10 000 — десять тысяч
• 100 000 — сто тысяч
• 1 000 000 — миллион
• 10 000 000 — десять миллионов
• 100 000 000 — сто миллионов
• 1 000 000 000 — миллиард
• 10 000 000 000 — десять миллиардов и т.д.

{"questions":[{"instruction":"Заполните пропуск","content":"В десятичной системе счисления разные цифры в числе [[fill_choice_big-1]] поменять местами, сохранив значение.","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["нельзя","можно"],"answer":0}},"explanation":"В десятичной системе значение цифры зависит от ее позиции в числе. Если переставить цифры – получится другое число. Например, $54$ не равно $45$."}]}

Классы и разряды

Для того чтобы прочесть число, его разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называются классами. Первый класс справа называют классом единиц, второй — классом тысяч, третий — классом миллионов, четвертый — классом миллиардов и т. д.

{"questions":[{"instruction":"Заполните пропуск","content":"В каждом классе [[input-1]] цифры.","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["3","три"]}}}]}

В каждом классе три разряда — единицы, десятки и сотни.

Например, чтобы прочитать число $165378964535$, разобьем его справа налево на группы по три цифры. Вот так: 165 378 964 535. Теперь можно его прочесть:

165 миллиардов, 378 миллионов, 964 тысячи, 535

{"questions":[{"content":"Запишите цифрами число шестьсот пять миллионов пятьсот двадцать две тысячи восемьсот семьдесят девять.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["605 522 879","605522879"]}}}]}

Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых

Образавр покупал ткань для штор. Он попросил продавца отмерить ему $3$ метра ткани, но потом решил, что лучше, чтобы шторы были подлиннее, и попросил прибавить еще $50$ сантиметров. Потом он вспомнил, что нужно будет еще пару сантиметров на то, чтобы подшить шторы, и попросил продавца добавить еще $4$ сантиметра.

Если мы захотим узнать, сколько сантиметров ткани купил Образавр, то, так как в одном метре $100$ сантиметров, в виде примера это можно записать таким образом:

$$300 + 50 + 4 = 354$$

Получается, мы складываем $3$ сотни, $5$ десятков и $4$ единицы. Такие слагаемые называют разрядными.

Каждое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Например, число $673$ содержит $6$ сотен, $7$ десятков и $3$ единицы.

Значит, число $673$ можно представить в таком виде:

$$673 = 6 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3$$

что означает

$$673 = 600 + 70 + 3$$

Рассмотрим теперь пример, в котором на месте какого-нибудь разряда стоит $0$.

На примере числа 5019. В нем $9$ единиц, $1$ десяток, $0$ сотен, $5$ тысяч.

Получаем

$$5019 = 5 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 9 \cdot 1$$

что означает:

$$5019 = 5000 + 0 + 10 + 9$$

Если прибавить к числу нуль, то ничего не изменится, поэтому лучше записать сумму в следующем виде:

$$5019 = 5000 + 10 + 9$$

{"questions":[{"content":"Какая из записей будет верной записью числа 9201 в виде суммы разрядных слагаемых?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$200 + 9000 + 1$","$900 + 2000 + 10$","$9000 + 201$"],"explanations":["","","$201$ не является разрядным числом, так как содержит не только две сотни, но и одну единицу"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$9201 = 9 \\cdot 1000 + 2 \\cdot 100 + 0 \\cdot 10 + 1 \\cdot 1$","$9 \\cdot 1000 + 2 \\cdot 100 + 0 \\cdot 10 + 1 \\cdot 1 = 9000 + 200 +1$"]},{"content":"Соедините цифры и разряды, чтобы получить число 92738[[matcher-12]]","widgets":{"matcher-12":{"type":"matcher","labels":["$9$","$2$","$7$","$3$","$8$"],"items":["десятки тысяч","единицы тысяч","сотни","десятки","единицы"]}}},{"content":"Распределите, какие термины относятся к классам, а какие — к разрядам.[[grouper-58]]","widgets":{"grouper-58":{"type":"grouper","labels":["Классы","Разряды","Классы и разряды"],"items":[["тысячи","миллионы"],["десятки","сотни"],["единицы"]]}},"step":1,"hints":["Существуют класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и т.д. В каждом классе по три разряда.","Существуют разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен."]}]}