7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Линейная функция y = kx + b и ее график

Содержание

В уроке «Прямая пропорциональность y = kx и ее график» график выходил из начала координат: при $x=0$ значение $y=0$. Теперь разрешим графику начинаться на любой высоте — так получится линейная функция $y=kx+b$. В этом уроке научимся узнавать ее по формуле, находить в формуле старт $b$ и ступеньку $k$, строить график по двум точкам и проверять его третьей точкой.

Старт и ступенька: откуда берется формула

В копилке уже лежит 200 руб. Каждый день в нее кладут еще 30 руб. Сколько денег будет в копилке через $x$ дней? Составим таблицу.

$x$, дни	0	1	2	3	…	10
$y$, руб.	200	230	260	290	…	500

Посмотрим на таблицу через вертикальную линейку из прошлых уроков. Линейка стоит в $x=0$ — след на высоте 200. Это старт: деньги, которые лежали в копилке до первого дня. Сдвигаем линейку на 1 вправо — след поднимается на 30. Это ступенька. На каждом следующем шаге — снова подъем на 30. Через $x$ дней к старту добавится $x$ ступенек по 30 руб.:

$$y=30x+200$$

На рисунке видны только первые 10 дней. А сколько денег будет через 30 дней, когда точка уйдет далеко за край листа? Ответим в конце урока. Для копилки смысл имеют только целые $x$ — дни; точки лежат на одной прямой, ее и проводим.

Определение

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y=kx+b$, где $x$ — аргумент, а $k$ и $b$ — некоторые числа.

$$y=kx+b$$

Число $b$ — старт: значение $y$ при $x=0$. Число $k$ — ступенька: на сколько меняется $y$, когда $x$ увеличивается на 1.

Название связано с графиком: дальше мы увидим, что график такой функции — прямая линия. Но узнают линейную функцию по формуле, а не по картинке. То, что график — прямая, мы объясним в разделе о построении.

{"questions":[{"content":"В копилке 300 руб., и каждый день добавляют по 40 руб. Какая формула задает сумму $y$ (руб.) через $x$ дней?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=40x+300$","$y=340x$","$y=300x+40$","$y=40x-300$"],"explanations":["","Начальные 300 руб. нельзя прибавлять к 40 и умножать на $x$","Коэффициенты перепутаны: 300 — начало, а не ежедневная прибавка","Начальная сумма прибавляется, а не вычитается"],"answer":[0]}},"hints":["Начальная сумма — 300 руб.: это $b$.","За каждый день прибавляется 40 руб.: $k=40$.","$y=40x+300$."],"step":1}],"mix":1}

Какие формулы задают линейную функцию

Формула не всегда записана готовым видом $kx+b$. Ее нужно уметь к нему привести — или убедиться, что это невозможно. Разберем четыре формулы.

$y=3-2x$ — это $y=-2x+3$: слагаемые поменяли местами. Здесь $k=-2$, $b=3$. Функция линейная.
$y=\frac{x}{5}$ — это $y=\frac{1}{5}x$: разделить на 5 — то же, что умножить на $\frac{1}{5}$. Здесь $k=\frac{1}{5}$, $b=0$. Функция линейная.
$y=\frac{5}{x}$ — здесь делят на $x$. При $x=1;\,2;\,3$ значения равны 5; 2,5; $\frac{5}{3}$: на первом шаге $y$ уменьшается на 2,5, на втором — меньше чем на 1. Ступеньки разные, функция не линейная.
$y=x^2$ — $x$ умножают сам на себя. При $x=0;\,1;\,2;\,3$ значения 0, 1, 4, 9: ступеньки 1, 3, 5. Функция не линейная.

Линейные: y = 3 − 2x, y = x/5, y = 7; не линейные: y = x², y = 5/x — Линейная функция: x умножают на число и прибавляют число; деление на x и квадрат x дают другие функции

Есть два частных случая. При $b=0$ получается $y=kx$ — прямая пропорциональность из урока «Прямая пропорциональность y = kx и ее график»: ее график стартует в начале координат. При $k=0$ получается $y=b$, например $y=7$. Ступенька нулевая: где бы ни стояла линейка, она задевает след на одной и той же высоте 7. График — горизонтальная прямая через точку $(0;7)$. Это тоже линейная функция: $y=0\cdot x+7$.

Важно

Смотрите на вид формулы, а не на то, есть ли в ней $x$. В $y=\frac{5}{x}$ икс есть, но функция не линейная. В $y=7$ икса не видно, но функция линейная.

{"questions":[{"content":"Распределите формулы: какие задают линейную функцию, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Линейная функция","Не линейная функция"],"items":[["$y=8-x$","$y=0{,}2x-5$","$y=\\frac{x+1}{2}$","$y=-4$"],["$y=\\frac{2}{x}$","$y=x^2-1$","$y=x(x+3)$"]]}},"instruction":"Распределите формулы по группам","hints":["Линейная функция — это $y=kx+b$: $x$ умножают на число и прибавляют число. Скобки и дроби с числом в знаменателе сначала раскройте.","$y=8-x$ — это $y=-x+8$; $y=\\frac{x+1}{2}$ — это $y=0{,}5x+0{,}5$; $y=-4$ — это $y=0\\cdot x-4$. В $y=\\frac{2}{x}$ делят на $x$, в $y=x^2-1$ — квадрат, а $y=x(x+3)=x^2+3x$.","Ответ: линейные — $y=8-x$, $y=0{,}2x-5$, $y=\\frac{x+1}{2}$, $y=-4$; не линейные — $y=\\frac{2}{x}$, $y=x^2-1$, $y=x(x+3)$."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=5$. Является ли она линейной и каков ее график?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Линейная; график — горизонтальная прямая через $(0;5)$","Не функция: при всех $x$ значение одно и то же","Не линейная: в формуле нет переменной $x$","Линейная; график — вертикальная прямая через $(5;0)$"],"explanations":["","Каждому $x$ отвечает одно значение $y=5$: это функция","Формула вида $kx+b$ допускает $k=0$: $y=0\\cdot x+5$","Вертикальная прямая не задает функцию: линейка в $x=5$ задевала бы ее во всех точках"],"answer":[0]}},"hints":["$y=5$ можно записать как $y=0\\cdot x+5$: $k=0$, $b=5$.","При любом $x$ значение 5: график — горизонтальная прямая через $(0;5)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Где в таблице и на графике видны старт и ступенька

Почему $b$ — значение при $x=0$? Подставим нуль: $y=k\cdot0+b=b$. Значит, график проходит через точку $(0;b)$, и она лежит на оси $Oy$. Линейка, поставленная в $x=0$, совпадает с осью $Oy$ и задевает график на высоте $b$.

Почему $k$ — ступенька? Сравним значения функции в соседних точках $x$ и $x+1$:

$$k(x+1)+b-(kx+b)=kx+k+b-kx-b=k$$

Где бы ни стояла линейка, сдвиг на 1 вправо меняет высоту следа ровно на $k$. При $k>0$ ступенька идет вверх, при $k<0$ — вниз.

Прямая y = −2x + 4: старт b = 4 на оси Oy, каждый шаг вправо — спуск на 2; таблица значений рядом — y = −2x + 4: старт 4 на оси Oy, каждый шаг вправо — спуск на 2, значит, k = −2

На рисунке — функция $y=-2x+4$ и ее таблица. В таблице $x$ растет на 1, и каждый раз $y$ уменьшается на 2: $4,\ 2,\ 0,\ -2$. Как читать ступеньку прямо по клеткам графика, подробно разобрано в уроке «Смысл коэффициента k: ступенька прямой».

Пример 1

Линейная функция задана таблицей: $x$: 0, 2, 4, 6; $y$: 1, 7, 13, 19. Найдите $k$ и $b$ и запишите формулу.

Решение. При $x=0$ значение 1, значит, $b=1$. Здесь $x$ растет не на 1, а на 2, а $y$ — на 6: $7-1=6$. За два шага по 1 подъем равен 6, значит, одна ступенька $k=6:2=3$. Формула: $y=3x+1$.

Проверка. При $x=6$: $y=3\cdot6+1=19$ — совпадает с таблицей.

Ответ: $k=3$, $b=1$, $y=3x+1$.

Обратите внимание

В записи $y=3-2x$ первым стоит число 3, но это $b$, а не $k$. Ступенька — это множитель при $x$ вместе со знаком: $k=-2$. Чтобы не перепутать, подставьте $x=0$: получится старт $b=3$.

{"questions":[{"content":"Функция задана формулой $y=-2x+7$. Найдите ее значение при $x=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Значение при $x=0$ — это $b$: слагаемое с $x$ обращается в нуль.","$y=-2\\cdot0+7=7$. Ответ: 7."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=6-4x$. Когда $x$ увеличивается на 1, значение $y$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["увеличивается на 4","уменьшается на 6","увеличивается на 2","уменьшается на 4"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Запишем в виде $kx+b$: $y=-4x+6$, значит, $k=-4$.","Ступенька $k=-4$: шаг вправо на 1 — спуск на 4. Проверка: $y(0)=6$, $y(1)=2$.","Ответ: уменьшается на 4."],"step":1},{"content":"Прямая проходит через точки $(0;-1)$ и $(2;3)$. Найдите $k$ в формуле $y=kx+b$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["При шаге $x$ на 2 значение $y$ растет с $-1$ до 3: на 4.","$k=4:2=2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Двух точек достаточно, чтобы построить график

Почему график линейной функции — прямая? На каждом шаге вправо на 1 высота меняется на одно и то же число $k$. Все ступеньки одинаковые, поэтому точки графика лежат на одной прямой — так же, как в уроке «Прямая пропорциональность y = kx и ее график», только прямая проходит через точку $(0;b)$, а не через начало координат. Через две точки проходит ровно одна прямая — это свойство прямой из геометрии. Значит, для построения достаточно двух точек.

Алгоритм

Выберите два удобных значения $x$ — такие, при которых $y$ легко посчитать и получается целым. Часто подходят $x=0$ и $x=1$.
Подставьте их в формулу и найдите $y$.
Отметьте точки $(x;y)$: первое число — сдвиг по оси $Ox$ вправо или влево, второе — по оси $Oy$ вверх или вниз.
Проведите прямую через две точки.
Найдите третью точку и проверьте, что она легла на прямую.

Построение прямой по двум точкам: таблица, точки, прямая, проверка третьей точкой — y = 0,5x − 2 в четыре шага: удобные x и таблица, две точки, прямая, проверка точкой (4; 0)

Пример 2

Постройте график функции $y=0{,}5x-2$.

Решение. При $x=1$ получилось бы $y=-1{,}5$ — такую точку трудно отметить по клеткам. Возьмем $x=0$ и $x=2$: $y=0{,}5\cdot0-2=-2$ и $y=0{,}5\cdot2-2=-1$. Отмечаем точки $(0;-2)$ и $(2;-1)$ и проводим через них прямую.

Проверка. При $x=4$: $y=0{,}5\cdot4-2=0$. Точка $(4;0)$ лежит на прямой: от точки $(2;-1)$ это еще 2 клетки вправо и 1 вверх.

Ответ: прямая через точки $(0;-2)$ и $(2;-1)$.

Потренироваться строить графики по точкам можно и в уроке «Построение графика».

{"questions":[{"content":"Чтобы построить график функции $y=2x+1$, выбрали два значения $x$. Какая пара точек верна?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(1;0)$ и $(3;1)$","$(0;2)$ и $(1;1)$","$(0;1)$ и $(1;2)$","$(0;1)$ и $(1;3)$"],"explanations":["Координаты в точках перепутаны: сначала $x$, потом $y$","Значения $y$ посчитаны неверно: при $x=0$ получается $1$","При $x=1$ значение $y=2\\cdot1+1=3$, а не 2",""],"answer":[3]}},"hints":["Удобны $x=0$ и $x=1$.","$y(0)=1$, $y(1)=3$.","Точки $(0;1)$ и $(1;3)$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги построения графика функции $y=4x-2$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выбрать два значения аргумента: $x=0$ и $x=1$","Подставить эти $x$ в формулу и найти $y$: получится $-2$ и $2$","Так как пара — это $(x;y)$, отметить точки $(0;-2)$ и $(1;2)$: сначала $x$, потом $y$","Поскольку две точки задают прямую, провести ее через отмеченные точки","Подставить $x=2$ и проверить, что точка $(2;6)$ лежит на проведенной прямой"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала выбирают значения $x$, затем по ним считают $y$ — без $x$ считать нечего.","Точки отмечают по найденным парам, прямую проводят через отмеченные точки, а третью точку проверяют на уже проведенной прямой.","Ответ: выбрать $x$ → найти $y$ → отметить точки → провести прямую → проверить третьей точкой."],"step":1}],"mix":1}

Третья точка ловит ошибку

Зачем третья точка, если хватает двух? Через любые две точки прямую провести можно — даже если одна из них отмечена неверно. Сама прямая ошибку не покажет. А третья точка, посчитанная заново по формуле, на неверную прямую не ляжет.

Ошибка

Вообразавр строит график $y=x+3$. Посчитал он верно: при $x=0$ значение 3, при $x=2$ значение 5. Первую точку $(0;3)$ отметил правильно. А вторую отложил так: 5 клеток вправо и 2 вверх — получилась точка $(5;2)$ вместо $(2;5)$. Через $(0;3)$ и $(5;2)$ прямая проходит, и выглядит она обычно.

Проверка. Третья точка: при $x=1$ значение $y=1+3=4$, точка $(1;4)$. На прямой Вообразавра при $x=1$ высота меньше 3 (там 2,8), поэтому точка $(1;4)$ не легла. Проверим и подозрительную точку подстановкой: при $x=5$ получается $y=5+3=8$, а не 2. Точка $(5;2)$ графику не принадлежит.

Где сломалось рассуждение. В паре $(x;y)$ первое число — абсцисса: его откладывают по оси $Ox$. Найденное значение $y=5$ — высота, его откладывают по оси $Oy$, а не вправо.

Переставленные координаты: (5;2) вместо (2;5) дают другую прямую; точка (1;4) на нее не ложится — Точка (5; 2) вместо (2; 5) дает другую прямую: проверочная точка (1; 4) на нее не ложится

Третья точка не ляжет и тогда, когда одна из двух первых посчитана с ошибкой — например, потерян знак. Признак тот же. В этом случае подставьте в формулу все три точки и найдите ту, что ей не удовлетворяет. Третью точку удобно брать в стороне от первых двух: там расхождение больше и его легче заметить.

Проверьте себя в модели: проведите прямую через две точки графика и посмотрите, ляжет ли третья. Координаты точек подписаны в задании, сетки в модели нет. Нужна только «Линейка». Во втором задании разберите ошибку Вообразавра.

lf-tri-tochki

{"questions":[{"content":"Для функции $y=x-4$ при $x=5$ получили $y=1$. Вообразавр отметил точку: 1 клетка вправо, 5 вверх. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо отметить $(5;-1)$: 5 вправо, 1 вниз","Надо отметить $(1;5)$: 1 вправо, 5 вверх","Надо отметить $(1;1)$: 1 вправо, 1 вверх","Надо отметить $(5;1)$: 5 вправо, 1 вверх"],"explanations":["Значение $y=5-4=1$ положительно: от оси $Ox$ идем вверх","Это и есть точка Вообразавра. Подстановка $x=1$ дает $y=-3$, поэтому $(1;5)$ не лежит на графике","Абсцисса точки — значение $x=5$, а не 1",""],"answer":[3]}},"hints":["Точка графика — пара $(x;y)=(5;1)$.","Первое число — по оси $Ox$: 5 вправо, затем 1 вверх.","Вообразавр отметил точку $(1;5)$, которая на графике не лежит."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямая проходит через точки $(0;1)$ и $(2;5)$. Лежит ли на ней точка $(4;9)$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Не лежит: при $x=4$ получается $y=5$","Лежит: при $x=4$ получается $y=9$","Не определить: без чертежа не проверить","Не лежит: у прямой только эти две точки"],"explanations":["Значение 5 соответствует $x=2$, а не $x=4$","","Формула прямой по двум точкам позволяет проверить точку подстановкой","Прямая содержит бесконечно много точек"],"answer":[1]}},"hints":["Формула: $b=1$, $k=\\frac{5-1}{2}=2$, $y=2x+1$.","При $x=4$: $y=9$ — совпадает с ординатой точки."],"step":1}],"mix":1}

Лежит ли точка на графике: решает подстановка

Иногда точку не нужно отмечать — достаточно узнать, лежит ли она на графике. Для этого чертеж не нужен: точка лежит на графике, если ее координаты удовлетворяют формуле.

Правило

Точка лежит на графике функции $y=kx+b$, если при подстановке ее абсциссы вместо $x$ получается ее ордината. Для точки $(x_0;y_0)$:

$$y_0=kx_0+b$$

Пример 3

Какие из точек $A(2;-3)$, $B(-1;3)$, $D(-2;-3)$ лежат на графике функции $y=-2x+1$?

Решение. Для $A$: $y=-2\cdot2+1=-3$ — совпадает с ординатой, точка лежит на графике. Для $B$: $y=-2\cdot(-1)+1=2+1=3$ — лежит. Для $D$: $y=-2\cdot(-2)+1=4+1=5$, а ордината точки $-3$ — не лежит. Частая ошибка здесь — потерять знак: $-2\cdot(-2)=4$, а не $-4$.

Ответ: $A$ и $B$ лежат на графике, $D$ — нет.

Точка D(−2;−3) не лежит на прямой y = −2x + 1: при x = −2 прямая проходит через 5, а не −3 — A и B лежат на прямой y = −2x + 1, а D — нет: при x = −2 значение 5, а не −3

Теперь вернемся к копилке. Через 30 дней в ней будет $y=30\cdot30+200=1100$ руб. Точка $(30;1100)$ лежит на графике, хотя на рисунке ее нет: прямая продолжается за край листа, а формула продолжает таблицу на любое число дней. Можно ответить и на обратный вопрос: когда в копилке будет 800 руб.? Решим уравнение $30x+200=800$: $30x=600$, $x=20$. Проверка: $30\cdot20+200=800$, точка $(20;800)$ лежит на графике.

{"questions":[{"content":"Какая из точек лежит на графике функции $y=2x-3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(0;3)$","$(2;1)$","$(1;2)$","$(3;9)$"],"explanations":["При $x=0$ значение $-3$, а не 3","","Порядок перепутан: при $x=1$ получается $y=-1$","При $x=3$ получается $y=3$, а не 9"],"answer":[1]}},"hints":["Подставим $x=2$: $y=2\\cdot2-3=1$.","Точка $(2;1)$ удовлетворяет формуле."],"step":1},{"content":"Распределите точки: какие лежат на графике функции $y=4-3x$, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Лежит на графике","Не лежит на графике"],"items":[["$(0;4)$","$(2;-2)$","$(-1;7)$"],["$(4;0)$","$(-2;-2)$","$(1;7)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по группам","hints":["Точка лежит на графике, если при подстановке ее первого числа вместо $x$ получается ее второе число.","$y(0)=4$, $y(2)=4-6=-2$, $y(-1)=4+3=7$ — подходят. $y(4)=-8\\ne0$: в $(4;0)$ числа переставлены; $y(-2)=4+6=10\\ne-2$; $y(1)=4-3=1\\ne7$.","Ответ: лежат $(0;4)$, $(2;-2)$, $(-1;7)$; не лежат $(4;0)$, $(-2;-2)$, $(1;7)$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Линейная функция описывает величины, которые начинаются с некоторого значения и меняются равными шагами: сумму в копилке, оплату с начальным взносом, уровень воды в баке, который наполняют равномерно. Ее формула $y=kx+b$, а график — прямая. Как вспомнить главное через вертикальную линейку:

Дальше, в уроке «Смысл коэффициента k: ступенька прямой», научимся читать $k$ по клеткам графика и разберем, как от него зависит наклон прямой. А в уроке «Графическое решение уравнений» точки пересечения графиков помогут решать уравнения.

Часто задаваемые вопросы

Почему функция называется линейной?

Потому что ее график — прямая линия. Но определяют линейную функцию по формуле $y=kx+b$, а то, что график — прямая, следует из одинаковых ступенек. Обратное верно не всегда: вертикальная прямая — не график функции, линейка задевала бы ее во всех точках.

Чем линейная функция отличается от прямой пропорциональности?

Прямая пропорциональность $y=kx$, $k\ne0$, — частный случай линейной функции при $b=0$. У нее постоянно частное $y:x$, как в уроке «Прямая и обратная пропорциональность», а график проходит через начало координат. У линейной функции с $b\ne0$ частное меняется, а постоянна ступенька — разность соседних значений.

Можно ли построить график по одной точке?

Для $y=kx+b$ нет: через одну точку проходит бесконечно много прямых. Для $y=kx$ одной точки хватало, потому что вторая — начало координат — известна заранее. У линейной функции такой готовой точкой служит $(0;b)$, а вторую нужно посчитать.

Является ли функция y = |x| линейной?

Нет. В уроке «Функция y = |x| и ее график» ее график — два луча с общим началом в точке $O$. Справа от нуля ступенька равна 1, слева $-1$: на всей оси ступеньки не одинаковые, и одной формулой $y=kx+b$ эту функцию не задать.

Какой точкой лучше проверять построение?

Любой, кроме двух уже взятых. Удобно взять $x$ подальше от них: если прямая проведена неверно, расхождение там больше. Проверочную точку считайте заново по формуле, а не снимайте с чертежа.

Награды за урок