7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Функции y = x² и y = x³ и их графики

Содержание

Вы уже умеете возводить число в степень (урок «Степень с натуральным показателем») и строить график функции по таблице точек. В уроке «Функция y = |x| и ее график» график оказался «галочкой» из двух лучей. Сегодня построим графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, выясним, почему это кривые, и научимся читать по ним значения, знак и рост функции.

Площадь квадрата и объем куба зависят от стороны

Возьмем квадрат со стороной $x$ см. Его площадь $S=x\cdot x=x^2$ см². Куб с ребром $x$ см имеет объем $V=x\cdot x\cdot x=x^3$ см³. Каждой длине стороны соответствует ровно одна площадь и ровно один объем — значит, площадь и объем являются функциями стороны.

Квадраты со стороной 1, 2, 3 (площади 1, 4, 9) и кубы с ребром 1, 2, 3 (объемы 1, 8, 27): прибавки растут — Сторона растет на 1, а площадь и объем — все быстрее: к квадрату каждый раз достраивается уголок больше прежнего

Посмотрите на рисунок. Сторона каждый раз увеличивается на 1. Площади равны 1, 4, 9: прибавки 3 и 5. Чтобы из квадрата $2\times2$ получить квадрат $3\times3$, приходится достроить уголок из 5 клеток, а не из 3. Объемы равны 1, 8, 27: прибавки 7 и 19 — растут еще быстрее. Ребро выросло с 1 до 2 — в 2 раза, а объем с 1 до 8 — в 8 раз.

При $x=2$ объем 8 больше площади 4, при $x=3$ объем 27 больше площади 9. Кажется, что число $x^3$ всегда больше, чем $x^2$. Так ли это? Ответ дадут графики в конце урока.

Формулы $y=x^2$ и $y=x^3$ имеют смысл для любого числа $x$, а не только для длины. Сторона квадрата не бывает отрицательной, поэтому при $x<0$ рисунок с клетками уже не помогает. Здесь работает правило знаков, знакомое по уроку о степени.

Правило

Квадрат числа — произведение двух одинаковых множителей, куб — трех:

$$x^2=x\cdot x,\qquad x^3=x\cdot x\cdot x$$

Квадрат отрицательного числа положителен: два минуса дают плюс. Куб отрицательного числа отрицателен: третий минус возвращает минус.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y=x^3$	$-27$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$	$27$

Например, $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4$, а $(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=4\cdot(-2)=-8$. По этой таблице и будем строить графики.

{"questions":[{"content":"Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличился его объем?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В 4 раза","В 8 раз","В 2 раза","В 6 раз"],"explanations":["Так растет площадь грани $x^2$; у объема третий множитель","","Так растет само ребро; объем — это три измерения","Складывают $2+2+2$, а множители надо перемножать"],"answer":[1]}},"hints":["Объем $V=x^3$. Было ребро $x$, стало $2x$.","$(2x)^3=2\\cdot2\\cdot2\\cdot x^3=8x^3$ — объем вырос в 8 раз."],"step":1},{"content":"Соотнесите выражение и его значение. Два значения лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(-0{,}3)^2$","$(-0{,}3)^3$","$0{,}3^3$"],"items":["$0{,}09$","$-0{,}027$","$0{,}027$","$-0{,}09$","$0{,}9$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["Квадрат — два одинаковых множителя, куб — три. Минус на минус дает плюс, третий минус возвращает минус.","$0{,}3\\cdot0{,}3=0{,}09$ (два знака после запятой), $0{,}09\\cdot0{,}3=0{,}027$.","Ответ: $(-0{,}3)^2=0{,}09$, $(-0{,}3)^3=-0{,}027$, $0{,}3^3=0{,}027$; лишние $-0{,}09$ и $0{,}9$."],"step":1}],"mix":1}

Точки квадрата ложатся на плавную кривую

Отметим на координатной плоскости точки из строки $y=x^2$: $(-3;\,9)$, $(-2;\,4)$, $(-1;\,1)$, $(0;\,0)$, $(1;\,1)$, $(2;\,4)$, $(3;\,9)$. На одной прямой они не лежат. Возьмем промежуточное значение $x=1{,}5$: $1{,}5^2=2{,}25$. Середина отрезка между точками $(1;\,1)$ и $(2;\,4)$ находится на высоте $2{,}5$, а точка графика $(1{,}5;\,2{,}25)$ — ниже. Чем больше точек мы отметим, тем яснее видна гладкая кривая без углов.

График функции y=x² по точкам: плавная кривая ниже отрезка между точками (1; 1) и (2; 4) — Точки графика y = x² соединяет плавная кривая; между отмеченными точками она идет ниже отрезков

Почему не прямая? У прямой $y=kx$ при увеличении $x$ на 1 значение $y$ всегда меняется на одно и то же число $k$. У квадрата прибавки растут: 1, 3, 5 — это те самые уголки из клеток. Поэтому с каждым шагом кривая поднимается круче.

Определение

Кривую, которая служит графиком функции $y=x^2$, называют параболой. Ее самая низкая точка — начало координат $(0;\,0)$; эту точку называют вершиной. Все остальные точки графика лежат выше оси $Ox$.

Ошибка

Как ошибаются. «Точки $(0;\,0)$ и $(2;\,4)$ лежат на графике $y=x^2$. Проведем через них прямую — это и есть график».

Проверка на числах. На такой прямой при $x=3$ получится $y=6$, а по формуле $3^2=9$. При $x=1$ прямая дает 2, а формула дает 1.

Где ломается рассуждение. Прямая через эти две точки — график функции $y=2x$, то есть удвоения. А квадрат — не удвоение, а умножение числа на себя: $x\cdot x$. Прямую задают две точки, кривую по двум точкам не построить: нужна таблица из нескольких точек по обе стороны от нуля.

Прямая y=2x через точки (0; 0) и (2; 4) не совпадает с графиком y=x²: при x=3 значения 6 и 9 — Прямая через (0; 0) и (2; 4) — это график y = 2x: при x = 3 она дает 6, а квадрат равен 9

Пример

Задача. Лежат ли на графике $y=x^2$ точки $A(-1{,}5;\,2{,}25)$ и $B(0{,}4;\,0{,}8)$?

Решение. Точка лежит на графике, если ее координаты удовлетворяют формуле. Подставим абсциссу и сравним результат с ординатой.

Для $A$: $(-1{,}5)^2=(-1{,}5)\cdot(-1{,}5)=2{,}25$ — совпадает с ординатой, точка $A$ на графике.

Для $B$: $0{,}4^2=0{,}16$, а ордината равна $0{,}8$. Число $0{,}8=2\cdot0{,}4$ — это удвоение, а не квадрат. Точка $B$ не лежит на графике.

Ответ: $A$ лежит, $B$ не лежит.

{"questions":[{"content":"Решавр отметил на графике $y=x^2$ точки $(2;\\,4)$ и $(3;\\,9)$, соединил их отрезком и по отрезку нашел значение при $x=2{,}5$: получилось $6{,}5$. Какой вывод верный?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2{,}5^2=4{,}25$: это $2^2$ плюс $0{,}5^2$","Ошибки нет: $6{,}5$ — середина между $4$ и $9$","$2{,}5^2=6{,}25$: график идет ниже отрезка, это кривая","$2{,}5^2=5$: значение равно удвоенному $x$"],"explanations":["Квадрат считают от всего числа: $2{,}5\\cdot2{,}5=6{,}25$, а не $4+0{,}25$","Середина между значениями получается только на прямой; квадрат $2{,}5\\cdot2{,}5=6{,}25$","","$2\\cdot2{,}5=5$ — это $2x$, а квадрат — $x\\cdot x$"],"answer":[2]}},"hints":["Посчитаем точно по формуле: $2{,}5^2=2{,}5\\cdot2{,}5$.","$2{,}5\\cdot2{,}5=6{,}25$, а не $6{,}5$: между точками график идет ниже отрезка, потому что это кривая, а не ломаная.","Ответ: $2{,}5^2=6{,}25$, график между точками — кривая ниже отрезка."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=x^2$. Найдите $y$ при $x=0{,}5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,25","0.25"]}},"hints":["$y=0{,}5^2=0{,}5\\cdot0{,}5$.","$0{,}5\\cdot0{,}5=0{,}25$. Ответ: $0{,}25$."],"step":1}],"mix":1}

Числа x и −x дают один и тот же квадрат

Сравните значения в таблице: при $x=2$ и $x=-2$ квадрат равен 4, при $x=3$ и $x=-3$ — 9. Это не совпадение: $(-x)^2=(-x)\cdot(-x)=x\cdot x=x^2$. Значит, точки графика с абсциссами $x$ и $-x$ стоят на одной высоте по разные стороны от оси $Oy$.

График y=x² симметричен относительно оси Oy: каждому y>0 соответствуют два значения x; y=9 при x=−3 и x=3 — Ось Oy — зеркало графика y = x²: прямая y = 9 пересекает его в двух точках, при x = −3 и x = 3

Свойство

График функции $y=x^2$ симметричен относительно оси $Oy$: если точка $(a;\,b)$ лежит на графике, то точка $(-a;\,b)$ тоже лежит на нем.

$$(-x)^2=x^2$$

Такую же симметрию вы видели у графика $y=\lvert x\rvert$ в уроке «Функция y = |x| и ее график». Но там график состоит из двух лучей с изломом в нуле, а у квадрата — плавная кривая: возле нуля она почти прижата к оси $Ox$, а дальше поднимается все круче.

Пример

Задача. Решите по графику уравнения $x^2=9$ и $x^2=-4$.

Решение. Значения $x$, при которых $x^2=9$, — это абсциссы точек графика на высоте 9. Проведем горизонтальную прямую $y=9$. Она пересекает график в двух точках: $(-3;\,9)$ и $(3;\,9)$. Проверка: $(-3)^2=9$ и $3^2=9$.

Прямая $y=-4$ лежит ниже оси $Ox$, а весь график — не ниже оси. Общих точек нет, поэтому уравнение $x^2=-4$ решений не имеет.

Ответ: $x^2=9$ при $x=-3$ или $x=3$; уравнение $x^2=-4$ решений не имеет.

Итак, уравнение $x^2=a$ при $a>0$ имеет два решения — пару противоположных чисел, при $a=0$ одно решение $x=0$ (вершина), при $a<0$ решений нет.

Обратите внимание

Запись $-3^2$ без скобок означает $-(3\cdot3)=-9$: в квадрат возводится только 3. А $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$. Подставляя отрицательный $x$ в формулу, всегда берите его в скобки. Если считать $(-3)^2=-9$ или забыть отрицательные $x$, левая половина графика пропадет или окажется ниже оси $Ox$, а на самом деле она — зеркальное отражение правой.

Если считать (−3)² = −9, левая половина параболы y=x² ушла бы вниз; на самом деле (−3)² = 9 и она зеркало правой — Если считать (−3)² = −9, левая половина ушла бы вниз; на самом деле (−3)² = 9 — она зеркало правой

{"questions":[{"content":"Решавр заполнил таблицу значений функции $y=x^2$: при $x=-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ у него получилось $y=-16$, $-4$, $0$, $4$, $16$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $x=-4$ и $x=-2$ должно быть $16$ и $4$","При $x=0$ должно быть $1$","При $x=4$ должно быть $8$","Ошибки нет, все значения верны"],"explanations":["","$0\\cdot0=0$, значение при $x=0$ записано верно","$8=2\\cdot4$ — это $2x$, а квадрат $4\\cdot4=16$ записан верно","При отрицательном $x$ два минуса дают плюс: $(-4)\\cdot(-4)=16$, а не $-16$"],"answer":[0]}},"hints":["Квадрат — произведение двух одинаковых множителей: $(-4)^2=(-4)\\cdot(-4)$.","Минус на минус дает плюс: $(-4)^2=16$, $(-2)^2=4$.","Ошибка в двух первых значениях: должно быть $16$ и $4$. Точки $(-4;\\,-16)$ и $(-2;\\,-4)$ легли бы ниже оси $Ox$, а график $y=x^2$ ниже оси не опускается."],"step":1},{"content":"При каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает значение $49$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x=7$ и $x=-7$","$x=24{,}5$","Только $x=7$","Только $x=-7$"],"explanations":["","Это половина числа 49, а нужен квадрат: $x\\cdot x=49$","Забыт второй корень: $(-7)^2=49$ тоже","Подходит и положительное число: $7^2=49$"],"answer":[0]}},"hints":["Нужно найти числа, квадрат которых равен 49.","$7^2=49$ и $(-7)^2=49$. Ответ: $x=7$ и $x=-7$."],"step":1}],"mix":1}

У куба знак числа сохраняется

Вернемся к строке $y=x^3$ в таблице: $-27$, $-8$, $-1$, $0$, $1$, $8$, $27$. При положительном $x$ куб положителен, при отрицательном — отрицателен. Значит, правая часть графика лежит выше оси $Ox$, а левая — ниже. Прибавки объема 1, 7, 19 растут быстрее прибавок площади, поэтому при $x>1$ кривая куба круче.

График функции y=x³: левая часть ниже оси Ox, точки (2; 8) и (−2; −8) симметричны относительно начала координат — График y = x³ проходит через начало координат: точки (2; 8) и (−2; −8) симметричны относительно него

На рисунке $x$ от $-2$ до 2; точки $(3;\,27)$ и $(-3;\,-27)$ не поместились — они в 27 единицах от оси $Ox$. Сравните пары точек: $(1;\,1)$ и $(-1;\,-1)$, $(2;\,8)$ и $(-2;\,-8)$. У каждой пары обе координаты противоположны, потому что $(-x)^3=-x^3$. Отрезок между такими точками проходит через начало координат и делится им пополам.

Свойство

График функции $y=x^3$ проходит через начало координат, при $x>0$ лежит выше оси $Ox$, при $x<0$ — ниже. Он симметричен относительно начала координат: если точка $(a;\,b)$ лежит на графике, то точка $(-a;\,-b)$ тоже.

$$(-x)^3=-x^3$$

Пример

Задача. Какая из точек $(-3;\,27)$ и $(-3;\,-27)$ лежит на графике $y=x^3$?

Решение. Подставим $x=-3$: $(-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=9\cdot(-3)=-27$. Ордината $-27$ — у второй точки.

Точка $(-3;\,27)$ не лежит ни на графике куба, ни на графике квадрата: $(-3)^2=9$, а не 27.

Ответ: $(-3;\,-27)$.

Проверьте свойства сами: меняйте $x$ от $-3$ до 3. На обоих графиках появятся точка и парная ей точка с абсциссой $-x$. У квадрата пары стоят на одной высоте, у куба — на противоположных. Попробуйте найти $x$, при котором $x^3=x^2$.

funkcii-x2-x3-grafik

{"questions":[{"content":"Функция задана формулой $y=x^3$. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $x<0$ значение $y$ положительно","При $x<0$ значение $y$ равно нулю","Значение $y$ всегда положительно","При $x<0$ значение $y$ отрицательно"],"explanations":["Так бывает у квадрата; у куба три множителя, минус остается","Ноль получается только при $x=0$","Знак куба совпадает со знаком $x$",""],"answer":[3]}},"hints":["Куб — это три множителя $x\\cdot x\\cdot x$. У отрицательного числа три минуса дают минус.","Значит, при $x<0$ значение $y$ отрицательно."],"step":1},{"content":"Точки $\\left(\\frac12;\\,\\frac18\\right)$ и $\\left(-\\frac12;\\,-\\frac18\\right)$ лежат на графике $y=x^3$. График функции $y=x^3$ симметричен относительно [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["точки $(1;\\,1)$","оси $Ox$","начала координат","оси $Oy$"],"answer":2}},"hints":["У точек $\\left(\\frac12;\\,\\frac18\\right)$ и $\\left(-\\frac12;\\,-\\frac18\\right)$ обе координаты сменили знак.","Такие точки симметричны относительно начала координат: отрезок между ними делится точкой $(0;\\,0)$ пополам.","Ответ: относительно начала координат."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=x^3$. Найдите значение $y$ при $x=-4$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-64"}},"hints":["Подставим $x=-4$: $y=(-4)^3=(-4)\\cdot(-4)\\cdot(-4)$.","Первые два множителя дают $16$, затем $16\\cdot(-4)=-64$. Ответ: $-64$."],"step":1}],"mix":1}

Где квадрат обгоняет куб

Вернемся к вопросу из начала урока: всегда ли $x^3$ больше, чем $x^2$? Нарисуем оба графика на одной сетке и посмотрим на участок около нуля.

Графики y=x² и y=x³ пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1); при x=0,5 куб ниже: 1/8 < 1/4 — Графики пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1); между ними кривая куба ниже кривой квадрата

Графики пересекаются в двух точках: $(0;\,0)$ и $(1;\,1)$ — при $x=0$ и $x=1$ квадрат и куб равны. Правее $x=1$ кривая куба выше: умножение на число больше 1 увеличивает результат. Между 0 и 1 картина обратная. Квадрат со стороной $\frac12$ — это четверть единичного квадрата, а куб с ребром $\frac12$ — восьмая часть единичного куба: половина от половины от половины. Левее нуля куб отрицателен, а квадрат положителен, поэтому куб снова ниже.

Пример

Задача. Сравните $x^2$ и $x^3$ при $x=\frac12$, $x=2$ и $x=-2$.

Решение. При $x=\frac12$: $x^2=\frac14$, $x^3=\frac18$; $\frac14=\frac28>\frac18$ — квадрат больше.

При $x=2$: $x^2=4$, $x^3=8$ — куб больше.

При $x=-2$: $x^2=4$, $x^3=-8$ — квадрат больше, потому что положительное число больше отрицательного.

Ответ: $x^2>x^3$ при $x=\frac12$ и $x=-2$; $x^3>x^2$ при $x=2$. Это совпадает с графиком.

Итак, ответ на вопрос из начала — нет: куб больше квадрата только при $x>1$. Функция возрастает на участке, где с ростом $x$ растет $y$, и убывает, где $y$ уменьшается. Пройдем по графику $y=x^2$ слева направо: от $x=-3$ до 0 значения падают (9, 4, 1, 0), после нуля растут. Куб растет на всем пути: $-27$, $-8$, $-1$, $0$, $1$, $8$, $27$.

Свойство	$y=x^2$	$y=x^3$
Нуль функции (где $y=0$)	$x=0$	$x=0$
Знак $y$	$y\ge0$ при любом $x$	такой же, как у $x$
Пара $x$ и $-x$	одинаковые $y$	противоположные $y$
Симметрия графика	относительно оси $Oy$	относительно начала координат
Рост	убывает при $x\le0$, возрастает при $x\ge0$	возрастает на всей числовой прямой

{"questions":[{"content":"При каком значении $x$ выполняется неравенство $x^3>x^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=0{,}6$","$x=1{,}2$","$x=1$","$x=-1$"],"explanations":["$0{,}6^2=0{,}36$, $0{,}6^3=0{,}216$: между 0 и 1 куб меньше квадрата","","$1^2=1^3=1$: значения равны, а неравенство строгое","$(-1)^2=1$, а $(-1)^3=-1$: при отрицательном $x$ куб отрицателен и меньше квадрата"],"answer":[1]}},"hints":["Графики $y=x^2$ и $y=x^3$ пересекаются в точках $(0;\\,0)$ и $(1;\\,1)$. Правее $x=1$ кубическая кривая выше.","Проверка: $1{,}2^2=1{,}44$, $1{,}2^3=1{,}728$, и $1{,}728>1{,}44$.","Ответ: $x=1{,}2$."],"step":1},{"content":"Распределите точки: какому графику принадлежит каждая из них.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["На графике $y=x^2$","На графике $y=x^3$","Ни на одном из них"],"items":[["$(-1;\\,1)$","$(-0{,}2;\\,0{,}04)$"],["$(-1;\\,-1)$","$(0{,}2;\\,0{,}008)$"],["$(-2;\\,-4)$","$(3;\\,6)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по графикам","hints":["Подставьте $x$ в обе формулы и сравните результат со второй координатой.","$(-1)^2=1$, $(-1)^3=-1$; $(-0{,}2)^2=0{,}04$; $0{,}2^3=0{,}008$.","$(-2)^2=4$ и $(-2)^3=-8$, а не $-4$; $3^2=9$ и $3^3=27$, а не $6$. Ответ: на $y=x^2$ — $(-1;\\,1)$, $(-0{,}2;\\,0{,}04)$; на $y=x^3$ — $(-1;\\,-1)$, $(0{,}2;\\,0{,}008)$; ни на одном — $(-2;\\,-4)$, $(3;\\,6)$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Функции $y=x^2$ и $y=x^3$ — это площадь квадрата и объем куба, продолженные на все числа. Их графики — кривые, а не прямые, и строят их по таблице из нескольких точек по обе стороны от нуля. Вспомнить главное помогает модель квадрата и куба:

По графикам $y=x^2$ и $y=x^3$ можно без вычислений решать уравнения $x^2=a$, $x^3=a$ и сравнивать степени; дальше на этой основе строят графики квадратичной функции (9 класс).

Часто задаваемые вопросы

Почему график y = x² нельзя построить по двум точкам, как прямую?

Прямую задают две точки, а через две точки можно провести сколько угодно разных кривых. Поэтому берут таблицу из 5–7 точек по обе стороны от нуля и соединяют их плавной линией. Проверка: любая промежуточная точка, посчитанная по формуле, должна лечь на эту линию.

Чем график y = x² отличается от графика y = |x|?

Оба графика проходят через $(0;\,0)$ и симметричны относительно оси $Oy$. Но график $y=\lvert x\rvert$ — два луча с изломом в нуле, а график $y=x^2$ — плавная кривая. Между $-1$ и 1 она ниже: при $x=0{,}4$ квадрат равен $0{,}16$, а модуль $0{,}4$. При $x>1$ и $x<-1$ кривая квадрата выше.

Может ли x² быть отрицательным?

Нет. Квадрат — произведение двух одинаковых множителей, а у них один и тот же знак, поэтому результат не меньше нуля. Нулю он равен только при $x=0$. Поэтому уравнение $x^2=a$ с отрицательным $a$ решений не имеет.

Сколько решений у уравнения x³ = a?

Ровно одно при любом $a$: график куба возрастает на всей числовой прямой и каждую горизонтальную прямую пересекает один раз. Например, $x^3=-8$ только при $x=-2$, а $x^3=8$ только при $x=2$.

Награды за урок