7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Функция y = |x| и ее график

Содержание

В уроке «Коэффициенты k и b» мы строили графики линейных функций — прямые. В этом уроке познакомимся с функцией, график которой уже не прямая, а «галочка» из двух лучей: $y = |x|$. Вспомним, что такое модуль числа, построим график по точкам и получим его из прямой $y = x$ одним сгибом. А затем по графику найдем свойства функции и научимся решать уравнения вида $|x| = a$.

Модуль числа — расстояние до нуля

Числа $-3$ и $3$ стоят по разные стороны от нуля, но на одинаковом расстоянии от него — $3$ единичных отрезка. Это расстояние и называют модулем числа.

Числовая прямая: числа −3 и 3 находятся на одинаковом расстоянии 3 от нуля, поэтому модуль −3 и модуль 3 равны 3 — От нуля до $-3$ и до $3$ одинаковое расстояние: $\lvert -3 \rvert = |3| = 3$

Определение

Модуль числа $a$ — это расстояние от нуля до точки $a$ на числовой прямой. Обозначение: $|a|$.

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу: $|5| = 5$, $|0| = 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: $\lvert -5 \rvert = 5$.

Расстояние не бывает отрицательным, поэтому и модуль любого числа неотрицателен: $|a| \ge 0$. А у противоположных чисел модули одинаковые: $\lvert -a \rvert = |a|$.

Пример

Найдем значение выражения $\lvert -8 \rvert-|3| + 2 \cdot \lvert -1{,}5 \rvert$. Похожие задания встречаются в проверочных работах.

Сначала находим модули: $\lvert -8 \rvert = 8$, $|3| = 3$, $\lvert -1{,}5 \rvert = 1{,}5$. Модуль работает как скобки: его вычисляют раньше умножения и сложения.

$$8-3 + 2 \cdot 1{,}5 = 8-3 + 3 = 8.$$

Сравним еще два выражения: $\lvert -3 \rvert$ и $-\lvert -3 \rvert$. Первое равно $3$. Во втором минус стоит перед модулем, поэтому сначала находим модуль, а потом меняем знак: $-\lvert -3 \rvert = -3$. Значит, $-\lvert -3 \rvert < \lvert -3 \rvert$.

Ошибка

Считают, что модуль «убирает все минусы»: $-\lvert -4 \rvert = 4$. Но минус перед модулем в модуль не входит. Модуль дает $\lvert -4 \rvert = 4$, а минус перед ним делает результат отрицательным: $-\lvert -4 \rvert = -4$.

{"questions":[{"content":"Отметьте все числа, модуль которых равен $4$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$-4$","$0$","$8$"],"explanations":["","","$|0| = 0$: ноль находится на нулевом расстоянии от нуля.","$8$ — расстояние между точками $-4$ и $4$. А модуль — расстояние от числа до нуля: $|8| = 8$."],"answer":[0,1]}},"hints":["Модуль — расстояние от нуля. Какие точки числовой прямой стоят на расстоянии $4$ от нуля?","Справа от нуля — $4$, слева — $-4$."],"step":1},{"content":"Вычислите $\\lvert -7{,}5 \\rvert$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["7,5","7.5"]}},"hints":["Модуль — расстояние от нуля до числа, оно не бывает отрицательным.","$\\lvert -7{,}5 \\rvert = 7{,}5$."],"step":1},{"content":"Вычислите $-\\lvert -5 \\rvert + |2|$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-3","−3"]}},"hints":["Сначала модули: $\\lvert -5 \\rvert = 5$, $|2| = 2$. Минус перед модулем остается.","$-5 + 2 = -3$."],"step":1}],"mix":1}

График: прямая $y = x$, сложенная по оси $x$

Составим таблицу значений функции $y = |x|$ и отметим точки на координатной плоскости.

Таблица значений функции y = |x| для x от −3 до 3 и точки (−3; 3), (−2; 2), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3) на координатной плоскости: они лежат на двух лучах, похожих на галочку — Точки графика $y = |x|$ при $x$ от $-3$ до $3$: справа от оси $y$ они лежат на прямой $y = x$, а слева поднимаются так же, как справа

Справа от оси $y$ точки лежат на прямой $y = x$: для $x \ge 0$ модуль равен самому числу. А слева, при $x < 0$, точки прямой $y = x$ находятся ниже оси $x$: $(-3; -3)$, $(-2; -2)$… У графика $y = |x|$ в этих местах точки $(-3; 3)$, $(-2; 2)$ — те же, только отраженные вверх. Получается, что нижнюю половину прямой $y = x$ сложили по оси $x$, как лист бумаги.

Три шага: прямая y = x, у которой при отрицательных x точки ниже оси x; эту нижнюю половину отражают вверх относительно оси x, как при сгибе листа; получается график y = |x| — галочка, все точки которой не ниже оси x — Прямая $y = x$ → нижнюю половину отражаем вверх относительно оси $x$ → график $y = |x|$

Правило

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$$

Графиком функции $y = |x|$ служат два луча с общим началом в точке $(0; 0)$: при $x \ge 0$ — часть прямой $y = x$, при $x < 0$ — часть прямой $y = -x$.

uploaded-abs-mirror-446da1347d32

Ошибка

Считают, что $|x| = x$ всегда. Проверим на числе: при $x = -2$ получилось бы $\lvert -2 \rvert = -2$, но модуль не бывает отрицательным. Верно $\lvert -2 \rvert = 2 = -(-2)$: при отрицательных $x$ модуль равен $-x$. На графике это видно сразу: при $x = -2$ точка стоит выше оси, на высоте $2$.

Пример

Принадлежат ли графику функции $y = |x|$ точки $A(-7; 7)$, $B(-7; -7)$, $C(0{,}5; -0{,}5)$ и $D(-1{,}2; 1{,}2)$?

Точка лежит на графике, если ее ордината равна модулю абсциссы. Проверяем каждую:

$A$: $\lvert -7 \rvert = 7$ — ордината $7$, принадлежит;
$B$: $\lvert -7 \rvert = 7$, а ордината $-7$ — не принадлежит (это точка прямой $y = x$);
$C$: $|0{,}5| = 0{,}5$, а ордината $-0{,}5$ — не принадлежит;
$D$: $\lvert -1{,}2 \rvert = 1{,}2$ — принадлежит.

Есть и быстрый признак: у точек графика $y = |x|$ ордината не бывает отрицательной. Поэтому $B$ и $C$ можно отбросить сразу.

{"questions":[{"content":"Какая точка принадлежит графику функции $y = |x|$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-4; 4)$","$(-4; -4)$","$(4; -4)$","$(0; 4)$"],"explanations":["","Это точка прямой $y = x$. На графике $y = |x|$ ее отразили вверх: $\\lvert -4 \\rvert = 4$.","Ордината не может быть отрицательной: $|4| = 4$.","При $x = 0$ значение $|0| = 0$, а не $4$."],"answer":[0]}},"hints":["Точка лежит на графике, если ее ордината равна модулю абсциссы: $y = |x|$.","$\\lvert -4 \\rvert = 4$, поэтому подходит $(-4; 4)$."],"step":1},{"content":"Если $x < 0$, то $|x| =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-x$","$x$","$0$","$-|x|$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Проверьте на числе: $x = -3$, $\\lvert -3 \\rvert = 3$.","$3 = -(-3)$, то есть $|x| = -x$."],"step":1}],"mix":1}

Свойства функции по графику

По графику-«галочке» удобно читать свойства функции. Вершина лежит в начале координат, а обе ветви идут вверх.

График y = |x| симметричен относительно оси Oy: точки (−2; 2) и (2; 2) — зеркальные. Наименьшее значение функции 0 при x = 0. Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0 — Ось $y$ — ось симметрии графика. Наименьшее значение $0$ функция принимает при $x = 0$. Слева от нуля функция убывает, справа — возрастает

Свойство	Как это видно на графике
Область определения — все числа	график продолжается влево и вправо без разрывов: модуль есть у любого числа
$y \ge 0$, наименьшее значение $0$ при $x = 0$	ниже оси $x$ точек нет, вершина в $(0; 0)$: расстояние не бывает отрицательным
Убывает при $x \le 0$, возрастает при $x \ge 0$	левая ветвь идет вниз, правая — вверх: чем дальше от нуля, тем больше модуль
Симметрия относительно оси $y$	точки $(-2; 2)$ и $(2; 2)$ зеркальные, потому что $\lvert -x \rvert = \|x\|$

Пример

Пешеход идет по прямой дороге со скоростью $1$ м/с и в момент $t = 0$ проходит мимо столба. За $3$ с до этого он был в $3$ м от столба, через $3$ с после — снова в $3$ м. Будем отсчитывать время от этого момента: отрицательные $t$ — секунды до встречи со столбом, положительные — после. Расстояние до столба в момент $t$ равно $|t|$ метров: сначала оно уменьшается до нуля, потом растет. График этого расстояния — та же «галочка» $y = |x|$.

Часто спрашивают, какое наибольшее и наименьшее значение функция принимает не на всей прямой, а на отрезке. Тут график особенно полезен.

График y = |x| на отрезке от −3 до 2. Наименьшее значение 0 в вершине при x = 0. Наибольшее значение 3 на левом конце при x = −3: левый конец дальше от нуля, чем правый, где y = 2 — На отрезке $[-3; 2]$ наименьшее значение $0$ — в вершине, наибольшее $3$ — на левом конце, который дальше от нуля

Пример

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x|$ на отрезке $[-3; 2]$, то есть при $-3 \le x \le 2$.

Отрезок содержит $x = 0$, а в нуле вершина «галочки». Поэтому наименьшее значение $y = 0$.

Наибольшее значение — на том конце отрезка, который дальше от нуля: $\lvert -3 \rvert = 3$, а $|2| = 2$. Значит, наибольшее значение $3$ при $x = -3$.

Частая ошибка — взять значение на правом конце, $y = 2$, по привычке к возрастающим функциям. Но $y = |x|$ слева от нуля убывает, и левый конец здесь выше правого.

Правило

Наибольшее значение $y = |x|$ на отрезке — на том конце, который дальше от нуля. Наименьшее значение — $0$, если отрезок содержит $x = 0$. Если не содержит, наименьшее значение — на конце, который ближе к нулю: на отрезке $[2; 5]$ оно равно $2$.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Значение $y$ при $x = -6$","Значение $y$ при $x = 3{,}5$","Наименьшее значение функции","Число точек графика с ординатой $5$"],"items":["$6$","$3{,}5$","$0$","$2$"]}},"instruction":"Соотнесите вопрос и ответ","hints":["$\\lvert -6 \\rvert = 6$, $|3{,}5| = 3{,}5$.","Ниже оси точек нет, поэтому наименьшее значение $0$. Ордината $5$ у точек $(-5; 5)$ и $(5; 5)$."],"step":1},{"content":"При каких $x$ функция $y = |x|$ убывает?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $x \\le 0$","При $x \\ge 0$","При всех $x$","Ни при каких $x$"],"explanations":["","При $x \\ge 0$ правая ветвь идет вверх — функция возрастает.","Справа от нуля значения растут: $|1| < |2| < |3|$.","Слева от нуля, двигаясь вправо, спускаемся: $\\lvert -3 \\rvert > \\lvert -2 \\rvert > \\lvert -1 \\rvert$."],"answer":[0]}},"hints":["Двигайтесь по графику слева направо: где он идет вниз?","Левая ветвь идет вниз до вершины $(0; 0)$: функция убывает при $x \\le 0$."],"step":1},{"content":"Найдите наибольшее значение функции $y = |x|$ на отрезке $[-1; 4]$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$4$","$1$","$0$","$5$"],"explanations":["","$1 = \\lvert -1 \\rvert$ — значение на левом конце. Но правый конец дальше от нуля: $|4| = 4$.","$0$ — наименьшее значение, в вершине.","$5$ — длина отрезка от $-1$ до $4$, а не значение функции."],"answer":[0]}},"hints":["Наибольшее значение — на том конце отрезка, который дальше от нуля.","$\\lvert -1 \\rvert = 1$, $|4| = 4$. Наибольшее — $4$."],"step":1}],"mix":1}

Уравнение $|x| = a$ по графику

Корни уравнения $|x| = a$ — это значения $x$, при которых график $y = |x|$ находится на высоте $a$. Проведем горизонтальную прямую $y = a$ и посмотрим, сколько у нее общих точек с «галочкой».

Правило

Уравнение $|x| = a$:

при $a > 0$ имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$;
при $a = 0$ имеет один корень: $x = 0$;
при $a < 0$ не имеет корней.

uploaded-abs-level-20fa6aac4a1b

Пример

Решим уравнение $|x|-3 = 2$.

Перенесем $-3$ в правую часть: $|x| = 5$. Правая часть положительна, значит корней два: $x = 5$ и $x = -5$.

Проверка: $|5|-3 = 2$ и $\lvert -5 \rvert-3 = 2$. Ответ: $-5$; $5$.

Пример

1. Решим уравнение $2|x|-3 = 7$. Сначала выразим модуль, как неизвестное в линейном уравнении: $2|x| = 10$, $|x| = 5$. Корни: $x = 5$ и $x = -5$.

2. Решим уравнение $|x| + 6 = 2$. Выразим модуль: $|x| = -4$. Модуль не бывает отрицательным, поэтому корней нет. На графике прямая $y = -4$ проходит ниже «галочки».

3. При каком значении $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = |x|$ ровно одну общую точку? Прямая $y = m$ горизонтальна (см. схему выше). При $m > 0$ она пересекает обе ветви, при $m < 0$ проходит ниже графика. Одна общая точка — только когда прямая проходит через вершину: $m = 0$. Похожие вопросы о числе общих точек есть в задании 22 ОГЭ.

Ошибка

Решая $|x| = 3$, записывают только $x = 3$ и теряют корень $x = -3$: ведь $\lvert -3 \rvert = 3$. На графике прямая $y = 3$ пересекает обе ветви. Другая ошибка — «$|x| = -2$, значит $x = -2$». Проверка: $\lvert -2 \rvert = 2$, а не $-2$. Модуль не бывает отрицательным, поэтому корней нет.

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Один корень","Нет корней"],"items":[["$|x| = 5$","$|x| = 0{,}5$"],["$|x| = 0$"],["$|x| = -1$","$|x| = -7$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по числу корней","hints":["Посмотрите на знак правой части $a$.","$a > 0$ — два корня, $a = 0$ — один, $a < 0$ — ни одного."],"step":1},{"content":"Найдите меньший корень уравнения $|x| = 6$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-6","−6"]}},"hints":["Корни уравнения $|x| = 6$ — числа на расстоянии $6$ от нуля.","Это $6$ и $-6$; меньший — $-6$."],"step":1},{"content":"Найдите меньший корень уравнения $4|x| + 1 = 13$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-3","−3"]}},"hints":["Выразите модуль, как неизвестное в линейном уравнении.","$4|x| = 12$, $|x| = 3$. Корни $3$ и $-3$, меньший — $-3$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

График функции $y = |x|$ — «галочка» из двух лучей. Ее легко получить из прямой $y = x$: нижнюю половину сгибаем вверх по оси $x$, потому что модуль — это расстояние до нуля и он не бывает отрицательным. По графику видно все главное: наименьшее значение $0$ в вершине, убывание слева и возрастание справа, симметрию относительно оси $y$, наибольшее значение на отрезке и число корней уравнения $|x| = a$.

Зачем это нужно? Модуль — язык отклонений. Пусть деталь должна иметь длину $50 \pm 0{,}2$ мм. Она годится, если ее длина $d$ отличается от $50$ не больше чем на $0{,}2$ мм. С модулем это записывают так: $|d-50| \le 0{,}2$ — расстояние от $d$ до $50$ на числовой прямой. Так же модулем описывают погрешность измерения и отклонение температуры от нормы. В следующем уроке «Графическое решение уравнений» мы будем искать корни уравнений по точкам пересечения графиков — так же, как здесь искали корни $|x| = a$. А в 8–9 классах тот же прием сгиба поможет строить графики вроде $y = |x-2|$ и решать задание 22 ОГЭ.

Часто задаваемые вопросы

Почему модуль не бывает отрицательным?

Модуль — это расстояние от нуля до числа на числовой прямой, а расстояние не бывает отрицательным. Поэтому $|a| \ge 0$ для любого $a$, и график $y = |x|$ не опускается ниже оси $x$.

Чему равен модуль отрицательного числа?

Противоположному числу: $\lvert -5 \rvert = 5 = -(-5)$. Поэтому при $x < 0$ записывают $|x| = -x$. Здесь $-x$ — положительное число, ведь $x$ отрицательно.

Почему у уравнения $|x| = 3$ два корня?

На расстоянии $3$ от нуля стоят два числа: $3$ и $-3$. На графике прямая $y = 3$ пересекает обе ветви «галочки».

Чем отличаются $\lvert -x vert$ и $-|x|$?

$\lvert -x \rvert$ — модуль противоположного числа, он всегда равен $|x|$ и не бывает отрицательным. А $-|x|$ — число, противоположное модулю, оно не бывает положительным: $-\lvert -3 \rvert = -3$. График $y = -|x|$ — «галочка», перевернутая вниз.

Является ли $y = |x|$ линейной функцией?

Нет. Линейная функция задается формулой $y = kx + b$, и ее график — прямая. График $y = |x|$ состоит из двух лучей, которые лежат на разных прямых: $y = x$ и $y = -x$.

Награды за урок