Тождественные преобразования. Упрощение выражений
В двух банках было одинаковое количество воды – один стакан. Потом в обе банки долили еще по два стакана воды. В результате в обеих емкостях осталось одинаковое количество воды. Равенство сохранилось.
В математике можно производить подобные действия над равенствами, и они называются тождественными преобразованиями.
Зачем?
С помощью таких преобразований можно упростить выражение, тем самым облегчить решение.
Пример тождественного преобразования
Докажем тожденство: $$0,5nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$
Сначала преобразуем десятичную дробь в левой части равенства, чтобы все дроби привести к одному виду: $$\frac {1}{2}nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$
Вынесем в обеих частях равенства за скобки общий множитель $nt$: $$(\frac {1}{2} + \frac {3}{4})nt = (\frac {3}{6} + \frac {9}{12})nt$$
Посчитаем действия в скобках, а также преобразуем дроби, приведя их к общему знаменателю, отдельно в правой и в левой части: $$(\frac {2+3}{4})nt = (\frac {6+9}{12})nt$$ $$(\frac {5}{4})nt = (\frac {15}{12})nt$$
Теперь осталось сократить дробь справа. Разделим для этого на $3$ и числитель, и знаменатель: $$\frac {5}{4}nt = \frac {5}{4}nt$$
Вывод
Таким образом, выполнив действия, которые не изменяли изначальное равенство (тождественные преобразования), мы получили одинаковые выражения слева и справа. Значит, равенство является тождеством.
Что называют тождественным преобразованием
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Часто слово «тождественное» пропускают и в задании просто просят преобразовать выражение.
Приведем еще примеры простых тождественных преобразований:
- $b + b$ преобразуем в $2b$
- $a+b$ преобразуем в $b+a$
- $y\times y\times y$ преобразуем в $y^3$
- $2m\times \frac{1}{2}m$ преобразуем в $m^2$
После каждого шага тождественного преобразования в записи между выражениями можно ставить знак $=$, например: $$(7-2)\times (4f-0,5)=5\times (4f-0,5)=20f-2,5$$
Каждое отдельно взятое выражение между знаками $=$ в записанной цепочке будет тождественно равно любому другому из нее.
Например, мы можем записать, что
$$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$
или
$$\textcolor{#00ad82}{5} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$
или
$$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}5\times (4f-0,5)$$
Часто задаваемые вопросы
Тождеством называется равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Преобразование выражения 2a+4b в 2(2b+a)
Значит выполнять тождественные преобразования, пока не останется выражение, которое нельзя больше преобразовать.
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Хотите оставить комментарий?
ВойтиЭлизабет Митчелл
Когнитивный лингвист и автор научно-популярного контента.