Карточки
Тесты
Зави
Почему при делении дробь переворачивается?
Числовые выражения
Вы приступаете к изучению нового предмета — алгебры. Вольно выражаясь, это раздел математики, который является более продвинутой арифметикой.
Если основой арифметики являются ранее изученные в программе математики числовые выражения, то в алгебре эта роль отводится алгебраическим выражениям.
Определение числового выражения
Рассмотрим следующую запись:
$$(2\frac{1}{2}+3\frac{1}{3})\cdot{6}$$
Она состоит из чисел и знаков арифметических действий — сложения и умножения. Также заметим, что подобного рода запись имеет значение: выполняя арифметические операции в необходимом порядке, мы можем найти число, тождественное записи.
Дадим определение подобным записям:
Числовые выражения — всякие записи, состоящие из чисел и знаков арифметических действий.
| ЧИСЛА | ЗНАКИ |
|---|---|
| $\frac{5}{14}$ $0,34$ $231$ и т. п. | $+$ $-$ $\cdot$ $:$ |
Посмотреть решение
Скрыть решение
1. Найдем значение выражения в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю: $$2\frac{1}{2}+3\frac{1}{3}=\frac{5\textcolor{blue}{~^{\backslash3}}}{2}+\frac{10\textcolor{blue}{~^{\backslash2}}}{3}=\frac{15+20}{6}$$
2. Остается умножить данное значение на $6$:
$$\frac{15+20}{\cancel6}\cdot{\cancel6}$$
Ответ: 35.
Порядок выполнения действий в числовых выражениях
Сначала в скобках посчитайте,
Потом делите, умножайте,
И только после плюс и минус —
Вот так распутывают чисел паутину.
Из младших классов вы определенно знакомы с порядком выполнения арифметических действий. Поскольку числовые выражения, как правило, содержат большое количество элементов, первый важный шаг в алгоритме решения — определить, в каком порядке будет выполняться вычисление.
Порядок выполнения действий в числовых выражениях ничем не отличается от того, что вы освоили ранее в программе математики.
Пример числового выражения. $(12\frac{2}{5}-6\frac{1}{5}) : 7\frac{3}{4}$
Решение
Начнем с простого примера наподобие того, что разбирался ранее. Только на этот раз опишем порядок выполнения действий в числовых выражениях более подробно. Видим, что выражение содержит скобки, меняющие приоритет операций. Значит, в первую очередь выполняем вычитание:
$$12\frac{2}{5}-6\frac{1}{5}=6\frac{1}{5}$$
После выполняем операцию деления. Для этого нужно преобразовать смешанные дроби в неправильные и вспомнить следующее правило деления дробей:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Воспользуемся данным правилом:
$$\frac{31}{5}:\frac{31}{4}=\frac{\cancel{31}}{5}\cdot\frac{4}{\cancel{31}}$$
Откуда находим значение числового выражения — $\frac{4}{5}$.
Нахождение значения числового выражения
Решение числовых выражений может приводить к нахождению числа (значения), тождественного записи. Однако не всегда бывает так, что числовые выражения имеют значение.
Значение числового выражения — число, получаемое в результате выполнения арифметических операций.
Рассмотрим пример:
Пример числового выражения. $\frac{3,5\cdot1,24}{10+1,6:(\frac{3}{5}\cdot0,4-0,4)}$
Решение
Найдем, чему равняется знаменатель дроби. В порядке приоритета операций в первую очередь считаем группу в скобках. Вынесем для удобства $0,4$ за скобки:
$$10+1,6:(\textcolor{blue}{0,4\cdot(\frac{3}{5}-1}))$$
Считаем:
$$0,4\cdot{-\frac{2}{5}}=-\frac{4}{10}\cdot\frac{2}{5}=-\frac{8}{50}$$
Далее выполняем операцию деления:
$$1,6:(-\frac{8}{50})=-\frac{\cancel{\textcolor{coral}{16}}^{\textcolor{blue}{~~|2}}}{\cancel{10}}\cdot\frac{\textcolor{blue}{5}\cancel0}{\cancel{\textcolor{coral}{8}}}=-10$$
Знаменатель дроби равен нулю:
$$10-10=\textcolor{blue}{0}$$
Деление на ноль в математике не имеет смысла, поскольку для $\frac{x}{0}$ при $x\neq0$ не существует ни одного числа, которое при умножении на $0$ дает $x$.
Нахождение значения числового выражения невозможно. В таком случае говорят о том, что числовое выражение не имеет смысла.
Решение числовых выражений: подведем итог
Для того, чтобы успешно выполнять решение числовых выражений, нам по пути приходилось вспоминать различные алгебраические (!) факты:
- вынесение общего множителя за скобки;
- деление на ноль;
- понятия о смешанных и неправильных дробях;
- как приводить дроби к общему знаменателю;
- как их делить и т. п.
Таким образом, можно подытожить, что работа с числовыми выражениями всегда включает в себя два умения.
Эти же умения нам будут необходимы при решении алгебраических выражений далее.
умение увидеть правильный порядок выполнения действий в числовых выражениях
умение применять соответствующие операциям алгебраические факты
Чем больше алгебраических фактов (правил, законов, свойств, формул и теорем) вы знаете, тем проще и быстрее выполняется нахождение значения числового выражения… при условии, что оно существует!
Часто задаваемые вопросы
Числовое выражение состоит только из чисел, знаков действий и скобок; его значение можно вычислить. Буквенное выражение содержит буквы (переменные), и его значение зависит от того, какие числа подставить вместо букв.
Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, потом умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо.
При перестановке слагаемых сумма не меняется, при перестановке множителей произведение не меняется, при изменении группировки (перестановке скобок) сумма и произведение не меняются. Но при вычитании и делении перестановка и перенос скобок могут изменить значение выражения.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий