Тождественные преобразования. Упрощение выражений

В двух банках было одинаковое количество воды – один стакан. Потом в обе банки долили еще по два стакана воды. В результате в обеих емкостях осталось одинаковое количество воды. Равенство сохранилось.

В математике можно производить подобные действия над равенствами, и они называются тождественными преобразованиями.

Пример тождественного преобразования

Докажем тожденство: $$0,5nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$

Сначала преобразуем десятичную дробь в левой части равенства, чтобы все дроби привести к одному виду: $$\frac {1}{2}nt + \frac {3}{4}nt = \frac {3}{6}nt + \frac {9}{12}nt$$

Вынесем в обеих частях равенства за скобки общий множитель $nt$: $$(\frac {1}{2} + \frac {3}{4})nt = (\frac {3}{6} + \frac {9}{12})nt$$

Посчитаем действия в скобках, а также преобразуем дроби, приведя их к общему знаменателю, отдельно в правой и в левой части: $$(\frac {2+3}{4})nt = (\frac {6+9}{12})nt$$ $$(\frac {5}{4})nt = (\frac {15}{12})nt$$

Теперь осталось сократить дробь справа. Разделим для этого на $3$ и числитель, и знаменатель: $$\frac {5}{4}nt = \frac {5}{4}nt$$

Что называют тождественным преобразованием

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Часто слово «тождественное» пропускают и в задании просто просят преобразовать выражение.

Приведем еще примеры простых тождественных преобразований:

• $b + b$ преобразуем в $2b$
• $a+b$ преобразуем в $b+a$
• $y\times y\times y$ преобразуем в $y^3$
• $2m\times \frac{1}{2}m$ преобразуем в $m^2$   

После каждого шага тождественного преобразования в записи между выражениями можно ставить знак $=$, например: $$(7-2)\times (4f-0,5)=5\times (4f-0,5)=20f-2,5$$

Каждое отдельно взятое выражение между знаками $=$ в записанной цепочке будет тождественно равно любому другому из нее.

Например, мы можем записать, что

$$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$

или

$$\textcolor{#00ad82}{5} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}20f-2,5$$

или

$$\textcolor{#00ad82}{(7-2)} \times (4f-0,5)=\color{#C4A64D}5\times (4f-0,5)$$

Часто задаваемые вопросы