Функция. Аргумент. Прямая и обратная зависимость

Обновленный урок по теме: «Что такое функция: аргумент, значение и способы задания»

Вокруг нас происходит множество событий или процессов, которые можно измерить. При этом величина одних зависит от величины каких-либо других.

Так, например, от того, сколько мы испишем страниц в тетради, зависит количество оставшихся в стержне чернил. Чем больше кружек наполнено компотом, тем меньше его останется в кастрюле. Чем больше мама оставит денег на обеды, тем больше можно на них купить мороженого. А чем сильнее велосипедист крутит педали, тем больше километров он проедет. Придумайте свои примеры.

В первых двух примерах при увеличении одной величины (количество страниц и кружек) другая уменьшается (количество чернил и компота в кастрюле). Такую зависимость называют убывающей. Это не то же самое, что обратная пропорциональность: при обратной пропорциональности во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз уменьшается другая.

В примерах с велосипедистом и мороженым при увеличении одной величины (скорость вращения педалей, количество оставленных мамой денег) увеличивается и другая (пройденное расстояние, количество мороженого). Такую зависимость называют возрастающей. Ее частный случай — прямая пропорциональность: во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз увеличивается другая. Так связаны деньги и число порций мороженого по одной цене.

Функция — это зависимость одной величины от другой, при которой каждому значению первой величины соответствует единственное значение второй.

Аргумент и функция

Если одна величина меняется независимо от другой (например, оставленные мамой деньги, исписанные страницы), то она называется независимой или аргументом и обозначается обычно $x$.

Если же величина зависит от другой, то ее называют зависимой переменной или функцией и обычно обозначают как $y$ или $f(x)$. То есть $y=f(x)$.

Зависимые и независимые переменные могут обозначаться и любыми другими буквами (латинскими или греческими).

Примеры аргумента и функции

• Чем старше дерево, тем оно выше. Возраст дерева – аргумент, рост – функция
• Чем дольше машина едет с одной скоростью, тем большее расстояние она проедет. Время – аргумент, скорость – неизменяемая величина, расстояние – функция
• Чем меньше цена мороженого, тем больше можно купить за 100 рублей. Цена мороженого – аргумент, количество мороженого – функция, 100 рублей – неизменяемая величина
• Чем меньше мы вычтем из числа, тем больше результат. Вычитаемое – аргумент, результат – функция

Запись функции

Посмотрим, как можно записать функциональную зависимость купленного мороженого от оставленных денег на обед. Допустим, мороженое стоит $20$ рублей. Тогда:

• если мама оставит $20$ рублей, мы купим только одно мороженое;
• если $40$ рублей – два мороженых;
• если $100$ рублей – целых пять мороженых.

Таким образом, количество порций мороженого обозначим $y$, а количество оставленных денег $x$. Функция будет выглядеть следующим образом:

$$y = \frac {x}{20}$$

или

$$f(x) = \frac {x}{20}$$

Слово «функция» произошло от латинского слова functio – исполнение, осуществление. Это одно из главных понятий в математике, показывающее зависимость одних переменных величин от других. Понятие «величина» в данном случае может включать в себя совершенно любое число. 

Переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Важно: во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается однозначная зависимость величин, при которой каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно-единственное значение зависимой переменной $y$.