Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Числовые выражения

Содержание

    Вы приступаете к изучению нового предметаалгебры. Вольно выражаясь, это раздел математики, который является более продвинутой арифметикой.

    Если основой арифметики являются ранее изученные в программе математики числовые выражения, то в алгебре эта роль отводится алгебраическим выражениям.

    Определение числового выражения

    Рассмотрим следующую запись:

    $$(2\frac{1}{2}+3\frac{1}{3})\cdot{6}$$

    Она состоит из чисел и знаков арифметических действий — сложения и умножения. Также заметим, что подобного рода запись имеет значение: выполняя арифметические операции в необходимом порядке, мы можем найти число, тождественное записи.

    Дадим определение подобным записям:

    Числовые выражения — всякие записи, состоящие из чисел и знаков арифметических действий.

    ЧИСЛАЗНАКИ
    $\frac{5}{14}$
    $0,34$
    $231$ и т. п.
    $+$
    $-$
    $\cdot$
    $:$
    $=$
    Определение числового выражения согласно его элементам.

    🔎 Хотите посмотреть решение? Нахождение значения числового выражения — тут.

    Скрыть решение

    1. Найдем значение выражения в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю: $$2\frac{1}{2}+3\frac{1}{3}=\frac{5\textcolor{blue}{~^{\backslash3}}}{2}+\frac{10\textcolor{blue}{~^{\backslash2}}}{3}=\frac{15+20}{6}$$

    2. Остается умножить данное значение на $6$:

    $$\frac{15+20}{\cancel6}\cdot{\cancel6}$$

    Ответ: 35.

    Порядок выполнения действий в числовых выражениях

    Сначала в скобках посчитайте,
    Потом делите, умножайте,
    И только после плюс и минус —
    Вот так распутывают чисел паутину.

    Из младших классов вы определенно знакомы с порядком выполнения арифметических действий. Поскольку числовые выражения, как правило, содержат большое количество элементов, первый важный шаг в алгоритме решения — определить, в каком порядке будет выполняться вычисление.

    Порядок выполнения действий в числовых выражениях ничем не отличается от того, что вы освоили ранее в программе математики.

    Пример числового выражения. $(12\frac{2}{5}-6\frac{1}{5})\cdot7\frac{3}{4}$

    Решение

    Начнем с простого примера наподобие того, что разбирался ранее. Только на этот раз опишем порядок выполнения действий в числовых выражениях более подробно. Видим, что выражение содержит скобки, меняющие приоритет операций. Значит, в первую очередь выполняем вычитание:

    $$12\frac{2}{5}-6\frac{1}{5}=6\frac{1}{5}$$

    После выполняем операцию деления. Для этого нужно преобразовать смешанные дроби в неправильные и вспомнить следующее правило деления дробей:

    $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$

    Воспользуемся данным правилом:

    $$\frac{31}{5}:\frac{31}{4}=\frac{\cancel{31}}{5}\cdot\frac{4}{\cancel{31}}$$

    Откуда находим значение числового выражения — $\frac{4}{5}$.

    Нахождение значения числового выражения


    Решение числовых выражений может приводить к нахождению числа (значения), тождественного записи. Однако не всегда бывает так, что числовые выражения имеют значение.

    Значение числового выражения — число, получаемое в результате выполнения арифметических операций.

    Рассмотрим пример:

    Пример числового выражения. $\frac{3,5\cdot1,24}{10+1,6:(\frac{3}{5}\cdot0,4-0,4)}$

    Решение

    Найдем, чему равняется знаменатель дроби. В порядке приоритета операций в первую очередь считаем группу в скобках. Вынесем для удобства $0,4$ за скобки:

    $$10+1,6:(\textcolor{blue}{0,4\cdot(\frac{3}{5}-1}))$$

    Считаем:

    $$0,4\cdot{-\frac{2}{5}}=-\frac{4}{10}\cdot\frac{2}{5}=-\frac{8}{50}$$

    Далее выполняем операцию деления:

    $$1,6:(-\frac{8}{50})=-\frac{\cancel{\textcolor{coral}{16}}^{\textcolor{blue}{~~|2}}}{\cancel{10}}\cdot\frac{\textcolor{blue}{5}\cancel0}{\cancel{\textcolor{coral}{8}}}=-10$$

    Знаменатель дроби равен нулю:

    $$10-10=\textcolor{blue}{0}$$

    Деление на ноль в математике не имеет смысла, поскольку для $\frac{x}{0}$ при $x\neq0$ не существует ни одного числа, которое при умножении на $0$ дает $x$.

    ⚠️ Нахождение значения числового выражения невозможно. В таком случае говорят о том, что числовое выражение не имеет смысла.

    Решение числовых выражений: подведем итог

    Для того, чтобы успешно выполнять решение числовых выражений, нам по пути приходилось вспоминать различные алгебраические (!) факты:

    • вынесение общего множителя за скобки
    • деление на ноль;
    • понятия о смешенных и неправильных дробях;
    • как приводить дроби к общему знаменателю;
    • как их делить и т. п.

    Таким образом, можно подытожить, что работа с числовыми выражениями всегда включает в себя два умения.

    Эти же умения нам будут необходимы при решении алгебраических выражений далее.

    умение увидеть правильный порядок выполнения действий в числовых выражениях

    умение применять соответствующие операциям алгебраические факты

    Чем больше алгебраических фактов (правил, законов, свойств, формул и теорем) вы знаете, тем проще и быстрее выполняется нахождение значения числового выражения… при условии, что оно существует!    

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Следующий урок

    🤔 Почему при делении дробь переворачивается?
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ