Функции y = x² и y = x³ и их графики

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите значение функции $y=x^2$ при $x=-11$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"121"}},"hints":["$y=(-11)^2=(-11)\\cdot(-11)$.","Минус на минус дает плюс: $121$. Ответ: 121."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите значение функции $y=x^2$ при $x=-9$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"81"}},"hints":["$y=(-9)^2=(-9)\\cdot(-9)$.","Минус на минус дает плюс: $81$. Ответ: 81."],"step":1},{"id":"2","content":"Какая из точек лежит на графике функции $y=x^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(64;\\,8)$","$(8;\\,16)$","$(-8;\\,-64)$","$(-8;\\,64)$"],"explanations":["Координаты переставлены: $x$ — первое число","$16=2\\cdot8$, а квадрат $8^2=64$","Квадрат отрицательного числа положителен",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставим координаты в формулу $y=x^2$.","Для $x=-8$: $(-8)^2=64$, значит $(-8;\\,64)$ лежит на графике."],"step":1},{"id":"2","content":"Какая из точек лежит на графике функции $y=x^3$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(-5;\\,-125)$","$(-5;\\,125)$","$(125;\\,5)$","$(5;\\,15)$"],"explanations":["","Куб отрицательного числа отрицателен: три минуса дают минус","Координаты переставлены: $x$ — первое число","$15=3\\cdot5$, а куб $5^3=125$"],"answer":[0]}},"hints":["Подставим координаты в формулу $y=x^3$.","Для $x=-5$: $(-5)^3=-125$, значит $(-5;\\,-125)$ лежит на графике."],"step":1},{"id":"3","content":"График функции проходит через точки $(-4;\\,16)$, $(1;\\,1)$ и $(5;\\,25)$. Какая это функция?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$y=x^2$","$y=5x$","$y=x$","$y=x^3$"],"explanations":["","При $x=-4$ получилось бы $-20$, а не 16","При $x=5$ значение равно 5, а не 25","При $x=5$ куб равен 125, а не 25"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим $x^2$: $(-4)^2=16$, $1^2=1$, $5^2=25$ — все точки подходят.","Для $x^3$ при $x=5$ получилось бы 125, для $y=5x$ при $x=-4$ получилось бы $-20$, для $y=x$ при $x=5$ — 5."],"step":1},{"id":"3","content":"График функции проходит через точки $(-4;\\,-64)$, $(1;\\,1)$ и $(3;\\,27)$. Какая это функция?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$y=9x$","$y=16x$","$y=x^3$","$y=x^2$"],"explanations":["При $x=-4$ получилось бы $-36$, а не $-64$","При $x=3$ получилось бы 48, а не 27","","При $x=-4$ квадрат дает 16, а не $-64$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверим $x^3$: $(-4)^3=-64$, $1^3=1$, $3^3=27$ — все точки подходят.","Для $x^2$ значение при $x=-4$ было бы положительным: 16."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите свойства: какие есть только у функции $y=x^2$, какие только у $y=x^3$, а какие у обеих.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Только у $y=x^2$","Только у $y=x^3$","У обеих функций"],"items":[["График симметричен относительно оси $Oy$","Значения не бывают отрицательными"],["График симметричен относительно начала координат","При $x<0$ значения отрицательны"],["График проходит через точку $(1;\\,1)$","При $x=0$ значение равно $0$"]]}},"instruction":"Распределите свойства по группам","hints":["Проверьте свойство на парах чисел: $(-2)^2=2^2=4$, а $(-2)^3=-8$, $2^3=8$.","$(-x)^2=x^2$: при $x$ и $-x$ значения равны, поэтому график $y=x^2$ симметричен относительно оси $Oy$. $(-x)^3=-x^3$: значения противоположны, поэтому график $y=x^3$ симметричен относительно начала координат.","Обе функции при $x=0$ равны $0$, при $x=1$ равны $1$, а при $x>1$ больше $x$."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите свойства: какие есть только у функции $y=x^2$, какие только у $y=x^3$, а какие у обеих.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Только у $y=x^2$","Только у $y=x^3$","У обеих функций"],"items":[["При $x=-2$ и $x=2$ значения равны","График лежит не ниже оси $Ox$"],["При $x=-2$ и $x=2$ значения противоположны","Функция возрастает на всей числовой прямой"],["График проходит через начало координат","При $x>1$ значение больше $x$"]]}},"instruction":"Распределите свойства по группам","hints":["Проверьте свойство на парах чисел: $(-2)^2=2^2=4$, а $(-2)^3=-8$, $2^3=8$.","$(-x)^2=x^2$: при $x$ и $-x$ значения равны, поэтому график $y=x^2$ симметричен относительно оси $Oy$. $(-x)^3=-x^3$: значения противоположны, поэтому график $y=x^3$ симметричен относительно начала координат.","Обе функции при $x=0$ равны $0$, при $x=1$ равны $1$, а при $x>1$ больше $x$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите уравнение и его решения. Два ответа лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2=16$","$x^3=-8$","$x^2=-25$","$x^3=64$"],"items":["$-4$ и $4$","$-2$","Решений нет","$4$","$2$","$-5$ и $5$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и решения","hints":["Горизонтальная прямая $y=a$ при $a>0$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках, при $a<0$ — ни в одной.","График $y=x^3$ любая горизонтальная прямая пересекает ровно в одной точке; при отрицательном $a$ и корень отрицательный.","Ответ: $x^2=16$ — $-4$ и $4$; $x^3=-8$ — $-2$; $x^2=-25$ — Решений нет; $x^3=64$ — $4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите уравнение и его решения. Два ответа лишние.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2=49$","$x^3=-27$","$x^2=-1$","$x^3=125$"],"items":["$-7$ и $7$","$-3$","Решений нет","$5$","$3$","$-1$ и $1$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и решения","hints":["Горизонтальная прямая $y=a$ при $a>0$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках, при $a<0$ — ни в одной.","График $y=x^3$ любая горизонтальная прямая пересекает ровно в одной точке; при отрицательном $a$ и корень отрицательный.","Ответ: $x^2=49$ — $-7$ и $7$; $x^3=-27$ — $-3$; $x^2=-1$ — Решений нет; $x^3=125$ — $5$."],"step":1},{"id":"6","content":"При каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^2>x^3$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["При $x>1$","При $x<1$, $x\\ne0$","При $0<x<1$","При $x<0$"],"explanations":["При $x>1$ наоборот: $2^3=8>2^2=4$","","Забыты отрицательные $x$: при $x=-2$ квадрат $4$ больше куба $-8$","Забыт промежуток между 0 и 1: при $x=\\frac12$ квадрат $\\frac14$ больше куба $\\frac18$"],"answer":[1]}},"hints":["Графики $y=x^2$ и $y=x^3$ пересекаются в точках $(0;\\,0)$ и $(1;\\,1)$: при $x=0$ и $x=1$ значения равны.","Между 0 и 1 куб меньше квадрата ($\\frac18<\\frac14$), при $x<0$ куб отрицателен, а квадрат положителен. При $x>1$ куб больше.","Ответ: при $x<1$, кроме $x=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"При каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^3>x^2$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["При $x>0$","При $x\\ge1$","При любом $x\\ne0$","При $x>1$"],"explanations":["Между 0 и 1 куб меньше квадрата: $\\left(\\frac12\\right)^3=\\frac18<\\frac14$","При $x=1$ значения равны: $1^3=1^2$, а неравенство строгое","При $x<0$ куб отрицателен, а квадрат положителен",""],"answer":[3]}},"hints":["Графики $y=x^2$ и $y=x^3$ пересекаются в точках $(0;\\,0)$ и $(1;\\,1)$: при $x=0$ и $x=1$ значения равны.","Правее $x=1$ кривая куба выше: $2^3=8>2^2=4$. Между 0 и 1 куб меньше ($\\frac18<\\frac14$), при $x<0$ куб отрицателен.","Ответ: при $x>1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр провел прямую через точки $(0;\\,0)$ и $(2;\\,4)$ графика $y=x^2$ и нашел по ней значение при $x=5$: получилось $10$. В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо проводить прямую через $(0;0)$ и $(1;1)$","Ошибки нет: $10=2\\cdot5$","Ошибки в прямой нет, ошибка в счете: $5^2=10$, ведь квадрат — это удвоение","График $y=x^2$ — кривая; точное значение $y=5^2=25$"],"explanations":["Через эти точки идет прямая $y=x$, значение при 5 было бы 5, а не 25","Значение по формуле $y=x^2$ равно 25, а $2x$ — другая функция","$10=2\\cdot5$ — это удвоение, а квадрат $5\\cdot5=25$",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим точное значение: $y=5^2=25$, а не $10$.","График $y=x^2$ — кривая: от $(2;4)$ до $(5;25)$ она растет быстрее прямой. Через две точки график заменять нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр провел прямую через точки $(0;\\,0)$ и $(3;\\,9)$ графика $y=x^2$ и нашел по ней значение при $x=4$: получилось $12$. В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки в прямой нет, ошибка в счете: $4^2=8$","Надо проводить прямую через $(0;0)$ и $(1;1)$","Ошибки нет: $12=3\\cdot4$","График $y=x^2$ — кривая; точное значение $y=4^2=16$"],"explanations":["$8=2\\cdot4$ — это удвоение, а квадрат $4\\cdot4=16$","Через эти точки идет прямая $y=x$, значение при 4 было бы 4, а не 16","Значение по формуле $y=x^2$ равно 16, а $3x$ — другая функция",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим точное значение: $y=4^2=16$, а не $12$.","Прямая через $(0;0)$ и $(3;9)$ — это $y=3x$. График $y=x^2$ — кривая, по двум точкам ее не построить."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверял, лежит ли точка $(-5;\\,-25)$ на графике $y=x^2$. Он записал $y=-5^2=-25$ и ответил: «Лежит». Найдите ошибку.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Отрицательное $x$ берут в скобки: $(-5)^2=25$, точка не лежит на графике","Надо считать $(-5)^2=-10$, точка не лежит","Ошибки нет: $-5^2=-25$, точка лежит","Точка лежит на графике $y=x^3$, а не $y=x^2$"],"explanations":["","$-10=2\\cdot(-5)$ — это удвоение, а квадрат — умножение числа на себя","Значение $-5^2=-25$ посчитано верно, но в формулу подставлено не $-5$, а $5$ с минусом перед квадратом","$(-5)^3=-125$, а не $-25$: точка не лежит и на графике куба"],"answer":[0]}},"hints":["Запись $-5^2$ означает $-(5\\cdot5)$: в квадрат возводится только $5$.","Подставлять надо все число $-5$ в скобках: $(-5)^2=(-5)\\cdot(-5)=25$.","Ордината точки $-25$, а $y=25$: точка не лежит на графике. Весь график $y=x^2$ — не ниже оси $Ox$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверял, лежит ли точка $(-6;\\,-36)$ на графике $y=x^2$. Он записал $y=-6^2=-36$ и ответил: «Лежит». Найдите ошибку.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Отрицательное $x$ берут в скобки: $(-6)^2=36$, точка не лежит на графике","Точка лежит на графике $y=x^3$, а не $y=x^2$","Ошибки нет: $-6^2=-36$, точка лежит","Надо считать $(-6)^2=-12$, точка не лежит"],"explanations":["","$(-6)^3=-216$, а не $-36$: точка не лежит и на графике куба","Значение $-6^2=-36$ посчитано верно, но в формулу подставлено не $-6$, а $6$ с минусом перед квадратом","$-12=2\\cdot(-6)$ — это удвоение, а квадрат — умножение числа на себя"],"answer":[0]}},"hints":["Запись $-6^2$ означает $-(6\\cdot6)$: в квадрат возводится только $6$.","Подставлять надо все число $-6$ в скобках: $(-6)^2=(-6)\\cdot(-6)=36$.","Ордината точки $-36$, а $y=36$: точка не лежит на графике. Весь график $y=x^2$ — не ниже оси $Ox$."],"step":1},{"id":"9","content":"Между какими целыми числами лежит положительный корень уравнения $x^2=7$?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Между 6 и 7","Между 1 и 2","Между 2 и 3","Между 3 и 4"],"explanations":["Значение 7 — это $y$, а искомое $x$: $6^2=36$ намного больше 7","$2^2=4$ еще меньше 7, значит корень больше 2","","$3^2=9$ уже больше 7, значит корень меньше 3"],"answer":[2]}},"hints":["Отметим на графике $y=x^2$ высоту 7: она между значениями $2^2=4$ и $3^2=9$.","График при $x>0$ возрастает, поэтому корень лежит между 2 и 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Между какими целыми числами лежит корень уравнения $x^3=20$?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Между 1 и 2","Между 2 и 3","Между 6 и 7","Между 4 и 5"],"explanations":["$2^3=8$ еще меньше 20, значит корень больше 2","","Делят 20 на 3; а нужно число, куб которого 20: $3^3=27$ уже больше","$4^2=16$ и $5^2=25$ — это квадраты, а в уравнении куб: $3^3=27>20$"],"answer":[1]}},"hints":["Отметим на графике $y=x^3$ высоту 20: она между значениями $2^3=8$ и $3^3=27$.","График куба возрастает, поэтому корень лежит между 2 и 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["В 27 раз","В 9 раз","В 6 раз","В 3 раза"],"explanations":["Так растет объем куба, у площади множителя два, а не три","","Удваивают 3, а квадрат — это $3\\cdot3$","Так растет сторона; у площади два измерения"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь $S=x^2$. Было $x$, стало $3x$.","$(3x)^2=3\\cdot3\\cdot x^2=9x^2$ — площадь выросла в 9 раз."],"step":1},{"id":"10","content":"Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился его объем?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["В 27 раз","В 9 раз","В 3 раза","В 6 раз"],"explanations":["","Так растет площадь грани; у объема третий множитель","Так растет ребро; у объема три измерения","Складывают $3+3$, а множители надо перемножать: $3\\cdot3\\cdot3=27$"],"answer":[0]}},"hints":["Объем $V=x^3$. Было $x$, стало $3x$.","$(3x)^3=3\\cdot3\\cdot3\\cdot x^3=27x^3$ — объем вырос в 27 раз."],"step":1}]}</textarea></pre></div>