Функция. Аргумент. Прямая и обратная зависимость

Вокруг нас происходит множество событий или процессов, которые можно измерить. При этом величина одних зависит от величины каких-либо других.

Так, например, от того, сколько мы испишем страниц в тетради, зависит количество оставшихся в стержне чернил. Чем больше кружек наполнено компотом, тем меньше его останется в кастрюле. Чем больше мама оставит денег на обеды, тем больше можно на них купить мороженого. А чем сильнее велосипедист крутит педали, тем больше километров он проедет. Придумайте свои примеры?

В наших описанных выше примерах первые два имеют обратную зависимость, то есть при увеличении одной величины (количество страниц и кружек в наших случаях), уменьшается вторая (количество чернил и компота в кастрюле).

Примеры с велосипедистом и мороженым имеют прямую зависимость, то есть при увеличении одной величины (скорость движения педалями и количество оставленных мамой денег) увеличивается и другая (пройденное расстояние и количество мороженого).

Зависимость, которая показывает как одна величина связана с другой величиной, как раз и называется функцией. 

Аргумент и функция

Если одна величина меняется независимо от другой (например, оставленные мамой деньги, исписанные страницы), то она называется независимой или аргументом и обозначается обычно $x$

Если же величина зависит от другой, то ее называют зависимой переменной или функцией и обычно обозначают как $y$ или $f(x)$. То есть $y=f(x)$.

Зависимые и независимые переменные могут обозначаться и любыми другими буквами (латинскими или греческими).

Примеры аргумента и функции

• Чем старше дерево, тем оно выше. Возраст дерева — аргумент, рост — функция
• Чем дольше машина едет с одной скоростью, тем большее расстояние она проедет. Время — аргумент, скорость — неизменяемая величина, расстояние — функция
• Чем меньше цена мороженого, тем больше можно купить за 100 рублей. Цена мороженого — аргумент, количество мороженого — функция, 100 рублей — неизменяемая величина
• Чем меньше мы вычтем из числа, тем больше результат. Вычитатель — аргумент, результат — функция

Запись функции

Посмотрим как можно записать функциональную зависимость купленного мороженого от оставленных денег на обед. Допустим мороженое стоит $20$ рублей. Тогда:

• если мама оставит $20$ рублей, мы купим только одно мороженое;
• если $40$ рублей – два мороженых;
• если $100$ рублей – целых пять мороженых.

Таким образом, количество порций мороженого обозначим $у$, а количество оставленных денег $x$. Функция будет выглядеть следующим образом:

$$y = \frac {x}{20}$$

или

$$f(x) = \frac {x}{20}$$

Слово «функция» произошло от латинского слова functio – исполнение, осуществление. Это одно из главных понятий в математике, показывающее зависимость одних переменных величин от других. Понятие «величина» в данном случае может включать в себя совершенно любое число. 

Переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Важно: во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается однозначная зависимость величин, при которой каждому значению аргумента $х$ соответствует только одно единственное значение зависимой переменной $y$.