0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Линейная функция. Прямая пропорциональность

Содержание

    Из прошлого урока вы узнали многое о функциях, но далеко не все. Вспомним основные знания, которые нам будут нужны для понимания линейной функции:

    • функция – это зависимость между двумя величинами, при которой каждому значению независимой переменной $x$ соответствует одно единственное значение другой зависимой переменной $y$;
    • зависимость может быть прямой и обратной
    • любая функция имеет область определения и область значений;
    • графически функция может убывать и/или возрастать, может выглядеть как прямой, так и кривой линией.

    Вот о функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.

    Примеры линейных функций

    Представим ситуацию: в копилке лежит $500$ рублей, мама дает дочке каждый день на обеды и другие мелкие расходы $100$ рублей, но она тратит только $50$, а $50$ рублей кладет в копилку. Таким образом, через $10$ дней в копилке девочки будет уже на $500$ рублей больше: $50\times 10$. Всего же в копилке через $10$ дней будет $1000$ рублей: $500$ рублей накоплено за эти $10$ дней и $500$ рублей уже было.

    Посмотрим, сколько же будет в копилке через $20$ дней: ${50\times 20} + 500 = 1500$ рублей.

    Возьмем за функцию (зависимую переменную $y$) общее количество денег в копилке. Число дней, когда откладывались деньги, обозначим за $x$ (независимая переменная). Тогда наша функция (зависимость количества денег в копилке от количества прошедших дней) будет выглядеть в виде формулы: $y = {50\times x} + 500$. 

    Посмотрим, как будет выглядеть график нашей функции. Для этого найдем несколько значений $y$ и заполним таблицу для $x$, например, равных $4$, $5$, $6$, $7$ (дней):

    Найдем $y_1 = {50\times 4} + 500 = 700$

    Тогда $y_2 = {50\times 5} + 500 = 750$

    $y_3 = {50\times 6} + 500 = 800$

    $y_4 = {50\times 7} + 500 = 850$

    $x$$4$$5$$6$$7$
    $y$$700$$750$$800$$850$

    По точкам с координатами $(4, 700)$; $(5, 750)$; $(6, 800)$ и $(7, 850)$ построим график:

    Как видим, график функции $y = {50\times x} + 500$ выглядит как прямая линия.

    Таким образом, увеличение денег в копилке будет напрямую зависеть от количества дней, в которые она пополнялась на одну и ту же сумму. При этом, зависимая переменная $y$ меняется на одну и ту же величину (в нашем случае ежедневное приращение суммы равно $50$ рублям). 

    Другой пример. Летом отключили горячую воду. Водонагреватель сломался, а помыться нужно. В ванну сначала налили два ведра кипятка, каждое по $10$ литров. Затем в нее пустили холодную воду из крана. В течение каждой минуты в ванну добавлялось еще 5 литров воды. Зависимость количества воды в ванной в нашем случае можно выразить с помощью формулы $y = {5\times x} + 20$, где $y$ – количество воды в ванной, а $x$ – время в минутах, которое прошло с момента включения крана.

    Что такое линейная функция

    Итак, зависимость, подобная нашим примерам выше, функцию которой можно найти с помощью формулы вида $y = kx + b$, и называется линейной.

    В данной формуле $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами. 

    В наших случаях коэффициент $k$ был равен $50$ в примере с копилкой и $5$ в примере с ванной. Коэффициент $b$ в описанных примерах был равен $500$ рублям, уже лежавшим в копилке, и $20$ литрам, налитым в ванну до включения крана.

    Запомним определение:

    Если функцию можно задать формулой вида $y = kx + b$, где  $k$ и $b$ некоторые числа, а $x$ независимая переменная, то ее называют линейной

    Числовые коэффициенты $k$ и $b$ могут быть любыми числами: дробными и даже отрицательными.

    Прямая пропорциональность и другие особые случаи

    Давайте посмотрим, какие функции также будут линейными:

    • $y = -3\times x- b$, в данном случае оба числовых коэффициента имеют отрицательные значения;
    • другой пример: $y = 2-x$, здесь коэффициент $k$ равен $-1$, а $b = 2$;
    • $y = 5$, тут коэффициент $k$ равен $0$, а коэффициент $b=5$ (в подобных случаях функция совсем не зависит от значения аргумента $x$, а лишь от числовой величины коэффициента $b$);
    • а в функции $y = 4\times x$ коэффициент $b$ уже равен $0$.

    Последний пример линейной функции (когда коэффициент $b$ равен $0$) – вариант прямой пропорциональности. Ранее вы уже изучали прямую зависимость. Такая зависимость – частный случай линейной функции, при котором формула будет выглядеть, как $y = kx$.

    Вспомнить, что такое прямая зависимость

    Вспомнил, спасибо!

    Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными, у них прямая зависимость.

    Прямая зависимость 7 класс
    Чем больше денег — тем больше можно купить мороженого

    Вернемся снова к нашим примерам: если бы в копилке и в ванной изначально было пусто, то функция $y$ увеличивалась бы прямо пропорционально увеличению количества потраченного на наполнение копилки или ванны времени. Коэффициент $b$ в таких случаях равен нулю.

    Обратите внимание, что в формуле прямо пропорциональной функции коэффициент $b = 0$, но коэффициент $k$ не равен нулю. 

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение