7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Что такое функция: аргумент, значение и способы задания

Содержание

В уроке «Чтение графиков реальных зависимостей» вы находили по графику, чему равна величина в нужный момент и где она растет. Теперь дадим таким зависимостям точное имя — функция. Разберем, какая зависимость называется функцией, что такое аргумент и значение, как функцию задают словами, формулой, таблицей и графиком и как по рисунку сразу понять, график ли это функции.

Каждому моменту — одно место на пути

Начнем с вопроса, к которому вернемся в конце урока. В подъезде на каждом этаже по 4 квартиры, номера идут подряд снизу вверх: на первом этаже квартиры с 1 по 4, на втором — с 5 по 8. По номеру квартиры этаж находится однозначно: квартира 15 — на четвертом этаже. А по номеру этажа квартиру не найти: на этаже их четыре. Какая из двух зависимостей — функция? И не мешает ли ей то, что на одном этаже четыре квартиры?

Теперь пример, на котором удобно все рассмотреть. Турист вышел из лагеря и каждый час записывал, сколько километров прошел. Время $x$ (в часах) и путь $y$ (в километрах) — две переменные.

Время $x$, ч	0	1	2	3	4	5
Путь $y$, км	0	4	8	12	12	15

Отметим каждую пару $(x;y)$ точкой на клетчатой карте: по горизонтали — время, по вертикали — путь. Если между отметками турист шел равномерно, точки соединяются в ломаную — это след туриста на карте. Поставим на карту вертикальную линейку и будем двигать ее слева направо. Где бы она ни стояла, она задевает след в одной точке: в каждый момент турист находится в одном месте пути.

След туриста: вертикальная линейка при x = 2 задевает ломаную в одной точке (2; 8) — Линейка при $x=2$ задевает след в одной точке $(2;8)$: в каждый момент путь один

Обратное неверно: путь 12 км был и в 3 ч, и в 4 ч — турист отдыхал на привале. Одно и то же значение $y$ при разных $x$ встречается, и это нормально. Важно другое: при каждом $x$ значение $y$ одно.

Определение

Функция (функциональная зависимость) — это зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

На карте это значит: вертикальная линейка задевает след не более чем в одной точке.

Почему требование такое строгое? Функция отвечает на вопрос «чему равно $y$ при данном $x$?», и ответ должен быть один. Будь при $x=2$ записано и 8 км, и 9 км, на вопрос «сколько турист прошел за 2 ч?» ответа бы не было.

Ошибка

Вообразавр говорит: «Рост ученика зависит от размера обуви — значит, рост есть функция размера обуви». Проверим на числах. У пяти учеников записали размер обуви $x$ и рост $y$ в сантиметрах: 36 — 152, 37 — 156, 38 — 160, 38 — 167, 40 — 171.

Размер 38 встречается дважды, и рост при нем разный: 160 см и 167 см. Одному $x$ отвечают два значения $y$, поэтому это не функция. Где сломалось рассуждение: слово «зависит» говорит лишь о том, что величины связаны. Функция требует большего — единственного $y$ при каждом $x$.

Две зависимости стрелками: путь туриста — функция, размер обуви и рост — не функция — Из каждого значения времени выходит одна стрелка, а из размера 38 — две: рост не функция размера обуви

Пример

Является ли $y$ функцией от $x$, если зависимость задана таблицей: $x$: $-1$, 0, 1, 2, 0; $y$: 3, 1, 3, 5, 1?

Решение. Ищем одинаковые значения $x$. Значение $x=0$ записано дважды, и оба раза $y=1$: это одна и та же пара $(0;1)$, записанная два раза. Значение $y=3$ встречается при $x=-1$ и при $x=1$ — одно $y$ при разных $x$ разрешено. Каждому $x$ отвечает одно $y$.

Ответ: да, это функция.

{"questions":[{"content":"Зависимость задана таблицей: $x$: 1, 2, 2, 3; $y$: 4, 5, 6, 7. Вообразавр рассуждает: «С ростом $x$ растет и $y$, значит, $y$ — функция от $x$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Вообразавр ошибся: в таблице функции $x$ не повторяются","Вообразавр прав: каждому $y$ отвечает только одно $x$","Вообразавр прав: $y$ растет вместе с $x$, это и есть функция","Вообразавр ошибся: при $x=2$ два значения $y$ — 5 и 6"],"explanations":["Повтор $x$ допустим, если $y$ тот же самый: это одна пара, записанная дважды. Здесь при $x=2$ разные $y$ — вот причина","Проверять нужно в другую сторону: каждому $x$ — одно $y$. При $x=2$ два значения $y$","Рост говорит лишь о связи величин. Функция требует единственного $y$ при каждом $x$, а при $x=2$ их два",""],"answer":[3]}},"hints":["Функция: каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.","Значение $x=2$ записано дважды: с $y=5$ и с $y=6$.","Одному $x$ отвечают два $y$, значит, это не функция. Рост $y$ ничего не доказывает."],"step":1},{"content":"Какая из зависимостей является функцией?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Имя человека → его возраст","Рост ученика → его имя","Число тетрадей по 30 руб. → стоимость покупки","Название города → номер дома"],"explanations":["У разных людей с одним именем возраст разный","Одному росту отвечает несколько учеников с разными именами","","В городе много домов: одному названию отвечает много номеров"],"answer":[2]}},"hints":["Функция: по значению $x$ однозначно находят $y$.","Стоимость покупки по количеству одинаковых тетрадей определена однозначно."],"step":1}],"mix":1}

Что подставляем и что получаем

У двух переменных функции разные роли. Значение $x$ мы выбираем сами: какой момент времени нас интересует. Значение $y$ получается из $x$. На карте так: мы ставим линейку на нужное $x$, а след сам показывает высоту $y$.

Определение

Независимую переменную $x$ называют аргументом, а зависимую переменную $y$ — значением функции.

Функцию обозначают буквой, например $f$, и пишут $y=f(x)$ — читается «игрек равно эф от икс». Запись $f(a)$ означает значение функции при $x=a$.

Для туриста $f(2)=8$: за 2 ч он прошел 8 км. Запись $f(2)$ — не произведение $f$ на 2, а ответ на вопрос «чему равно $y$ при $x=2$?».

Часто функцию задают формулой — правилом, по которому из аргумента вычисляют значение. Формулу удобно представлять как машину: на вход подаем $x$, машина выполняет действия по правилу, на выходе получаем $f(x)$.

Формула как машина: вход x = −5, правило «умножить на 2 и прибавить 7», выход −3, запись f(−5) = −3 — Вход $-5$, правило «умножить на 2 и прибавить 7», выход $-3$: $f(-5)=-3$

Пример

Функция задана формулой $f(x)=2x+7$. Найдите $f(3)$, $f(0)$ и $f(-5)$.

Решение. Вместо $x$ подставляем число. $f(3)=2\cdot3+7=6+7=13$. $f(0)=2\cdot0+7=7$. Отрицательный аргумент подставляем в скобках: $f(-5)=2\cdot(-5)+7=-10+7=-3$.

Ответ: $f(3)=13$, $f(0)=7$, $f(-5)=-3$.

Обратите внимание

Отрицательное число подставляйте вместе со скобками: $2\cdot(-5)$, а не $2-5$. Без скобок легко потерять умножение или знак.

Интересный факт: откуда запись f(x)

Скрыть

Слово «функция» в математике одним из первых стал употреблять Готфрид Вильгельм Лейбниц в конце XVII века. Запись $f(x)$ ввел Леонард Эйлер в 1730-х годах. Буква $f$ — первая буква латинского слова functio.

{"questions":[{"content":"В записи $f(6)=-1$ число $-1$ — это [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["значение функции при $x=6$","аргумент функции","значение аргумента при $y=6$","произведение $f$ и числа 6"],"answer":0}},"hints":["В скобках после $f$ пишут аргумент — то, что подставляют вместо $x$: здесь $x=6$.","После знака равенства стоит результат — значение функции при $x=6$.","Ответ: значение функции при $x=6$."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $f(x)=3-4x$. Найдите $f(-2)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Подставим $x=-2$ в скобках: $f(-2)=3-4\\cdot(-2)$.","$4\\cdot(-2)=-8$.","$3-(-8)=3+8=11$. Ответ: 11."],"step":1}],"mix":1}

Одну зависимость можно записать четырьмя способами

Вернемся к туристу. Первые 3 ч он шел ровно: каждый час проходил 4 км. Эту зависимость можно задать четырьмя способами — словами, формулой, таблицей и графиком. Закон при этом один и тот же.

Одна функция четырьмя способами: словами, формулой, таблицей и графиком — Словами, формулой, таблицей и графиком задана одна функция: путь туриста за первые 3 ч

Способ	Как выглядит	Чем удобен	Чего не хватает
Словесный	«каждый час турист проходит 4 км»	понятен смысл	для вычислений нужно перевести в действия
Формула	$y=4x$, где $0\le x\le3$	точное значение при любом $x$	не сразу видно, как меняется $y$
Таблица	$x$: 0, 1, 2, 3; $y$: 0, 4, 8, 12	готовые значения без вычислений	только для записанных $x$
График	отрезок от $(0;0)$ до $(3;12)$	видно, как быстро растет $y$	значения читаются приближенно

У формулы есть уточнение: время берется от 0 до 3 ч, то есть $x$ из промежутка $[0;3]$ — такие промежутки вы записывали в уроке «Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки». Дальше формула $y=4x$ туристу не подходит: начался привал.

Значение функции, заданной графиком, читают линейкой: ставим вертикальную линейку на нужное $x$ и смотрим, на какой высоте она задела график. При $x=2$ линейка задевает след туриста на высоте 8, поэтому $f(2)=8$. Тот же ответ дает формула: $4\cdot2=8$, и таблица.

С таблицей метафора линейки работает иначе, и это надо сказать прямо. Таблица — это отдельные точки на карте, а не линия. Линейка, поставленная между ними, например при $x=1{,}5$, ничего не задевает: про момент 1,5 ч таблица молчит. Чтобы узнать путь в этот момент, нужна формула ($4\cdot1{,}5=6$ км) или график.

Пример

Функция задана словами: «к числу прибавить 3, а сумму умножить на 2». Запишите формулу и заполните таблицу для $x=-2$, $x=0$ и $x=1$.

Решение. Сначала находим сумму $x+3$, потом умножаем ее на 2: $y=2(x+3)$. Скобки нужны: запись $2x+3$ означает другое правило — сначала умножение, потом сложение.

$x=-2$: $y=2\cdot(-2+3)=2\cdot1=2$. $x=0$: $y=2\cdot(0+3)=6$. $x=1$: $y=2\cdot(1+3)=8$.

Ответ: $y=2(x+3)$; таблица: $x$: $-2$, 0, 1; $y$: 2, 6, 8.

{"questions":[{"content":"Одну и ту же функцию можно задать словами, таблицей или формулой. Сопоставьте описания и формулы. Одна формула лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Значение в 3 раза больше аргумента","Значение на 3 больше аргумента","Таблица: $x$: 0, 1, 2; $y$: 3, 2, 1","Значение на 3 меньше утроенного аргумента"],"items":["$y=3x$","$y=x+3$","$y=3-x$","$y=3x-3$","$y=x-3$"]}},"hints":["Переведем слова в действия с $x$: «в 3 раза больше» — $3x$, «на 3 больше» — $x+3$, «на 3 меньше утроенного» — $3x-3$.","Таблицу проверим подстановкой: при $x=0$, 1, 2 формула $y=3-x$ дает 3, 2, 1 — как в таблице.","Ответ: «в 3 раза больше» — $y=3x$; «на 3 больше» — $y=x+3$; таблица — $y=3-x$; «на 3 меньше утроенного» — $y=3x-3$; формула $y=x-3$ лишняя."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На рисунке — график функции $y=f(x)$. Найдите $f(2)$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nksmpsvp6iui.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Находим на оси $Ox$ значение $x=2$ и поднимаемся к графику.","Точка графика имеет ординату 4.","$f(2)=4$."],"step":1}],"mix":1}

Как по рисунку узнать график функции

Если функция задана графиком, проверить определение помогает та же вертикальная линейка. У всех точек вертикальной прямой одна и та же абсцисса $x$. Если линейка задела линию в двух точках, у этих точек одно $x$ и разные $y$ — одному аргументу отвечают два значения.

Признак графика функции

Линия является графиком функции, если любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке. Если найдется вертикальная прямая, которая пересекает линию хотя бы в двух точках, эта линия — не график функции.

Вертикальная линейка и три линии: след туриста и чаша — функции, окружность — не функция — Линейка задевает след туриста и «чашу» по одному разу, а окружность — дважды: окружность не график функции

На рисунке три линии. След туриста линейка задевает в одной точке при любом положении. «Чаша» сначала опускается, потом поднимается, но и ее линейка задевает один раз — это график функции. Окружность линейка задевает дважды, сверху и снизу, — это не график функции.

«Не более чем в одной» означает: одна точка или ни одной. Если линейка не задевает линию, функция при этом $x$ просто не задана — например, след туриста не идет левее момента выхода. Таблицу размеров обуви тоже можно нанести на карту: точки $(38;160)$ и $(38;167)$ лежат на одной вертикали, и линейка при $x=38$ задевает обе. Это та же ошибка, что и в таблице, только на рисунке.

Пример

Ломаная $ABCD$ проходит через точки $A(0;0)$, $B(4;2)$, $C(2;4)$, $D(6;6)$. Является ли она графиком функции?

Решение. От $B$ к $C$ ломаная идет влево: абсцисса уменьшается с 4 до 2. Значит, над промежутком от $x=2$ до $x=4$ ломаная проходит несколько раз. Проверим линейкой при $x=3$: она пересекает звено $AB$ в точке $(3;1{,}5)$, звено $BC$ — в точке $(3;3)$, звено $CD$ — в точке $(3;4{,}5)$. При одном $x$ три значения $y$.

Ответ: нет, ломаная $ABCD$ — не график функции.

Исправьте ломаную $ABCD$: передвиньте $C$ так, чтобы линейка везде задевала ломаную один раз.

fn-linejka

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Может ли кривая на рисунке быть графиком функции $y$ от $x$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bsivrnsl7abc.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["да: кривая проходит через начало координат","да: кривая плавная","нет: график лежит правее оси $Oy$","нет: вертикаль при $x=2$ пересекает кривую дважды"],"explanations":["Начало координат не влияет: проверяем вертикали на двойные пересечения","Гладкость не важна: нужна единственность $y$ при каждом $x$","Расположение в четверти не нарушает определение функции",""],"answer":[3]}},"hints":["Проведем вертикальную линейку при $x=2$.","Она пересекает кривую в двух точках: $y=2$ и $y=-2$.","Одному $x$ отвечают два $y$ — это не функция."],"step":1},{"content":"Запись «A → B» означает: величина B находится по величине A. Распределите зависимости: какие из них — функции, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Функция","Не функция"],"items":[["Номер месяца 2025 года → число дней в этом месяце","Сторона квадрата → периметр квадрата","Масса яблок по 120 руб. за 1 кг → стоимость покупки"],["Число дней в месяце 2025 года → номер месяца","Периметр прямоугольника → площадь прямоугольника"]]}},"hints":["Для каждой зависимости спросим: можно ли по значению A найти B единственным образом?","Месяц 2025 года → число дней: в каждом месяце одно число дней. Сторона квадрата $a$ → периметр $4a$. Масса $m$ кг → стоимость $120m$ руб. Это функции.","Число дней → месяц: 30 дней в апреле, июне, сентябре и ноябре — несколько ответов. Периметр 12 см → площадь: у прямоугольника со сторонами 3 и 3 см — 9 кв. см, со сторонами 2 и 4 см — 8 кв. см. Это не функции."],"step":1}],"mix":1}

Одному значению может отвечать несколько аргументов

До сих пор мы шли от аргумента к значению. Бывает и обратный вопрос: при каком $x$ значение функции равно данному числу? Если функция задана формулой, это уравнение.

Пример

Функция задана формулой $f(x)=3x-4$. При каком $x$ значение функции равно 8?

Решение. Решим уравнение $3x-4=8$: $3x=12$, $x=4$. Проверка: $f(4)=3\cdot4-4=12-4=8$.

Ответ: при $x=4$.

Если функция задана графиком, линейку поворачиваем: проводим горизонтальную прямую на нужной высоте и смотрим, где она пересекает график. Абсциссы точек пересечения — искомые значения $x$.

Значение по графику f(−2)=4 и аргументы по значению y=2: три точки; y=5: ни одной — Вертикаль при $x=-2$ задевает график один раз: $f(-2)=4$. Горизонталь $y=2$ — трижды: при $x=-3$, $-1$ и $2$

На рисунке сначала прочитаем значение: вертикальная линейка при $x=-2$ задевает график на высоте 4, то есть $f(-2)=4$. Теперь обратный вопрос: при каких $x$ значение равно 2? Горизонталь на высоте 2 пересекает график в трех точках, поэтому $f(-3)=2$, $f(-1)=2$ и $f(2)=2$. Горизонталь на высоте 5 не задевает график вовсе: значения 5 у этой функции нет. А на следе туриста горизонталь на высоте 12 идет вдоль привала: путь 12 км был в каждый момент от 3 до 4 ч — таких $x$ бесконечно много.

Правило

Чтобы найти аргумент по значению $b$:

по формуле — решают уравнение $f(x)=b$;
по графику — проводят горизонтальную прямую $y=b$ и читают абсциссы всех точек пересечения.

Таких $x$ может быть несколько, один, ни одного или бесконечно много. Определению функции это не противоречит.

Ошибка

Вообразавр смотрит на рисунок и говорит: «Значению 2 отвечают три числа $x$ — значит, это не функция». Проверим по определению. При $x=-3$ вертикальная линейка задевает график один раз: $f(-3)=2$. При $x=-1$ — тоже один раз: $f(-1)=2$. Каждому $x$ отвечает одно $y$, значит, это функция.

Где сломалось рассуждение: Вообразавр проверял не в ту сторону. Определение требует единственного $y$ при каждом $x$, а одно и то же $y$ при разных $x$ разрешено — так было и с привалом туриста.

Теперь вернемся к подъезду из начала урока.

Номер квартиры	1, 2, 3, 4	5, 6, 7, 8	9, 10, 11, 12
Этаж	1	2	3

Зависимость «номер квартиры → этаж» — функция: каждая квартира находится на одном этаже. Четыре квартиры на одном этаже ей не мешают: это четыре аргумента с одним значением, как три точки на горизонтали $y=2$. А зависимость «этаж → номер квартиры» — не функция: этажу 2 отвечают четыре значения — 5, 6, 7 и 8. Однозначность нужна в одну сторону — от аргумента к значению.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Сколько значений $x$ из отрезка $[0;8]$ удовлетворяют условию $f(x)=3$? Используйте график. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mehn6w25m7qg.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Проведем горизонтальную линию на высоте 3.","Она пересекает график трижды: на подъеме от $x=0$ до $x=2$, на спуске до $x=5$ и на новом подъеме.","Три значения $x$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вообразавр: «Функция $y=x^2$ — не функция: значению $y=4$ отвечают два числа $x$: $2$ и $-2$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["не функция: в формуле есть степень","это функция: каждому $x$ отвечает одно $y$, одинаковые $y$ допустимы","не функция: одно $y$ не может отвечать двум $x$","функция только при $x>0$"],"explanations":["Вид формулы не важен: проверяем единственность $y$ при каждом $x$","","Определение требует единственности $y$ для $x$, а не наоборот","Условие $x>0$ не требуется: $y$ однозначно находится при любом $x$"],"answer":[1]}},"hints":["Функция требует: каждому $x$ — единственное $y$.","Для $y=x^2$ каждому $x$ отвечает одно $y$.","Разным $x$ может отвечать одно и то же $y$ — это допускается."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Функция задана формулой $f(x)=2x-1$. При каком значении $x$ значение функции равно 9? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Решим уравнение $2x-1=9$.","$2x=10$.","$x=5$. Ответ: 5."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Функция — зависимость, в которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение. На этом языке описывают путь от времени, стоимость от количества, температуру от часа суток. Главное легко вспомнить по карте со следом и вертикальной линейке.

В следующем уроке разберем, при каких $x$ функция задана и какие значения она принимает.

Часто задаваемые вопросы

Чем функция отличается от любой зависимости?

Любая функция — зависимость, но не любая зависимость — функция. Рост связан с размером обуви, но при одном размере бывает разный рост. Функцией зависимость становится, только если каждому $x$ отвечает единственное $y$.

Может ли функция принимать одно и то же значение при разных x?

Да. Путь туриста равен 12 км и в 3 ч, и в 4 ч, а этаж 2 отвечает четырем квартирам. Определение запрещает только одно: два разных $y$ при одном $x$.

Если вертикальная линейка не задевает график, это ошибка?

Нет. Это значит, что при таком $x$ функция не задана, например до выхода туриста из лагеря. Признак говорит «не более чем в одной точке», и ноль точек подходит.

Какой способ задания функции лучше?

Каждый удобен для своего: формула дает точное значение при любом $x$, таблица — готовые числа, график показывает, где значение растет и где не меняется. Часто по формуле составляют таблицу, а по таблице строят график.

Награды за урок