7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Прямая пропорциональность y = kx и ее график

Содержание

В уроке «Область определения и область значений функции» вы читали свойства функции по ее графику. В этом уроке разберем одну из самых простых и частых функций — прямую пропорциональность $y=kx$. Выясним, почему ее график — прямая через начало координат, как построить его по одной точке, как найти коэффициент $k$ и что он означает в задаче.

Вдвое дольше идем — вдвое больше путь

Турист идет по ровной дороге с постоянной скоростью 4 км/ч. За 1 ч он проходит 4 км, за 2 ч — 8 км, за полчаса — 2 км. Обозначим время в часах через $x$, а пройденный путь в километрах — через $y$. Путь равен скорости, умноженной на время, поэтому $y=4x$.

Таблица пути туриста: частное y:x равно 4 во всех столбцах, если x вдвое больше, то и y вдвое больше — Частное y : x во всех столбцах равно 4 — это скорость туриста

Посмотрите на нижнюю строку: частное $y:x$ во всех столбцах одно и то же — 4. Время выросло в 2 раза (с 1 ч до 2 ч) — и путь вырос в 2 раза (с 4 км до 8 км). В уроке «Прямая и обратная пропорциональность» такую зависимость назвали прямой пропорциональностью, а постоянное частное — коэффициентом.

Теперь перенесем таблицу на координатную плоскость — на «карту». Как в уроке «Функция: определение и способы задания», поставим вертикальную линейку в точку $x$ на оси $Ox$: она задевает след функции на высоте $y$. Для туриста правило простое: линейку отодвинули вдвое правее — точка следа стала вдвое выше. Какой след оставляет такая функция?

Сразу вопрос, к которому вернемся в конце урока: турист сделал шаг вдвое длиннее, а шагов в минуту делает столько же. Во сколько раз изменится путь за то же время и как изменится след на карте?

{"questions":[{"content":"Зависимость $y$ от $x$ задана таблицей: $x$: 1; 2; 4 и $y$: 3; 6; 12. Найдите коэффициент — частное $y:x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Из $y=kx$ получаем $k=\\dfrac{y}{x}$.","$k=3:1=3$; проверка: $6:2=3$, $12:4=3$.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Таблица: $x$: 1, 2, 3; $y$: 5, 7, 9. Выражает ли она прямую пропорциональность?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не является: частные $y:x$ разные","Является: $y$ растет с ростом $x$","Является: $y$ каждый раз растет на 2","Не является: значения $y$ нечетные"],"explanations":["","Рост $y$ не достаточен: отношение $y:x$ должно быть постоянным","Одинаковый прирост бывает и у $y=2x+3$ — это как раз эта таблица: частные $5$; $3{,}5$; $3$ разные","Четность значений не важна: проверяют отношение $y:x$"],"answer":[0]}},"hints":["Для $y=kx$ отношение $y:x$ одно и то же.","$5:1=5$, $7:2=3{,}5$, $9:3=3$ — разные.","Это не прямая пропорциональность."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Какие формулы задают прямую пропорциональность

В формуле $y=4x$ аргумент $x$ умножают на одно и то же число — и больше ничего с ним не делают. Так же устроены и другие зависимости: стоимость $x$ кг яблок по 90 руб. за килограмм — $y=90x$, масса $x$ одинаковых пачек соли по 1 кг — $y=x$.

Определение

Прямая пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой вида $y=kx$, где $x$ — аргумент, а $k$ — число, не равное нулю. Число $k$ называют коэффициентом пропорциональности.

$$y=kx,\quad k\ne0$$

Почему $k\ne0$? При $k=0$ формула дает $y=0\cdot x=0$ при любом $x$. Где бы ни стояла линейка, она задевает след на высоте 0: значение вообще не зависит от аргумента, следовать за $x$ нечему. Такую функцию называют постоянной и к прямой пропорциональности не относят.

Чтобы узнать прямую пропорциональность, попробуйте привести формулу к виду $y=kx$. Например, $y=\frac{x}{4}$ — это $y=\frac{1}{4}x$, здесь $k=\frac{1}{4}$; $y=-x$ — это $y=(-1)\cdot x$, здесь $k=-1$. Если в формуле есть слагаемое без $x$, если $x$ стоит в знаменателе или в степени, — это не прямая пропорциональность.

Формулы: y = 2x, y = −x, y = x/4 — прямая пропорциональность; y = 2x+3, y = x², y = 4/x — нет — Прямая пропорциональность — только умножение x на число k ≠ 0, без слагаемых, делений на x и степеней

{"questions":[{"content":"Распределите формулы по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Прямая пропорциональность","Не прямая пропорциональность"],"items":[["$y=7x$","$y=-0{,}5x$","$y=\\frac{x}{3}$"],["$y=x+7$","$y=\\frac{6}{x}$","$y=2x^2$","$y=-0{,}5x+4$"]]}},"instruction":"Распределите формулы по группам","hints":["Прямая пропорциональность — это $y=kx$, $k\\ne0$: $x$ только умножают на число, ничего не прибавляют.","$\\frac{x}{3}$ — это $\\frac{1}{3}x$, а в $\\frac{6}{x}$ на $x$ делят. В $y=x+7$ и $y=-0{,}5x+4$ есть слагаемое, в $y=2x^2$ — квадрат.","Ответ: пропорциональности — $y=7x$, $y=-0{,}5x$, $y=\\frac{x}{3}$; не пропорциональности — $y=x+7$, $y=\\frac{6}{x}$, $y=2x^2$, $y=-0{,}5x+4$."],"step":1},{"content":"Функция задана формулой $y=-0{,}5x$. Найдите $y$ при $x=6$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["$y=-0{,}5\\cdot6$.","Ответ: $-3$."],"step":1}],"mix":1}

Почему график — прямая из начала координат

Отметим точки из таблицы туриста: $(0{,}5;2)$, $(1;4)$, $(2;8)$, $(3;12)$. Точка $(0;0)$ тоже подходит: за 0 ч турист прошел 0 км.

Точки таблицы лежат на прямой y = 4x, проходящей через начало O: шаг 1 вправо — подъем 4 вверх — Шаг вправо на 1 — подъем на 4, где бы ни стояла линейка: точки ложатся на прямую через O

Все точки легли на одну прямую, и она проходит через начало координат $O$. Почему так будет при любом $k$? Сдвинем линейку на 1 вправо: значение было $kx$, а стало $k(x+1)=kx+k$, то есть выросло ровно на $k$. Где бы ни стояла линейка, шаг вправо на 1 поднимает след на одну и ту же высоту $k$, а шаг на $0{,}5$ — на $0{,}5k$. Одинаковые ступеньки укладываются вдоль одной прямой. А при $x=0$ значение $y=k\cdot0=0$, поэтому прямая проходит через точку $O$. Для отрицательных $x$ значения считаются по той же формуле, и прямая продолжается влево от $O$.

Правило

График прямой пропорциональности $y=kx$ — прямая, которая проходит через начало координат. Чтобы построить его, возьмите любое $x\ne0$, найдите $y=kx$, отметьте точку $(x;y)$ и проведите прямую через нее и точку $O(0;0)$.

Пример 1

Постройте график функции $y=1{,}5x$.

Решение. Возьмем $x=2$ — тогда значение получится целым: $y=1{,}5\cdot2=3$. Отмечаем точку $(2;3)$ и проводим прямую через нее и точку $O(0;0)$.

Проверка. При $x=4$ значение $y=1{,}5\cdot4=6$. Точка $(4;6)$ лежит на построенной прямой: линейка вдвое правее — след вдвое выше.

Ответ: прямая через точки $O(0;0)$ и $(2;3)$.

Ошибка

Рассуждают так: «Величина растет равномерно — значит, она пропорциональна». Проверим. Турист начал путь не из города, а из лагеря в 3 км от города и идет дальше от города. Его расстояние до города $y=4x+3$. Через 1 ч это 7 км, через 2 ч — 11 км. Время выросло в 2 раза, а расстояние — нет: $7\cdot2=14$, а не 11. Частные разные: $7:1=7$, $11:2=5{,}5$.

На графике это видно сразу: при $x=0$ значение $y=3$, прямая $y=4x+3$ проходит через точку $(0;3)$, а не через $O$. Рассуждение ломается на слове «равномерно»: подъем на 4 км за каждый час одинаковый, но к нему добавлены 3 км, которые при удвоении времени не удваиваются. В уроке «Прямая и обратная пропорциональность» ту же ошибку ловили по таблице, теперь ее ловит график: прямая не проходит через начало координат — это не прямая пропорциональность.

Прямая y = 4x + 3 не проходит через начало: при x вдвое больше y не вдвое больше (7·2=14, а не 11) — y = 4x + 3 начинается на высоте 3: линейка вдвое правее, а след не вдвое выше — это не пропорциональность

pp-kx-ratio

{"questions":[{"content":"Какая из точек лежит на графике функции $y=3x$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(1;4)$","$(3;1)$","$(6;2)$","$(2;6)$"],"explanations":["При $x=1$ получается $y=3$, а не 4","При $x=3$ получается $y=9$, а не 1","Порядок перепутан: при $x=6$ получается $y=18$",""],"answer":[3]}},"hints":["Точка лежит на графике, если ее координаты удовлетворяют формуле: $y=3x$.","Для $(2;6)$: $3\\cdot2=6$ — верно."],"step":1},{"content":"Какую пару точек можно взять, чтобы построить график функции $y=2{,}5x$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(0;0)$ и $(2;5)$","$(0;2{,}5)$ и $(2;7{,}5)$","$(0;0)$ и $(5;2)$","$(2;5)$ и $(4;7)$"],"explanations":["","Прямая начата с высоты $2{,}5$: так строят $y=2{,}5x+2{,}5$, а у $y=2{,}5x$ при $x=0$ значение 0","Координаты поменяны местами: при $x=5$ получается $y=12{,}5$, а не 2","При $x=4$ значение $y=10$: $x$ вырос вдвое — и $y$ должен вырасти вдвое, а не на 2"],"answer":[0]}},"hints":["График $y=kx$ проходит через начало координат $(0;0)$.","Вторая точка: при $x=2$ получаем $y=2{,}5\\cdot2=5$, точка $(2;5)$.","Ответ: $(0;0)$ и $(2;5)$."],"step":1},{"content":"Вообразавр: «В копилке 100 руб. и каждый день добавляют 50 руб. Значит, сумма $y=50x+100$ пропорциональна числу дней $x$». Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Пропорциональна: сумма растет с числом дней","Не функция","Не пропорциональна: при $x=0$ значение 100, а не 0","Пропорциональна: есть множитель 50"],"explanations":["Рост не означает пропорциональность: нужно $y=kx$ и отношение $y/x$ постоянно","Каждому числу дней отвечает одна сумма: это функция","","Слагаемое 100 нарушает пропорциональность"],"answer":[2]}},"hints":["Пропорциональность — это $y=kx$: при $x=0$ значение $y=0$.","Здесь при $x=0$ сумма 100 руб., и при удвоении $x$ сумма не удваивается.","Зависимость не пропорциональна."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как найти k по одной точке и куда наклонена прямая

Если известна одна точка графика $(x;y)$, кроме $O$, коэффициент находят делением: $k=\frac{y}{x}$. Это то же частное, что в таблице туриста: линейка в точке $x$ задевает след на высоте $y$, а высота в $k$ раз больше, чем $x$.

Знак $k$ показывает, в каких координатных четвертях лежит график. При $k>0$ значение $y=kx$ одного знака с $x$: справа от оси $Oy$ линейка задевает след выше оси $Ox$, слева — ниже. График проходит через I и III четверти. При $k<0$ знаки $x$ и $y$ разные, и график проходит через II и IV четверти.

Знак k: при k > 0 прямая y = 2x лежит в I и III четвертях, при k < 0 прямая y = −x — во II и IV — При k > 0 график в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV

Правило

Если точка $(x;y)$ с $x\ne0$ лежит на графике $y=kx$, то $$k=\frac{y}{x}$$

При $k>0$ график лежит в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV четвертях.

Пример 2

График функции $y=kx$ проходит через точку $(-4;6)$. Найдите $k$, запишите формулу и укажите четверти, в которых лежит график.

Решение. $k=\frac{y}{x}=\frac{6}{-4}=-1{,}5$. Формула: $y=-1{,}5x$. Так как $k<0$, график лежит во II и IV четвертях; сама точка $(-4;6)$ — во II четверти.

Проверка. При $x=2$ значение $y=-1{,}5\cdot2=-3$; точка $(2;-3)$ лежит в IV четверти.

Ответ: $k=-1{,}5$; $y=-1{,}5x$; II и IV четверти.

Обратите внимание

В частном сверху стоит ордината: $k=\frac{y}{x}$, а не $\frac{x}{y}$. Для точки $(-4;6)$ перевернутое частное равно $-\frac{2}{3}$, но прямая $y=-\frac{2}{3}x$ через эту точку не проходит: $-\frac{2}{3}\cdot(-4)=\frac{8}{3}$, а не 6. Найти $k$ можно и по клеткам: шаг вправо на 1 — подъем на $k$. Подробно этот способ разобран в уроке «Смысл коэффициента k: ступенька прямой».

{"questions":[{"content":"[[image-1]]По рисунку выберите формулу функции, график которой — эта прямая.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/d0z2w8xco1tq.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=\\frac{x}{2}$","$y=-2x$","$y=x+2$","$y=2x$"],"explanations":["При $x=2$ получилось бы $y=1$, а на графике 4","График идет вверх вправо: коэффициент положителен","Прямая через начало: при $x=0$ значение 0, а не 2",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямая проходит через начало и точку $(2;4)$.","$k=\\dfrac{4}{2}=2$, значит, $y=2x$."],"step":1},{"content":"График функции $y=kx$ проходит через точку $(2;-6)$. Найдите $k$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Подставим координаты: $-6=k\\cdot2$.","$k=-6:2=-3$. Ответ: $-3$."],"step":1},{"content":"График функции $y=kx$ проходит через II и IV четверти. Какой знак имеет $k$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$k>0$","$k=0$","$k<0$","Знак определить нельзя"],"explanations":["При $k>0$ график проходит через I и III четверти","При $k=0$ график лежит на оси $Ox$, а не в четвертях","","Знак $k$ задает, в каких четвертях лежит график"],"answer":[2]}},"hints":["Во II четверти $x<0$, $y>0$, значит, $y=kx$ при $x<0$ положительно.","Это возможно только при $k<0$."],"step":1}],"mix":1}

Что означает k в задаче

В задаче коэффициент $k$ — величина с единицей измерения. Единица $k$ равна единице $y$, деленной на единицу $x$. Для туриста $k=\frac{y}{x}=4$ км/ч — это скорость. Для яблок $k=90$ руб./кг — это цена. Если бензина уходит 6 л на каждые 100 км, то $k=0{,}06$ л/км — это расход.

Время не бывает отрицательным, поэтому график пути в задаче — не вся прямая, а ее часть при $x\ge0$: луч из начала координат. На осях таких графиков указывают масштаб. На рисунке ниже одна клетка по оси $Ox$ — 0,5 ч, по оси $Oy$ — 2 км, поэтому ступеньку читают по числам на осях, а не по клеткам.

График пути туриста: лучи y = 4x и y = 8x из начала; за 2,5 ч вдвое быстрый турист проходит вдвое больше (10 и 20 км) — При x = 2,5 линейка задевает y = 4x на высоте 10, а y = 8x — на высоте 20: путь вдвое больше, луч круче

Пример 3

Турист идет со скоростью 4 км/ч. Сколько километров он пройдет за 2,5 ч? За сколько часов он пройдет 6 км?

Решение. По формуле: $y=4\cdot2{,}5=10$ км. По графику: ставим линейку в $x=2{,}5$ — она задевает луч $y=4x$ на высоте 10. Для 6 км: $4x=6$, откуда $x=6:4=1{,}5$ ч. На графике идем по горизонтали на высоте 6 до луча, затем вниз до оси $Ox$ — попадаем в 1,5.

Проверка. $4\cdot1{,}5=6$ км.

Ответ: 10 км; 1,5 ч.

Теперь ответ на вопрос из начала урока. Шаг стал вдвое длиннее, а шагов в час столько же — значит, скорость выросла вдвое: 8 км/ч, и путь задается формулой $y=8x$. Где бы ни стояла линейка, новый след вдвое выше старого: за 2,5 ч — 20 км вместо 10. Путь за то же время вырос в 2 раза, а след остался лучом из начала координат, только стал круче: коэффициент $k$ увеличился с 4 до 8. Вверх след не сдвинулся — при $x=0$ турист еще не прошел ни метра.

{"questions":[{"content":"Расстояние $y$ (км), пройденное катером, пропорционально времени $x$ (ч). За 2,5 ч катер прошел 40 км. Какова скорость катера в км/ч? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Скорость — коэффициент $k=\\dfrac{y}{x}$.","$k=40:2{,}5=16$. Ответ: 16."],"step":1},{"content":"Путь $y$ (км) прямо пропорционален времени $x$ (ч). График пути проходит через точку $(3;\\,13{,}5)$. Сколько километров пройдено за 2 ч? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Найдем скорость — коэффициент $k=\\dfrac{y}{x}$.","$k=13{,}5:3=4{,}5$ км/ч.","$y=4{,}5\\cdot2=9$. Ответ: 9."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Два туриста одновременно вышли из лагеря. Путь первого $y=5x$, второго — $y=10x$ ($x$ — время в часах, $y$ — путь в километрах). Как связаны их графики?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Второй график — первый, поднятый вверх на 5 клеток по всей длине","При каждом $x$ точка второго графика вдвое выше, обе прямые идут из $O$","Прямые параллельны, потому что оба туриста идут равномерно","При каждом $y$ точка второго графика вдвое правее первой"],"explanations":["Подъем на 5 дал бы $y=5x+5$: при $x=2$ это 15, а второй прошел $10\\cdot2=20$ км","","Параллельны прямые с одинаковым $k$, а здесь $k$ разные: 5 и 10, второй график круче","Вдвое правее — тот же путь за вдвое большее время, а второй идет быстрее и тратит вдвое меньше"],"answer":[1]}},"hints":["Поставьте вертикальную линейку в любое $x$, например $x=2$: $5\\cdot2=10$ и $10\\cdot2=20$.","При каждом $x$ второй прошел вдвое больше, и при $x=0$ оба в начале.","Ответ: при каждом $x$ точка второго графика вдвое выше, обе прямые идут из начала координат."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Прямая пропорциональность описывает все, что растет «во столько же раз»: путь при постоянной скорости, стоимость при постоянной цене, расход топлива. Ее формула $y=kx$, $k\ne0$, график — прямая через начало координат, а коэффициент $k$ — постоянное частное $y:x$ с единицей «единица $y$ на единицу $x$». Как вспомнить главное через вертикальную линейку:

Дальше, в уроке «Линейная функция и ее график», прямую из начала координат сдвинем вверх и вниз — получится линейная функция $y=kx+b$.

Часто задаваемые вопросы

Почему в определении k не равно нулю?

При $k=0$ формула $y=0\cdot x$ дает $y=0$ при любом $x$. Значение не зависит от аргумента, отношение «во сколько раз вырос $x$ — во столько же вырос $y$» теряет смысл. График такой функции — сама ось $Ox$, и ее называют постоянной функцией.

Любая линия через начало координат — график прямой пропорциональности?

Нет, нужна именно прямая. Например, график $y=x^2$ тоже проходит через $O$, но это кривая: при $x=1$ значение 1, при $x=2$ — уже 4, вчетверо больше. Через начало проходит и график $y=\lvert x \rvert$ из урока «Функция y = |x| и ее график» — это ломаная, а не прямая. Вертикальная прямая — ось $Oy$ — тоже не подходит: линейка в $x=0$ задевала бы ее во всех точках, это не функция.

Сколько точек нужно, чтобы построить график y = kx?

Достаточно одной точки, кроме начала координат: вторая точка, $O(0;0)$, известна заранее. Удобно брать $x$, при котором $y$ получается целым, например для $y=\frac{2}{3}x$ взять $x=3$. Третью точку полезно взять для проверки: она должна лечь на ту же прямую.

Чем прямая пропорциональность отличается от обратной?

У прямой пропорциональности постоянно частное $y:x$, а при обратной — произведение $x\cdot y$, как в уроке «Прямая и обратная пропорциональность». Формула обратной — $y=\frac{k}{x}$, и ее график не прямая: при $x=0$ значения нет, и через начало координат он не проходит.

Награды за урок