Линейная функция. Прямая пропорциональность

Из прошлого урока вы узнали многое о функциях. Основные понятия, которые нам будут нужны для изучения понятия «линейная функция»:

• функция – это зависимость между двумя величинами, при которой каждому значению независимой переменной $x$ соответствует одно единственное значение другой зависимой переменной $y$;
• зависимость может быть прямой и обратной;
• любая функция имеет область определения и область значений;
• графически функция может убывать и/или возрастать. Она может выглядеть как прямой, так и кривой линией.

О функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.

Линейная функция в реальной жизни

Если девочка откладывает каждый день по $50$ рублей, через $10$ дней в копилке будет уже на $500$ рублей больше: $50\times 10$.

Всего же в копилке через $10$ дней будет $1000$ рублей: $500$ рублей накоплено за эти $10$ дней и $500$ рублей в копилке уже было изначально.

Посмотрим, сколько же будет в копилке через $20$ дней:
${50\times 20} + 500 = 1500$ рублей.

Введем обозначения:

• за функцию (зависимую переменную) $y$ обозначим общее количество денег в копилке,
• за $x$ (независимую переменную) обозначим число дней, когда откладывались деньги.

Тогда наша функция (зависимость количества денег в копилке от количества прошедших дней) будет выглядеть так:
$y = {50\times x} + 500$. 

Посмотрим, как будет выглядеть график нашей функции. Для этого найдем несколько значений $y$ и заполним таблицу для $x$, например, равных $4$, $5$, $6$, $7$ (дней):

• $y_1 = {50\times 4} + 500 = 700$
• $y_2 = {50\times 5} + 500 = 750$
• $y_3 = {50\times 6} + 500 = 800$
• $y_4 = {50\times 7} + 500 = 850$.

По точкам с координатами $(4, 700)$; $(5, 750)$; $(6, 800)$ и $(7, 850)$ построим график:

Как видим, график функции $y = {50\times x} + 500$ выглядит как прямая линия.

Так, увеличение денег в копилке будет напрямую зависеть от количества дней, в которые она пополнялась на одну и ту же сумму.

При этом, зависимая переменная $y$ меняется на одну и ту же величину (в нашем случае ежедневное приращение суммы равно $50$ рублям).

{"questions":[{"content":"Летом отключили воду.<br />В ванну налили $20$ литров очень горячей воды из водонагревателя. Затем в нее стали добавлять холодную воду из крана. В течение каждой минуты в ванну добавляется еще $5$ литров воды. [[image-1]]<br />Как выразить зависимость количества воды в ванной от времени?[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/vanna-moetsya-v-vannoj-1.svg"},"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$y = {5\\times x} + 20$","$y = {5\\times x} + 5$","$y = {5\\times x} + 10$","$y = x + 25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"$y$ – количество воды в ванной, а $x$ – время в минутах, которое прошло с момента включения крана."}]}

Что такое линейная функция

Из примеров выше мы обнаружили, что зависимость, функцию которой можно найти с помощью формулы вида:

$y = kx + b$.

Данная функция называется линейной, ведь ее график выглядит как прямая линия. В данной формуле $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.

В наших случаях коэффициент $k$ был равен $50$ в примере с копилкой и $5$ в примере с ванной.

Коэффициент $b$ в описанных примерах был равен $500$ рублям, уже лежавшим в копилке, и $20$ литрам, налитым в ванну до включения крана.

Если функцию можно задать формулой вида $y = kx + b$, где  $k$ и $b$ – некоторые числа, а $x$ – независимая переменная, то ее называют линейной

Числовые коэффициенты $k$ и $b$ могут быть любыми числами: целыми, дробными и даже отрицательными.

{"questions":[{"content":"Линейная функция — это функция вида [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$y = kx + b$","$y = x + b$","$y = kx\\times b$","$y = kx^b$"],"answer":0}}}]}

Прямая пропорциональность и другие особые случаи

Вспомним, что такое прямая пропорциональность. Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными. Они имеют прямую зависимость.

Разберем некоторые частные случаи линейной функции:

• $y = -3\times x- b$, в данном случае оба числовых коэффициента имеют отрицательные значения;
• другой пример: $y = 2-x$, здесь коэффициент $k$ равен $-1$, а $b = 2$;
• $y = 5$, тут коэффициент $k$ равен $0$, а коэффициент $b=5$ (в подобных случаях функция совсем не зависит от значения аргумента $x$, а лишь от числовой величины коэффициента $b$);
• а в функции $y = 4\times x$ коэффициент $b$ уже равен $0$ (при этом $k$ не равен нулю), такой вид функции называется прямой пропорциональностью.

Вернемся снова к нашим примерам: если бы в копилке и в ванной изначально было пусто. Функция $y$ увеличивалась бы прямо пропорционально увеличению количества потраченного на наполнение копилки или ванны времени. Коэффициент $b$ в таких случаях равен нулю.

{"questions":[{"content":"Какая функция является линейной?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$y = kx + b$","$y = \\frac{k}{x} + b$","$y = k^x + b$","$y = bx^k$"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Часто задаваемые вопросы