7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Область определения и область значений функции, свойства по графику

Содержание

Функция сопоставляет каждому значению $x$ одно значение $y$, поэтому вертикальная линейка, которая скользит по графику, задевает его не больше чем в одной точке — об этом урок «Функция: определение и способы задания». В этом уроке выясним, какие $x$ можно подставлять в функцию и какие $y$ при этом получаются, а затем научимся читать по графику нули, знаки, возрастание и убывание функции. Понадобятся числовые промежутки из урока «Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки».

Какие числа можно подставить в функцию

В уроке «Чтение графиков реальных зависимостей» вы сравнивали тарифы связи по графикам. Пусть минута разговора стоит 2 руб. Тогда разговор длиной $x$ минут стоит $y=2x$ рублей. Формула без возражений считает и при $x=-3$: $y=-6$. Но разговор не может длиться минус три минуты. Значит, у функции есть вопрос, который формула сама не задает: какие значения $x$ вообще имеют смысл?

Бывает и так, что формула посчитать не может. Возьмем $y=\dfrac{4}{x}$. При $x=2$ получаем $y=2$, при $x=-1$ получаем $y=-4$, а при $x=0$ пришлось бы делить на нуль. Поставим на график вертикальную линейку. Где бы она ни стояла, она задевает график — везде, кроме одного места: над $x=0$ линейка проходит мимо.

График y = 4/x и вертикальная линейка: при x = 2 она задевает график, при x = 0 проходит мимо — Над $x=0$ линейка не задевает график $y=\frac{4}{x}$: при $x=0$ функция не определена

Определение

Область определения функции — все значения $x$, при которых функция имеет смысл. Ее обозначают $D(f)$ или просто $D$. На графике это все положения вертикальной линейки, в которых она задевает график.

Правило

Как найти область определения по формуле:

Считаем, что подходят все числа.
Если $x$ стоит в знаменателе, исключаем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.
Если функция описывает реальную величину, оставляем только значения, которые имеют смысл: время не бывает отрицательным, число предметов — целое неотрицательное.

Почему так. Делить на нуль нельзя, поэтому при таком $x$ у функции нет значения, и на графике нет точки. А формула из жизни — только модель: она верна в тех пределах, в которых описывает ситуацию. Какая область определения у тарифа $y=2x$, выясним в конце урока.

Пример

Найдите область определения функции: а) $y=3x-5$; б) $y=\dfrac{12}{x-4}$; в) турист идет 5 часов со скоростью 4 км/ч, путь за $t$ часов равен $s=4t$ км.

а) Делить на выражение с $x$ не нужно, значение есть при любом $x$. $D$ — все числа, то есть $(-\infty;+\infty)$.

б) Знаменатель $x-4$ равен нулю при $x=4$. Проверка: $\frac{12}{4-4}=\frac{12}{0}$ — не имеет смысла. $D$ — все числа, кроме $4$.

в) Время отсчитывают от выхода, поэтому $t\ge0$; идет турист 5 часов, поэтому $t\le5$. $D=[0;5]$. Формула посчитала бы и $s=4 \cdot 7=28$ при $t=7$, но через 7 часов турист уже не идет.

{"questions":[{"content":"Тетрадь стоит 20 руб. Стоимость $y$ покупки $x$ тетрадей задана формулой $y=20x$. Какие значения $x$ имеют смысл?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["все положительные числа, в том числе дробные","целые неотрицательные числа","только числа от 1 до 20","все числа"],"explanations":["Тетради штучные, дробное количество не имеет смысла","","Ограничения в 20 тетрадей в условии нет","Нельзя купить $2{,}5$ тетради, а отрицательного количества не бывает"],"answer":[1]}},"hints":["Может ли количество тетрадей быть дробным? Отрицательным?","Количество тетрадей — 0, 1, 2 и так далее.","Ответ: целые неотрицательные числа."],"step":1},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Определена при всех x","Есть значения x, при которых не определена"],"items":[["$y=5x-2$","$y=\\frac{x}{7}$","$y=\\frac{x+3}{2}$"],["$y=\\frac{3}{x+1}$","$y=\\frac{x}{x-6}$","$y=\\frac{10}{x}$"]]}},"instruction":"Распределите формулы по группам","hints":["Исключать приходится только те $x$, при которых знаменатель, содержащий $x$, равен нулю.","В $y=\\frac{x}{7}$ и $y=\\frac{x+3}{2}$ делят на число 7 и 2 — это можно при любом $x$.","Ответ: при всех $x$ определены $y=5x-2$, $y=\\frac{x}{7}$, $y=\\frac{x+3}{2}$; есть исключенные значения у $y=\\frac{3}{x+1}$ ($x=-1$), $y=\\frac{x}{x-6}$ ($x=6$), $y=\\frac{10}{x}$ ($x=0$)."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=\\dfrac{6}{x-2}$. При каком значении $x$ функция не определена? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Делить на нуль нельзя.","Знаменатель равен нулю при $x-2=0$.","$x=2$. Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

Область определения — тень графика на горизонтальной оси

Теперь функция задана графиком. Поведем вертикальную линейку слева направо и будем отмечать на оси $Ox$ те места, где линейка задевает график. На рисунке линейка впервые задевает график при $x=-2$, а последний раз — при $x=6$. Между ними она задевает его везде.

Область определения D = [−2; 6]: проекция графика на ось Ox — Положения линейки, в которых она задевает график, заполняют отрезок $[-2;6]$ на оси $Ox$ — это область определения

Отмеченная часть оси похожа на тень графика, если светить на него сверху вниз. Ее называют проекцией графика на ось $Ox$. Значит, $D=[-2;6]$.

Важна каждая граница. Концы графика отмечают кружками, как точки на прямой в уроке «Координатная прямая, расстояние между точками и числовые промежутки»: закрашенный кружок — точка принадлежит графику, пустой — не принадлежит. У пустого кружка линейка подходит к графику вплотную, но не задевает его: точки там нет.

Область определения D = (−3; 4]: пустой кружок слева — граница не входит, закрашенный справа — входит — Левый конец — пустой кружок: $x=-3$ не входит в $D$. Правый конец закрашен: $x=4$ входит. $D=(-3;4]$

Правило

Как найти область определения по графику:

Найдите левый и правый концы графика — там линейка задевает график первый и последний раз.
Их абсциссы — границы $D$.
Закрашенный кружок — скобка квадратная, пустой — круглая.

Если между концами линейка где-то проходит мимо графика, как у $y=\frac{4}{x}$ при $x=0$, это значение $x$ исключают.

Пример

Найдите $D$ по графику с кружками.

Самая левая точка — $(-3;-2)$, кружок пустой: $x=-3$ не входит. Самая правая точка — $(4;-1)$, кружок закрашен: $x=4$ входит. Между ними линия идет без разрывов, линейка задевает ее везде.

Ответ: $D=(-3;4]$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]По графику найдите область определения функции.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-4;5]$","$[-2;3]$","$[-4;3]$","$(-4;5)$"],"explanations":["","Это границы по оси $Oy$ (область значений), а область определения читают по оси $Ox$","Правый конец графика лежит при $x=5$, а не 3","Концы отмечены точками графика, значит, они входят: скобки квадратные"],"answer":[0]}},"hints":["Область определения — все значения $x$, для которых есть точка графика.","График начинается при $x=-4$ и кончается при $x=5$.","$D=[-4;5]$."],"step":1},{"content":"График функции начинается в точке $(-5;2)$, отмеченной пустым кружком, и заканчивается в точке $(3;-1)$, отмеченной закрашенным кружком. Между ними линия идет без разрывов. Область определения функции: [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(-1;2]$","$[-5;3]$","$[-5;3)$","$(-5;3]$"],"answer":3}},"hints":["Пустой кружок — точка не принадлежит графику, закрашенный — принадлежит.","Абсциссы концов: $-5$ (не входит) и $3$ (входит).","Ответ: $(-5;3]$."],"step":1}],"mix":1}

Область значений — на каких высотах бывает график

У линейки есть деления. В каждом положении она задевает график на какой-то отметке — запишем все эти отметки. Для графика из прошлого раздела самая низкая отметка — $-1$ (при $x=0$), самая высокая — $3$ (при $x=4$). Линия идет без разрывов, поэтому встречаются и все высоты между ними.

Определение

Область значений функции — все значения $y$, которые принимает функция. Ее обозначают $E(f)$ или $E$. На графике это проекция графика на ось $Oy$: все высоты, на которых линейка задевает график.

Для нашего графика $E=[-1;3]$. Число $3$ — наибольшее значение функции, число $-1$ — наименьшее значение. Наибольшее значение — это высота $y=3$, а не место $x=4$, где оно достигается. У графика с пустым кружком высота $-2$ не достигается, и других точек на этой высоте нет, поэтому $E=(-2;2]$.

Ошибка

Вообразавр записал по графику: «$D=[-1;3]$ — от самой низкой точки до самой высокой».

Решавр проверяет: поставим линейку при $x=5$. Она задевает график в точке $(5;2)$, значит, при $x=5$ функция определена. Но число $5$ не входит в $[-1;3]$.

Где сломалось рассуждение: Вообразавр взял высоты точек, то есть значения $y$, и получил область значений. Область определения — это положения линейки, их читают по горизонтальной оси $Ox$: $D=[-2;6]$.

Ошибка: высоты E = [−1; 3] прочитаны как область определения; число 5 в ответ не попало, хотя точка (5; 2) есть — Положения линейки читают по оси $Ox$, высоты — по оси $Oy$. Ответ $D=[-1;3]$ не содержит $x=5$, хотя точка $(5;2)$ на графике есть

Обратите внимание

$D$ — где стоит линейка: значения $x$, ось $Ox$. $E$ — на какой высоте линейка задевает график: значения $y$, ось $Oy$. Проверка для $D$: возьмите любое число из ответа и поставьте туда линейку — она должна задеть график.

Область значений зависит от области определения. Если разрешить линейке ходить только внутри «окна» — части оси $Ox$, — останутся только те высоты, которые график принимает над окном. Например, для окна $[2;6]$ остаются высоты от $1$ до $3$: точки на высоте $-1$ в окно не попали. Сдвигайте границы окна в модели и следите, какие высоты остаются.

oblast-opredeleniya-de-okno

{"questions":[{"content":"[[image-1]]По тому же графику найдите область значений функции.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-4;5]$","$[-2;3]$","$[0;3]$","$(-2;3)$"],"explanations":["Это границы по оси $Ox$ (область определения), а область значений читают по оси $Oy$","","Нижняя точка графика лежит ниже оси $Ox$: $y=-2$","Крайние значения $-2$ и $3$ достигаются: скобки квадратные"],"answer":[1]}},"hints":["Область значений — все значения $y$, которые принимает функция.","Самая низкая точка графика: $y=-2$, самая высокая: $y=3$.","$E=[-2;3]$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Ученик записал по тому же графику: «$D=[-2;3]$ — это самая нижняя и самая верхняя точки». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["назвал область значений вместо области определения; верно $D=[-4;5]$","ошибка в скобках; верно $D=(-2;3)$","взял не тот правый конец; верно $D=[-4;3]$","ошибки нет: $D$ — от низшей до высшей точки"],"explanations":["","Дело не в скобках: ученик взял значения $y$, а не $x$","Правый конец графика лежит при $x=5$, а не $3$","Проекция на ось $Oy$ задает область значений, а $D$ читают по оси $Ox$"],"answer":[0]}},"hints":["Область определения — значения $x$, то есть проекция графика на ось $Ox$.","Ученик назвал проекцию на ось $Oy$ — область значений.","Верно: $D=[-4;5]$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-3]]Найдите наибольшее значение функции по графику. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Наибольшее значение — ордината самой высокой точки графика.","Это точка $(1;3)$. Ответ: 3."],"step":1}],"mix":1}

Где график на оси, выше и ниже нее

Нулевая отметка линейки лежит на оси $Ox$. Если линейка задевает график ровно на нулевой отметке, в этом месте график пересекает ось $Ox$. У нашего графика это происходит дважды: $f(-1)=0$ и $f(1)=0$.

Определение

Нули функции — значения $x$, при которых $y=0$. На графике это абсциссы точек, в которых график пересекает ось $Ox$.

Нули −1 и 1 делят график на части: выше оси y > 0, ниже оси y < 0 — Нули $x=-1$ и $x=1$ делят график на части: выше оси $y>0$, ниже оси $y<0$

Нули делят область определения на промежутки, где функция сохраняет знак. Левее $x=-1$ и правее $x=1$ линейка задевает график выше нулевой отметки: $y>0$ на $[-2;-1)$ и на $(1;6]$. Между нулями график ниже оси: $y<0$ на $(-1;1)$. Проверка числом: $f(0)=-1<0$.

Обратите внимание

Сами нули в эти промежутки не входят: в них $y=0$, а нуль не положителен и не отрицателен. Поэтому у нулей скобки круглые. А конец $x=-2$ входит: кружок там закрашен и $f(-2)=1>0$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Найдите наибольший нуль функции по графику (значение $x$, при котором $y=0$). [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Нули — абсциссы точек пересечения с осью $Ox$.","Это $x=-2$ и $x=3$.","Наибольший — 3."],"step":1},{"content":"[[image-2]]На каком промежутке значения функции положительны?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$(1;3)$","$[-2;3]$","$(-2;3)$","$(-4;-2)$"],"explanations":["Участок слева от $x=1$ тоже выше оси, его нельзя отбрасывать","В нулях $y=0$, а нужны строго положительные значения","","Здесь график ниже оси $Ox$: значения отрицательны"],"answer":[2]}},"hints":["$y>0$ — график лежит выше оси $Ox$.","Это между нулями $-2$ и $3$, сами нули не входят: $y=0$."],"step":1}],"mix":1}

Возрастание: правее — значит выше

В уроке «Чтение графиков реальных зависимостей» вы видели, как температура росла и падала в течение суток. Теперь опишем рост точно. Ведем линейку по графику слева направо. От $x=0$ до $x=4$ отметка, на которой линейка задевает график, все время поднимается: $f(0)=-1$, $f(1)=0$, $f(2)=1$, $f(4)=3$. Какие два значения $x$ на этом участке ни возьми, у большего $x$ значение функции больше.

Определение

Функция возрастает на промежутке, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)<f(x_2)$: большему $x$ соответствует большее $y$.

Функция убывает на промежутке, если из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)>f(x_2)$: большему $x$ соответствует меньшее $y$.

Промежутки монотонности: убывает на [−2; 0], возрастает на [0; 4], убывает на [4; 6] — Функция убывает на $[-2;0]$, возрастает на $[0;4]$ и снова убывает на $[4;6]$

Промежутки возрастания и убывания записывают по оси $Ox$: это значения $x$, как и $D$. Точку, где рост сменяется спадом, включают в оба соседних промежутка. Определение это разрешает: $f(4)=3$ больше всех значений функции и на $[0;4)$, и на $(4;6]$.

Ошибка

Вообразавр: «Функция возрастает на $[1;6]$: ведь $f(1)=0$, а $f(6)=1$ — справа значение больше».

Решавр берет две точки внутри промежутка: $x_1=4$ и $x_2=6$. Здесь $x_1<x_2$, но $f(4)=3>f(6)=1$ — большему $x$ соответствует меньшее $y$.

Где сломалось рассуждение: сравнение концов ничего не доказывает, определение требует проверить любые два $x$ промежутка. На $[1;6]$ функция сначала возрастает до $x=4$, а потом убывает.

Ошибка: на [1; 6] нельзя сравнивать только концы: x = 6 больше x = 4, а y = 1 меньше y = 3 — Концы $(1;0)$ и $(6;1)$ сравнивать мало: внутри, от $x=4$ до $x=6$, график идет вниз

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На каком промежутке функция возрастает?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-4;1]$","$[-4;5]$","$[-2;3]$","$[1;5]$"],"explanations":["","Функция возрастает не на всей области определения, после $x=1$ она убывает","Это промежуток значений $x$ между нулями, а не участок возрастания","На этом участке график идет вниз: функция убывает"],"answer":[0]}},"hints":["Функция возрастает там, где график идет вверх при движении слева направо.","Это участок от $x=-4$ до $x=1$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]На каком промежутке функция убывает?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$[3;5]$","$[-2;3]$","$[1;5]$","$[-4;1]$"],"explanations":["Убывание начинается раньше: уже от $x=1$ график идет вниз","Это промежуток положительных значений, а не участок убывания","","На этом участке график идет вверх: функция возрастает"],"answer":[2]}},"hints":["Убывание — график идет вниз при движении вправо.","После точки $(1;3)$ график идет вниз до конца: $[1;5]$."],"step":1},{"content":"[[image-3]]Вообразавр: «Функция возрастает на $[-4;3]$: $f(-4)=-2$, а $f(3)=0$ — справа значение больше». Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xudxh6orxpns.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["функция убывает на всем $[-4;3]$, ведь на нем есть спуск","возрастает на $[1;3]$, а на $[-4;1]$ убывает","Вообразавр прав: справа значение больше, значит возрастает","на $[1;3]$ функция убывает, поэтому возрастает только на $[-4;1]$"],"explanations":["На участке от $-4$ до $1$ график идет вверх","Все наоборот: после $x=1$ график идет вниз, функция убывает","Сравнивать нужно значения на каждом участке, а не только концы",""],"answer":[3]}},"hints":["Возрастание — на каждом участке большему $x$ отвечает большее $y$.","После $x=1$ график идет вниз.","Возрастает только на $[-4;1]$, на $[1;3]$ функция убывает."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Паспорт функции: все свойства по одному графику

Соберем все вопросы к графику в одну таблицу — «паспорт» функции. Для каждого свойства в ней записано, что делает линейка и по какой оси читать ответ. Последний столбец заполнен для нашего графика.

Свойство	Что делает линейка	Ось ответа	Наш график
Область определения $D$	задевает график	$Ox$	$[-2;6]$
Область значений $E$	на каких отметках задевает	$Oy$	$[-1;3]$
Нули	задевает на отметке $0$	$Ox$	$-1$ и $1$
$y>0$	задевает выше нуля	$Ox$	$[-2;-1)$ и $(1;6]$
$y<0$	задевает ниже нуля	$Ox$	$(-1;1)$
Возрастает	при сдвиге вправо отметка поднимается	$Ox$	$[0;4]$
Убывает	при сдвиге вправо отметка опускается	$Ox$	$[-2;0]$ и $[4;6]$

Паспорт функции: D, нули, знаки и монотонность читаются на оси Ox, только E — на оси Oy — Все ответы паспорта, кроме области значений, — промежутки и числа на оси $Ox$

Посмотрите на столбец «Ось ответа»: из семи свойств только одно — область значений — читают по оси $Oy$. Все остальные ответы — значения $x$. Это и есть защита от главной ошибки урока.

Пример

Составим паспорт графика с пустым кружком из второго раздела: вершины $(-3;-2)$ (кружок пустой), $(1;2)$, $(4;-1)$.

$D=(-3;4]$: левый конец не входит, правый входит.
$E=(-2;2]$: высота $-2$ не достигается, наибольшее значение $2$ — при $x=1$.
Нули: $x=-1$ и $x=3$.
$y>0$ на $(-1;3)$; $y<0$ на $(-3;-1)$ и на $(3;4]$.
Возрастает на $(-3;1]$, убывает на $[1;4]$.

Проверка: $f(0)=1>0$ — точка $(0;1)$ лежит выше оси, и $0$ входит в $(-1;3)$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]По графику функции соотнесите свойство и промежуток. Один промежуток лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ciz86imrjjch.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Область определения","Область значений","Промежуток возрастания","Промежуток убывания"],"items":["$[-1;5]$","$[-2;2]$","$[-1;1]$","$[1;5]$","$(0;3)$"]}},"instruction":"Соотнесите свойство и промежуток","hints":["Область определения читают по оси $Ox$, область значений — по оси $Oy$.","График идет от $x=-1$ до $x=5$; самая низкая точка — на высоте $-2$, самая высокая — на высоте $2$ при $x=1$.","Ответ: $D=[-1;5]$, $E=[-2;2]$, возрастает на $[-1;1]$, убывает на $[1;5]$; промежуток $(0;3)$ лишний — там $y>0$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Область определения отвечает на вопрос «какие $x$ можно подставить», область значений — «какие $y$ получатся». По формуле $D$ ищут так: исключают значения, при которых знаменатель равен нулю, и оставляют те, что имеют смысл в задаче. Для тарифа $y=2x$ это $D=[0;+\infty)$ и $E=[0;+\infty)$: разговор не длится минус три минуты, и чем он длиннее, тем больше его стоимость (функция возрастает).

По графику все свойства читает одна вертикальная линейка: где она задевает график — $D$, на каких отметках — $E$, на отметке $0$ — нули, выше или ниже нуля — знак, поднимается ли отметка при сдвиге вправо — возрастание. По оси $Oy$ читают только область значений. Эти умения нужны в заданиях ОГЭ на чтение графиков и в следующих уроках: у прямой пропорциональности и линейной функции свойства будем находить так же.

Часто задаваемые вопросы

Как не перепутать область определения и область значений?

$D$ — где стоит линейка: значения $x$, ось $Ox$. $E$ — на какой высоте она задевает график: значения $y$, ось $Oy$. Проверьте ответ для $D$: поставьте линейку в любую точку промежутка — она должна задеть график.

Почему точка, где рост сменяется спадом, входит в оба промежутка?

Определение при этом не нарушается. У нашего графика $f(4)=3$ больше всех значений и на $[0;4)$, и на $(4;6]$, поэтому пишут «возрастает на $[0;4]$, убывает на $[4;6]$». Так же с точкой $x=0$, где спад сменяется ростом: $f(0)=-1$ меньше всех соседних значений.

Что делать, если график уходит за край рисунка?

Если линия заканчивается стрелкой, она продолжается без конца, и в записи появляется бесконечность, как у лучей: например, $[0;+\infty)$. Так у графика $y=\lvert x \rvert$ из урока «Функция y = |x| и ее график»: $D=(-\infty;+\infty)$, $E=[0;+\infty)$, нуль функции $x=0$.

Бывает ли функция, которая не возрастает и не убывает?

Да, например $y=3$. Ее график — горизонтальная прямая: линейка в любом положении задевает его на отметке $3$. Область значений состоит из одного числа $3$, а ни возрастания, ни убывания нет.

Зачем искать область определения, если формула и так считает?

Формула может посчитать то, что не имеет смысла: $-6$ руб. за разговор длиной $-3$ минуты. А при делении на нуль она не посчитает вовсе. Область определения заранее показывает, где ответам функции можно доверять.

Награды за урок