7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Смысл коэффициента k: ступенька прямой

Содержание

В уроке «Коэффициенты k и b» мы выяснили, что знак числа $k$ показывает, куда наклонена прямая $y = kx + b$. В этом уроке разберем, что значит само число $k$ — например, $2$, $-3$ или $\frac{2}{3}$, — и научимся находить его по графику. Поможет простая модель: прямая на клетчатой сетке похожа на лестницу из одинаковых ступенек. С ее помощью мы сравним крутизну прямых, узнаем параллельные прямые и решим задание 11 ОГЭ. А еще ответим на вопрос: что значит число $12\%$ на дорожном знаке «Крутой подъем»?

Ступенька: шаг вправо на 1 — подъем на k

Возьмем функцию $y = 2x + 1$ (здесь $k = 2$, $b = 1$) и составим таблицу значений.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = 2x + 1$	$1$	$3$	$5$	$7$
Изменение $y$	—	$+2$	$+2$	$+2$

Каждый раз, когда $x$ увеличивается на $1$, значение $y$ увеличивается на $2$ — ровно на число $k$. Это не случайность: $2(x + 1) + 1 = (2x + 1) + 2$, и для любой функции $k(x + 1) + b = (kx + b) + k$.

Прямая y = 2x + 1 на клетчатой сетке похожа на лестницу: от каждого узла шаг вправо на 1 клетку и подъем на 2 клетки снова приводят на прямую. В таблице при росте x на 1 значение y растет на 2 — Прямая $y = 2x + 1$ — лестница из одинаковых ступенек: шаг вправо на $1$ клетку, подъем на $2$ клетки

На графике это видно как лестница. От любой точки прямой сделаем шаг вправо на одну клетку и поднимемся на две — снова окажемся на прямой. Все ступеньки одинаковые, поэтому график ровный — прямая, а не кривая. Горизонтальную часть ступеньки назовем шагом, вертикальную — подъемом.

Правило

Число $k$ в формуле $y = kx + b$ показывает, на сколько изменяется $y$, когда $x$ увеличивается на $1$.

На графике $k$ — подъем ступеньки при шаге вправо на одну клетку (если одна клетка по каждой оси — единица). Число $k$ называют угловым коэффициентом: от него зависит угол наклона прямой.

Пример

Линейная функция при $x = 2,\ 3,\ 4,\ 5$ принимает значения $y = -7,\ -4,\ -1,\ 2$. Найдите $k$ и запишите формулу.

Решение. Значения $x$ идут через $1$, а $y$ каждый раз растет на $3$: $-7 \to -4 \to -1 \to 2$. Значит, $k = 3$ и $y = 3x + b$. Чтобы найти $b$, подставим точку $(2;\ -7)$: $-7 = 3 \cdot 2 + b$, откуда $b = -13$.

Проверка. При $x = 5$: $3 \cdot 5-13 = 2$. Совпадает с таблицей.

Ответ: $y = 3x-13$.

{"questions":[{"content":"Дана функция $y = 5x-2$. Как изменится $y$, если $x$ увеличить на $1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Увеличится на $5$","Увеличится на $3$","Уменьшится на $2$","Увеличится на $5x$"],"explanations":["","Число $3 = 5-2$ получится, если сложить $k$ и $b$. Но $b$ при изменении $x$ не меняется: изменение $y$ равно $k = 5$.","$-2$ — это $b$, значение $y$ при $x = 0$. На изменение $y$ оно не влияет.","$5x$ — слагаемое формулы, а не изменение. Когда $x$ растет на $1$, слагаемое $5x$ растет на $5$, поэтому $y$ увеличивается на $5$."],"answer":[0]}},"hints":["При увеличении $x$ на $1$ значение $y = kx + b$ меняется на $k$.","Здесь $k = 5$: $y$ увеличится на $5$."],"step":1},{"content":"Линейная функция задана таблицей. Найдите $k$.<br>$x$: $0$, $1$, $2$, $3$<br>$y$: $-1$, $2$, $5$, $8$<br>$k =$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["3","+3"],"inline":1}},"hints":["$x$ увеличивается на $1$. Посмотрите, на сколько каждый раз меняется $y$.","$-1 \\to 2 \\to 5 \\to 8$: каждый раз $+3$. Значит, $k = 3$."],"step":1}],"mix":1}

Ступенька вниз: отрицательный k

Теперь возьмем $y = -3x + 4$. При $x = 0,\ 1,\ 2$ получаем $y = 4,\ 1,\ -2$. С каждым шагом $x$ на $1$ значение $y$ уменьшается на $3$: изменение равно $k = -3$. На графике ступенька идет вниз: шаг вправо на $1$ клетку, спуск на $3$ клетки.

Слева прямая y = 3x − 2: шаг вправо на 1 клетку и подъем на 3 клетки, k = 3. Справа прямая y = −3x + 4: шаг вправо на 1 клетку и спуск на 3 клетки, k = −3 — Слева $y = 3x-2$, $k = 3$: шаг $1$, подъем $3$. Справа $y = -3x + 4$, $k = -3$: шаг $1$, спуск $3$

Так ступенька объясняет знак $k$ из урока «Коэффициенты k и b». Если $k > 0$, ступеньки идут вверх и функция возрастает. Если $k < 0$, ступеньки идут вниз и функция убывает. Если $k = 0$, ступенек нет: $y$ не меняется, график — горизонтальная прямая $y = b$.

Пример

Постройте график функции $y = -2x + 3$ без таблицы (по таблице такие графики строили в уроке «Построение графика линейной функции»).

Решение. Число $b = 3$, поэтому прямая проходит через точку $(0;\ 3)$. Число $k = -2$: от этой точки делаем шаг вправо на $1$ и спуск на $2$ — точка $(1;\ 1)$. Еще одна ступенька — точка $(2;\ -1)$. Проводим прямую через эти точки.

Проверка. $-2 \cdot 2 + 3 = -1$. Точка $(2;\ -1)$ лежит на прямой.

Ошибка

Строят прямую $y = -2x + 1$ так: от точки $(0;\ 1)$ шагают на $1$ влево и опускаются на $2$ — получают точку $(-1;\ -1)$. Проверим: $-2 \cdot (-1) + 1 = 3$, а не $-1$. Точка не на прямой. Шаг всегда делаем вправо, то есть увеличиваем $x$. Тогда знак $k$ сам подсказывает, подниматься или спускаться. При шаге влево двигаться по вертикали нужно в обратную сторону: из $(0;\ 1)$ в $(-1;\ 3)$.

{"questions":[{"content":"Дана функция $y = -3x + 4$. Как изменится $y$, если $x$ увеличить с $2$ до $3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Увеличится на $1$","Уменьшится на $3$","Увеличится на $3$","Уменьшится на $4$"],"explanations":["На $1$ увеличился $x$, а $y$ меняется на $k = -3$.","","Знак потерян: $k = -3$ отрицательный, значит, $y$ уменьшается. Проверка: при $x = 2$ $y = -2$, при $x = 3$ $y = -5$.","$4$ — это $b$, оно не показывает изменение $y$."],"answer":[1]}},"hints":["При увеличении $x$ на $1$ значение $y$ меняется на $k$.","$k = -3$: $y$ уменьшится на $3$ (с $-2$ до $-5$)."],"step":1},{"content":"Ученик строил прямую $y = -2x + 5$: от точки $(0;\\ 5)$ шагнул на $1$ клетку влево и опустился на $2$ клетки. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Спускаться надо на $5$ клеток","Начинать надо с точки $(5;\\ 0)$","Шаг надо делать вправо: из $(0;\\ 5)$ в $(1;\\ 3)$","Ошибки нет, так и строят"],"explanations":["$5$ — это $b$, точка пересечения с осью $y$. Спуск равен $2$ — числу $k$ без знака «минус».","Число $b = 5$ — ордината точки на оси $y$: $(0;\\ 5)$, а не $(5;\\ 0)$.","","Ученик попал в точку $(-1;\\ 3)$, а при $x = -1$ значение $y = -2 \\cdot (-1) + 5 = 7$. Точка не на прямой."],"answer":[2]}},"hints":["Ступенька: шаг вправо на $1$ — $y$ меняется на $k$.","$k = -2$: из $(0;\\ 5)$ шаг вправо и спуск на $2$ — точка $(1;\\ 3)$."],"step":1}],"mix":1}

Дробный k: длинная ступенька и k по графику

Рассмотрим прямую $y = \frac{2}{3}x-1$. При шаге вправо на $1$ подъем равен $\frac{2}{3}$ клетки. Вершина такой ступеньки не попадает в узел сетки, и по рисунку ее трудно прочитать. Сделаем ступеньку длиннее. От точки $(0;\ -1)$, где прямая пересекает ось $y$, шагнем вправо на $3$: подъем равен $3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ клетки. Получаем узел $(3;\ 1)$.

Прямая y = 2/3 x − 1 проходит через узлы сетки (0; −1), (3; 1) и (6; 3). Ступенька между соседними узлами: шаг вправо 3 клетки, подъем 2 клетки, k = 2 : 3. Пунктиром — шаг 1, при котором подъем равен 2/3 клетки и вершина ступеньки не попадает в узел — Прямая $y = \frac{2}{3}x-1$: ступенька между узлами — шаг $3$, подъем $2$; пунктиром — шаг $1$ с подъемом $\frac{2}{3}$

Отношение подъема к шагу не зависит от длины ступеньки. Шаг $n$ — это $n$ маленьких ступенек с шагом $1$, и каждая поднимается на $k$. Значит, подъем равен $n \cdot k$, а подъем : шаг $= \frac{n \cdot k}{n} = k$. Например, шаг $3$ — подъем $2$, шаг $6$ — подъем $4$, и $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Поэтому $k$ можно найти по любым двум точкам прямой.

Как найти k по графику

Найдите на прямой две точки в узлах сетки.
Идите от левой точки к правой. Шаг — на сколько клеток вправо, подъем — на сколько клеток вверх (спуск записывается со знаком «минус»).
Разделите: $k = \dfrac{\text{подъем}}{\text{шаг}}$.

Если масштаб по осям разный, считайте не клетки, а единицы по числам на осях.

Пример

Прямая проходит через точки $(0;\ 2)$ и $(4;\ -1)$. Найдите формулу этой прямой.

Решение. Точка $(0;\ 2)$ лежит на оси $y$, значит, $b = 2$. От $(0;\ 2)$ к $(4;\ -1)$: шаг $4$ вправо, по вертикали от $2$ до $-1$ — спуск на $3$. Значит, $k = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$.

Проверка. $-\frac{3}{4} \cdot 4 + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(4;\ -1)$ лежит на прямой.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + 2$.

Ошибка

Делят шаг на подъем: для ступеньки «$3$ вправо, $2$ вверх» пишут $k = \frac{3}{2}$. Проверим: при $k = \frac{3}{2}$ из точки $(0;\ -1)$ шаг $2$ дает подъем $3$ — точка $(2;\ 2)$. А на прямой $y = \frac{2}{3}x-1$ при $x = 2$ значение $y = \frac{1}{3}$. Неверная прямая получается круче настоящей. Запомните: $k$ — сколько вверх на одну клетку вправо, поэтому подъем стоит в числителе.

Синяя прямая y = 2/3 x − 1: шаг 3 клетки, подъем 2 клетки. Красная пунктирная прямая получится, если перепутать шаг и подъем и взять k = 3/2: она круче и через узел (3; 1) не проходит — Если перепутать шаг и подъем, получится красная прямая с $k = \frac{3}{2}$ — круче нужной и мимо узла $(3;\ 1)$

Потренируйтесь в интерактиве: постройте ступеньку до узла на прямой и найдите $k$. Если ошибетесь, интерактив подскажет, в чем причина.

uploaded-koef-k-stupenka-aabb37a1331d

{"questions":[{"content":"Найдите $k$ для прямой на рисунке.[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w8cwspncodfc.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$-\\dfrac{1}{2}$","$-2$","$\\dfrac{1}{2}$"],"explanations":["Шаг и подъем перепутаны: от $(0;\\ -2)$ до $(2;\\ -1)$ шаг $2$, подъем $1$, и $k = \\frac{1}{2}$, а не $\\frac{2}{1}$.","Прямая идет вверх слева направо, значит, $k > 0$.","$-2$ — это $b$: в точке $(0;\\ -2)$ прямая пересекает ось $y$.",""],"answer":[3]}},"hints":["Возьмите узлы $(0;\\ -2)$ и $(2;\\ -1)$. Сколько клеток вправо и сколько вверх?","Шаг $2$, подъем $1$: $k = \\frac{1}{2}$."],"step":1},{"content":"Прямая проходит через точки $(0;\\ 1)$ и $(4;\\ -1)$. Найдите $k$. Ответ запишите десятичной дробью.<br>$k =$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-0,5","−0,5","-0.5","−0.5","-1/2","−1/2"],"inline":1}},"hints":["От $(0;\\ 1)$ к $(4;\\ -1)$: шаг $4$, по вертикали от $1$ до $-1$ — спуск на $2$.","$k = \\frac{-2}{4} = -0{,}5$."],"step":1}],"mix":1}

Крутизна и параллельные прямые

Сравним прямые $y = 0{,}5x$, $y = x$, $y = 3x$ и $y = -3x$. Чтобы сравнение было честным, клетки по обеим осям одинаковые.

Четыре прямые через начало координат при одинаковом масштабе осей. y = 0,5x: шаг 1, подъем 0,5 — пологая. y = x: шаг 1, подъем 1. y = 3x: шаг 1, подъем 3 — крутая. y = −3x: шаг 1, спуск 3 — такая же крутая, как y = 3x, но идет вниз — Чем выше ступенька, тем круче прямая. У $y = 3x$ и $y = -3x$ ступеньки одной высоты: прямые одинаково крутые, но идут в разные стороны

У прямой $y = 0{,}5x$ подъем на шаг $1$ — полклетки, она пологая. У $y = 3x$ — три клетки, она крутая. Высота ступеньки равна $\lvert k \rvert$, а знак $k$ показывает только направление: вверх или вниз. Поэтому прямые $y = 3x$ и $y = -3x$ одинаково крутые.

Правило

Чем больше $\lvert k \rvert$, тем круче прямая. При $\lvert k \rvert < 1$ прямая положе прямой $y = x$, при $\lvert k \rvert > 1$ — круче.

Ошибка

Сравнивают крутизну по самому числу $k$: «$-4 < 1$, значит, $y = -4x$ положе, чем $y = x$». Но у $y = -4x$ на каждую клетку вправо приходится спуск на $4$ клетки, а у $y = x$ — подъем на $1$. Сравнивать нужно модули: $\lvert -4 \rvert = 4 > 1$, поэтому $y = -4x$ круче.

Если у двух прямых одинаковые ступеньки, они идут «в ногу»: на каждом шаге обе поднимаются на одно и то же число клеток. Расстояние между ними по вертикали не меняется, и они никогда не встретятся.

Прямые y = 2x + 1 и y = 2x − 3 имеют одинаковые ступеньки: шаг 1, подъем 2. Расстояние между ними по вертикали всегда 4 клетки, они не пересекаются — параллельны — У прямых $y = 2x + 1$ и $y = 2x-3$ одинаковые ступеньки, расстояние по вертикали всегда $4$: прямые параллельны

Правило

Если у прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а $b_1 \ne b_2$, то прямые параллельны. Если $k_1 \ne k_2$, прямые пересекаются.

Пример

Какие из прямых параллельны: $y = 2x-5$, $y = -2x + 1$, $y = 1 + 2x$, $y = 2-5x$?

Решение. Найдем $k$ — число, на которое умножается $x$, где бы оно ни стояло. $k = 2$, $k = -2$, $k = 2$, $k = -5$. Одинаковые угловые коэффициенты у первой и третьей прямой, а $b$ у них разные: $-5$ и $1$.

Ответ: параллельны $y = 2x-5$ и $y = 1 + 2x$.

{"questions":[{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$y = 0{,}2x + 1$","$y = -x$","$y = 2x-3$","$y = -5x$"]}},"instruction":"Расположите прямые от самой пологой к самой крутой","hints":["Крутизну показывает $\\lvert k \\rvert$ — высота ступеньки. Знак не важен.","$\\lvert k \\rvert$: $0{,}2$; $1$; $2$; $5$."],"step":1},{"content":"Какая прямая параллельна прямой $y = -2x + 5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = 3-2x$","$y = 2x + 5$","$y = -5x + 2$","$y = -2x + 5$"],"explanations":["","Здесь $k = 2$, а у данной прямой $k = -2$: ступеньки идут в разные стороны, прямые пересекаются.","Здесь $k = -5 \\ne -2$: ступеньки другой высоты, прямые пересекаются.","Это та же самая прямая: совпадают и $k$, и $b$. Параллельные прямые не имеют общих точек."],"answer":[0]}},"hints":["У параллельных прямых $k$ одинаковые, а $b$ разные. Ищите число при $x$.","$y = 3-2x$: $k = -2$, $b = 3 \\ne 5$."],"step":1}],"mix":1}

k — скорость изменения величины

В задачах $x$ и $y$ — величины с единицами измерения. Пусть поездка на такси стоит так: $100$ рублей за посадку и $25$ рублей за каждый километр (условный тариф). Стоимость $y$ (руб.) зависит от пути $x$ (км): $y = 25x + 100$.

Стоимость поездки y = 25x + 100: x — путь в километрах, y — стоимость в рублях. За каждый километр (шаг вправо на 1) стоимость растет на 25 рублей (подъем). Подъем 25 рублей — это одна клетка, потому что по оси y одна клетка равна 25 рублям — Шаг $1$ км — подъем $25$ рублей. Одна клетка по оси $y$ — это $25$ рублей

Ступенька здесь — «$1$ км вправо, $25$ рублей вверх». Число $k = 25$ показывает, на сколько рублей дорожает поездка с каждым километром. Поэтому у $k$ есть единица измерения: рубли на километр. Число $b = 100$ — стоимость при $x = 0$, то есть посадка.

Правило

Если $y = kx + b$ описывает зависимость величин, то $k$ — скорость изменения $y$: на сколько меняется $y$ при увеличении $x$ на единицу. Единица $k$ — единица $y$, деленная на единицу $x$: руб./км, л/мин, км/ч.

Ошибка

Считают клетки, не глядя на масштаб: «ступенька на графике тарифа — шаг $1$ клетка, подъем $1$ клетка, значит, $k = 1$». Но одна клетка по оси $y$ здесь равна $25$ рублям. Подъем — $25$ рублей, $k = 25$. Если масштаб по осям разный, шаг и подъем читают по числам на осях.

Пример

В бочке $200$ л воды. Через кран каждую минуту вытекает $8$ л. Запишите формулу объема воды $V$ (л) через время $t$ (мин) и объясните смысл $k$. Через сколько минут бочка опустеет?

Решение. Каждую минуту объем уменьшается на $8$ л, значит, $k = -8$ л/мин. В начале ($t = 0$) воды $200$ л, $b = 200$. Формула: $V = -8t + 200$. Бочка пуста, когда $V = 0$: $-8t + 200 = 0$, $t = 25$.

Ответ: $V = -8t + 200$; объем уменьшается на $8$ л в минуту; бочка опустеет через $25$ минут.

Теперь вернемся к вопросу из начала урока. На знаке «Крутой подъем» написано $12\%$. Это значит, что на каждые $100$ м по горизонтали дорога поднимается на $12$ м. Если нарисовать дорогу на графике (по горизонтали — расстояние, по вертикали — высота), получится прямая со ступенькой «$100$ м вправо, $12$ м вверх».

Дорожный знак «Крутой подъем» с надписью 12% и профиль дороги в масштабе: на 100 метров по горизонтали дорога поднимается на 12 метров, k = 12 : 100 = 0,12 — Уклон $12\%$: подъем $12$ м на каждые $100$ м по горизонтали, $k = 0{,}12$. Профиль дороги нарисован в масштабе

Значит, $k = \frac{12}{100} = 0{,}12$. Процент уклона — это угловой коэффициент, умноженный на $100$. Уклон $100\%$ — подъем на $1$ м на каждый метр, как у прямой $y = x$: такая прямая наклонена под углом $45^\circ$.

{"questions":[{"content":"Высота свечи $h$ (см) через $t$ часов горения равна $h = 20-0{,}5t$. Что означает число $-0{,}5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Начальная высота свечи $0{,}5$ см","Свеча становится короче на $0{,}5$ см каждый час","Свеча становится длиннее на $0{,}5$ см каждый час","Свеча сгорит за $0{,}5$ часа"],"explanations":["Начальная высота — значение при $t = 0$, это $b = 20$ см.","","Знак «минус» означает уменьшение: $k = -0{,}5 < 0$.","Время сгорания — когда $h = 0$: $20-0{,}5t = 0$, $t = 40$ ч."],"answer":[1]}},"hints":["$k$ показывает, на сколько меняется $h$ при увеличении $t$ на $1$ час.","$k = -0{,}5$: каждый час высота уменьшается на $0{,}5$ см."],"step":1},{"content":"На графике — объем воды в баке $V$ (л) в зависимости от времени $t$ (мин). Найдите $k$.[[image-1]]$k =$ [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/o4kep9daevub.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["10","+10"],"inline":1}},"hints":["Посмотрите на числа на оси $V$: одна клетка — $10$ л, а не $1$. Возьмите узлы $(0;\\ 20)$ и $(1;\\ 30)$.","Шаг $1$ мин, подъем $30-20 = 10$ л: $k = 10$ л/мин. Ответ $1$ получился бы, если считать клетки без масштаба."],"step":1},{"content":"На знаке «Крутой спуск» написано $8\\%$. Дорогу изобразили прямой: $x$ — расстояние по горизонтали, $y$ — высота (в метрах). Дорога идет вниз при движении в сторону увеличения $x$. Найдите угловой коэффициент этой прямой.<br>$k =$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-0,08","−0,08","-0.08","−0.08"],"inline":1}},"hints":["$8\\%$ — спуск на $8$ м на каждые $100$ м по горизонтали.","Спуск — знак «минус»: $k = -\\frac{8}{100} = -0{,}08$."],"step":1}],"mix":1}

Задание 11 ОГЭ: формула по графику

В задании 11 ОГЭ нужно установить соответствие между графиками функций и формулами. Для линейных функций его решает ступенька. Разберем задачу.

Обратите внимание

На рисунках ОГЭ обычно подписаны только $0$ и $1$ на осях. Это значит, что одна клетка по каждой оси — единица, и ступеньку можно считать по клеткам.

Три графика в формате задания ОГЭ №11. А — прямая убывает, пересекает ось y в точке 2, ступенька: шаг 1, спуск 2. Б — прямая возрастает, пересекает ось y в точке 2, ступенька: шаг 1, подъем 2. В — прямая возрастает, пересекает ось y в точке 2, ступенька: шаг 2, подъем 1 — Три графика в формате задания 11 ОГЭ: отмечены только $0$ и $1$, клетки одинаковые

Задача

Установите соответствие между графиками А, Б, В и формулами: 1) $y = 2x + 2$; 2) $y = 0{,}5x + 2$; 3) $y = -2x + 2$.

Решение. У всех формул $b = 2$, все прямые пересекают ось $y$ в точке $(0;\ 2)$ — по $b$ их не различить. Смотрим на знак $k$: график А идет вниз, значит, $k < 0$ — это формула 3. Графики Б и В идут вверх. Ступенька Б: шаг $1$, подъем $2$, $k = 2$ — формула 1. Ступенька В: шаг $2$, подъем $1$, $k = 0{,}5$ — формула 2.

Ответ: А — 3, Б — 1, В — 2.

Как сопоставить график и формулу

Знак $k$. Прямая идет вверх слева направо — $k > 0$, вниз — $k < 0$.
Число $b$. Где прямая пересекает ось $y$: выше начала координат ($b > 0$), ниже ($b < 0$) или в нем ($b = 0$).
Высота ступеньки. Если по знакам формулы не различить, найдите $\lvert k \rvert$ по ступеньке: подъем : шаг.

{"questions":[{"content":"Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов.[[image-1]][[matcher-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bfw7ypeaqbzh.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["График А","График Б","График В"],"items":["$k > 0$, $b < 0$","$k < 0$, $b < 0$","$k < 0$, $b > 0$"]}},"hints":["Прямая идет вверх слева направо — $k > 0$, вниз — $k < 0$.","Точка пересечения с осью $y$ ниже начала координат — $b < 0$, выше — $b > 0$. А: вверх, ниже; Б: вниз, ниже; В: вниз, выше."],"step":1},{"content":"У всех трех прямых $b = -1$. Установите соответствие между графиками и формулами.[[image-2]][[matcher-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vqac5e46bjrh.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["График А","График Б","График В"],"items":["$y = \\frac{1}{2}x-1$","$y = -x-1$","$y = 2x-1$"]}},"hints":["По $b$ прямые не различить. Б идет вниз — у нее $k < 0$. А и В идут вверх: сравните высоту ступеньки.","А: шаг $2$, подъем $1$ — $k = \\frac{1}{2}$. В: шаг $1$, подъем $2$ — $k = 2$. Б: шаг $1$, спуск $1$ — $k = -1$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Число $k$ в формуле $y = kx + b$ — это ступенька прямой: на сколько меняется $y$, когда $x$ увеличивается на $1$.

$k > 0$ — ступеньки вверх, $k < 0$ — вниз, $k = 0$ — горизонтальная прямая.
По графику $k = \dfrac{\text{подъем}}{\text{шаг}}$ между двумя узлами; подъем в числителе, шаг всегда вправо.
Чем больше $\lvert k \rvert$, тем круче прямая; при равных $k$ и разных $b$ прямые параллельны.
В задаче $k$ — скорость изменения величины с единицей «единица $y$ на единицу $x$».

Где это пригодится. Ступенька помогает быстро строить прямые без таблицы, читать графики тарифов, движения и расхода, понимать уклоны дорог и пандусов. На физике скорость равномерного движения — это $k$ на графике пути. В ОГЭ по ступеньке решают задание 11.

Что дальше. В уроке «Функция y = |x| и ее график» график состоит из двух лучей: у правого ступенька вверх ($k = 1$), у левого — вниз ($k = -1$).

Часто задаваемые вопросы

Что показывает коэффициент k?

На сколько изменяется $y$, когда $x$ увеличивается на $1$. На графике это подъем (или спуск) ступеньки при шаге вправо на одну клетку. Знак $k$ показывает направление, а модуль — крутизну.

Как найти k по графику?

Найдите на прямой две точки в узлах сетки и идите от левой к правой. Посчитайте шаг (вправо) и подъем (вверх; спуск — с минусом). Разделите подъем на шаг. Если масштабы осей разные, считайте по числам на осях, а не по клеткам.

Почему k не зависит от того, какие точки выбрать?

Шаг $n$ складывается из $n$ шагов по $1$, и на каждом прямая поднимается на $k$. Поэтому подъем равен $n \cdot k$, и подъем : шаг $= k$ при любом $n$. Например, у прямой $y = \frac{2}{3}x-1$ шаг $3$ дает подъем $2$, шаг $6$ — подъем $4$.

Как по формулам узнать параллельные прямые?

Сравните числа при $x$. Если угловые коэффициенты равны, а числа $b$ разные, прямые параллельны. Если $k$ разные, прямые пересекаются.

Награды за урок