7 класс Алгебра Линейная функция и её график Линейная функция

Графическое решение уравнений

Содержание

В этом уроке научимся решать уравнения по рисунку: изобразим левую и правую части как две линии и посмотрим, где они встретились. Урок отвечает на вопрос: можно ли найти корень уравнения, почти ничего не вычисляя? Такой прием известен давно. В XI веке персидский математик Омар Хайям находил корни кубических уравнений по точкам пересечения двух кривых, а в 1637 году Рене Декарт в «Геометрии» показал, как задавать кривые уравнениями в координатах. В уроке «Функция y = |x| и ее график» мы уже решали так уравнение $|x| = a$. Теперь превратим этот прием в общий способ и выясним, когда рисунок дает точный ответ, а когда приближенный.

Две части уравнения — две линии

Возьмем уравнение $2x-1 = -x + 5$. Корень уравнения — число, при подстановке которого части уравнения становятся равными (урок «Уравнение и его корни»). Каждую часть можно считать функцией: левая — $y = 2x-1$, правая — $y = -x + 5$. Это линейные функции, их графики — прямые. Представьте две величины, которые меняются вместе с $x$: левую и правую части. Корень — значение $x$, при котором величины встретились, то есть стали равными. Составим таблицу значений.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
Левая часть $2x-1$	$-1$	$1$	$3$	$5$
Правая часть $-x + 5$	$5$	$4$	$3$	$2$

До $x = 2$ левая часть меньше правой, после — больше, а при $x = 2$ они равны $3$. Значит, $x = 2$ — корень. Теперь посмотрим то же самое на графиках. Точка, в которой они пересекаются, задается парой чисел $(2;\ 3)$. Первое число называют абсциссой: оно отложено по оси $x$. Второе — ординатой: оно отложено по оси $y$ и показывает, чему равны обе части при этом $x$.

Графики y = 2x − 1 (левая часть уравнения) и y = −x + 5 (правая часть) пересекаются в точке (2; 3). Абсцисса точки пересечения x = 2 — корень уравнения 2x − 1 = −x + 5; обе части равны 3, но число 3 в ответ не входит — Прямые $y = 2x-1$ и $y = -x + 5$ встречаются в точке $(2;\ 3)$. Корень уравнения — абсцисса $2$; число $3$, которому равны обе части, в ответ не входит

Как решить уравнение графически

Запишите левую часть как функцию $y = f(x)$, а правую — как $y = g(x)$.
Постройте оба графика в одной системе координат.
Найдите точки пересечения. Абсцисса каждой точки — корень уравнения $f(x) = g(x)$.
Проверьте корень подстановкой в обе части.

Пример

Решите графически уравнение $2x-1 = -x + 5$.

Решение. Строим $y = 2x-1$ (например, по точкам $(0;\ -1)$ и $(2;\ 3)$) и $y = -x + 5$ (по точкам $(0;\ 5)$ и $(5;\ 0)$). Прямые пересекаются в точке $(2;\ 3)$. Ее абсцисса равна $2$.

Проверка. Левая часть: $2 \cdot 2-1 = 3$. Правая часть: $-2 + 5 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $2$.

Ошибка

В ответ записывают всю точку $(2;\ 3)$ или число $3$. Но уравнение спрашивает, при каком $x$ части равны, поэтому ответ — только абсцисса точки пересечения. Ордината $3$ показывает, чему равны обе части при этом $x$; ее удобно использовать для проверки, но в ответ она не входит.

{"questions":[{"content":"Графики $y = x + 2$ и $y = -x + 8$ пересекаются в точке $(3;\\ 5)$. Какое число — корень уравнения $x + 2 = -x + 8$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3$","$5$","$8$","$(3;\\ 5)$"],"explanations":["","$5$ — это ордината точки: значение, которое принимают обе части при корне. Корень — абсцисса.","$8$ — свободный член правой части, к корню отношения не имеет.","Корень уравнения с одной переменной — число, а не пара чисел. Пара — это координаты точки."],"answer":[0]}},"hints":["Корень — значение $x$, при котором обе части равны. На графике $x$ откладывают по горизонтальной оси, это абсцисса точки.","У точки $(3;\\ 5)$ абсцисса $3$."],"step":1},{"content":"Найдите корень уравнения $3x-1 = x + 1$, подставляя в обе части значения $x = 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["При $x = 0$: $-1$ и $1$; при $x = 2$: $5$ и $3$. Левая часть из меньшей стала большей — равенство где-то между.","При $x = 1$: $3 \\cdot 1-1 = 2$ и $1 + 1 = 2$. Части равны, корень $1$."],"step":1}],"mix":1}

Зазор между линиями: корень — там, где он исчезает

Выберем число $x$ и сравним значения частей: $f(x)$ слева и $g(x)$ справа. Их разность $f(x)-g(x)$ назовем зазором (в старших классах это «разность функций»). Для уравнения $2x-1 = -x + 5$ зазор равен $(2x-1)-(-x + 5) = 3x-6$. Если зазор положителен, левая линия выше правой, если отрицателен — ниже, а если равен нулю — линии в этой точке встретились. Длина красного отрезка между линиями на рисунке равна модулю зазора, а знак показывает, какая линия выше.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
Зазор $3x-6$	$-6$	$-3$	$0$	$3$
Какая линия выше	правая	правая	равны	левая

Зазор между линиями y = 2x − 1 и y = −x + 5 по вертикали, левая минус правая: при x = 0 равен −6, при x = 1 равен −3, при x = 2 равен 0 (линии встретились), при x = 3 равен 3 — Красные отрезки — зазор между линиями. При $x = 0$ и $x = 1$ левая линия ниже правой, при $x = 2$ зазор исчез, при $x = 3$ левая линия выше

Зазор равен нулю при $3x-6 = 0$. Это линейное уравнение: $3x = 6$, $x = 2$. График и алгебра пришли к одному ответу. Вообще, решить уравнение $f(x) = g(x)$ — значит найти такое $x$, при котором зазор $f(x)-g(x)$ равен нулю.

Пример

Решите графически уравнение $0{,}5x + 1 = -x + 7$ и проверьте ответ вычислением.

Решение. Строим прямые $y = 0{,}5x + 1$ (точки $(0;\ 1)$ и $(2;\ 2)$) и $y = -x + 7$ (точки $(0;\ 7)$ и $(7;\ 0)$). Они пересекаются в точке $(4;\ 3)$, корень равен $4$.

Проверка подстановкой. $0{,}5 \cdot 4 + 1 = 3$ и $-4 + 7 = 3$.

Проверка зазором. Зазор $(0{,}5x + 1)-(-x + 7) = 1{,}5x-6$. Уравнение $1{,}5x-6 = 0$ дает $x = 4$. Оба способа дали один ответ.

Ответ: $4$.

Графики y = 0,5x + 1 и y = −x + 7 пересекаются в точке (4; 3). Абсцисса точки пересечения x = 4 — корень уравнения 0,5x + 1 = −x + 7 — Прямые $y = 0{,}5x + 1$ и $y = -x + 7$ встречаются при $x = 4$: оба значения равны $3$, зазор нулевой

Обратите внимание

Зазор $-6$ — не длина: длина не бывает отрицательной. Знак «минус» показывает только, какая линия ниже (здесь левая), а расстояние между линиями равно $6$.

{"questions":[{"content":"Для уравнения $2x-1 = -x + 5$ зазор при $x = 0$ равен $-6$. Что это значит на графике?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Левая линия на $6$ единиц ниже правой","Левая линия на $6$ единиц выше правой","Линии пересекаются в точке с абсциссой $-6$","Корень уравнения равен $-6$"],"explanations":["","Знак «минус» показывает, что левая линия ниже: значение левой части $-1$ меньше значения правой $5$.","Зазор $-6$ при $x = 0$ — разность значений при этом $x$, а не абсцисса пересечения. Пересечение — там, где зазор равен нулю.","Корень — такое $x$, при котором зазор равен нулю. При $x = 0$ зазор $-6$, значит, $0$ корнем не является."],"answer":[0]}},"hints":["Зазор — значение левой части минус значение правой: $(2 \\cdot 0-1)-5 = -1-5$.","Левая часть меньше правой на $6$, значит, левая линия ниже."],"step":1},{"content":"Найдите зазор $(3x-1)-(x + 5)$ при $x = 4$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2","+2"]}},"hints":["Левая часть: $3 \\cdot 4-1 = 11$. Правая часть: $4 + 5 = 9$.","Зазор $11-9 = 2$: левая линия выше правой на $2$ единицы."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Зазор положителен","Зазор отрицателен","Зазор равен нулю"],"items":["Левая линия выше правой","Левая линия ниже правой","Линии встретились: это корень"]}},"instruction":"Соотнесите значение зазора и расположение линий","hints":["Зазор — левая часть минус правая. Если левая больше, разность положительна.","Нулевой зазор — части равны, линии в одной точке."],"step":1}],"mix":1}

Встреча с уровнем и с осью x

Часто одна из частей уравнения — просто число. Например, в уравнении $3-2x = -1$ справа стоит число $-1$. Как функция оно записывается $y = -1$: значение $y$ равно $-1$ при любом $x$. Графиком служит горизонтальная прямая на высоте $-1$; назовем ее уровнем. Такую прямую мы встречали в уроке «Функция y = |x| и ее график»: $y = a$ пересекала график модуля. Теперь она встречается с любой прямой $y = kx + b$ (число $k$ называют угловым коэффициентом, $b$ — свободным членом, см. урок «Коэффициенты k и b»).

Решение уравнения 3 − 2x = −1: график y = 3 − 2x пересекает горизонтальную прямую y = −1 в точке (2; −1), корень x = 2 — График $y = 3-2x$ встречает прямую $y = -1$ в точке $(2;\ -1)$. Корень уравнения $3-2x = -1$ — число $2$

Пример

Решите графически уравнение $3-2x = -1$.

Решение. Строим $y = 3-2x$ (точки $(0;\ 3)$ и $(2;\ -1)$) и горизонтальную прямую $y = -1$. Они пересекаются в точке $(2;\ -1)$, корень равен $2$.

Проверка. $3-2 \cdot 2 = -1$. Равенство верное.

Ответ: $2$.

Особый уровень — нулевой. У уравнения $kx + b = 0$ справа стоит $0$, то есть прямая $y = 0$. Это сама ось $x$. Значит, корень уравнения $kx + b = 0$ — абсцисса точки, в которой график функции пересекает ось $x$. Такое число называют нулем функции: при нем значение функции равно нулю.

График y = 2x − 4 пересекает ось x в точке (2; 0). Это решение уравнения 2x − 4 = 0: правая часть — нуль, а график y = 0 — сама ось x. Корень x = 2 — График $y = 2x-4$ пересекает ось $x$ в точке $(2;\ 0)$: корень уравнения $2x-4 = 0$ равен $2$

Пример

Найдите нуль функции $y = 2x-4$.

Решение. Нужно решить уравнение $2x-4 = 0$. График $y = 2x-4$ проходит через точки $(0;\ -4)$ и $(2;\ 0)$. Ось $x$ он пересекает в точке $(2;\ 0)$, абсцисса равна $2$.

Проверка. $2 \cdot 2-4 = 0$.

Ответ: $2$.

Ошибка

Прямую $y = -1$ рисуют вертикально — через точку $-1$ на оси $x$. Но запись $y = -1$ говорит: значение $y$ всегда равно $-1$, а $x$ может быть любым. Значит, прямая идет горизонтально, параллельно оси $x$, на высоте $-1$ — ниже оси. Если нужно проверить рисунок, возьмите две точки: $(0;\ -1)$ и $(3;\ -1)$ — у обеих $y = -1$.

{"questions":[{"content":"Какая прямая нужна, чтобы решить графически уравнение $3x-2 = 4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Горизонтальная прямая $y = 4$","Вертикальная прямая $x = 4$","Ось $x$, то есть $y = 0$","Прямая $y = 3x + 4$"],"explanations":["","Прямая $x = 4$ состоит из точек с абсциссой $4$, а правая часть уравнения — число $4$ как значение $y$.","Ось $x$ нужна, когда справа стоит $0$, а здесь справа $4$.","Правая часть — просто число $4$, никакого $3x$ в ней нет."],"answer":[0]}},"hints":["Правая часть — число $4$. Как функция она записывается $y = 4$ и принимает значение $4$ при любом $x$.","Значит, нужна горизонтальная прямая на высоте $4$."],"step":1},{"content":"Чтобы решить графически уравнение $2x-6 = 0$, найдите абсциссу точки пересечения графика $y = 2x-6$ с [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["осью $x$","осью $y$","прямой $y = 6$","прямой $y = 2x$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Правая часть уравнения — число $0$, то есть прямая $y = 0$.","Прямая $y = 0$ — это ось $x$."],"step":1},{"content":"Найдите нуль функции $y = 2x-6$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Нуль функции — значение $x$, при котором $y = 0$. Решите уравнение $2x-6 = 0$.","$2x = 6$, $x = 3$."],"step":1}],"mix":1}

Сколько корней: три исхода встречи

Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Посмотрим, что это значит для уравнения. Возьмем левую часть $3x-3$ и три разные правые части.

Три случая для двух прямых: пересекаются (одна общая точка, один корень), параллельны (общих точек нет, корней нет), совпадают (все точки общие, корень — любое число) — Прямые пересекаются, параллельны или совпадают — у каждого расположения свой ответ

В интерактиве выберите уравнение, предскажите, сколько раз зазор окажется равным нулю, и проверьте себя.

uploaded-graph-gap-421cef5774ef

Объясним каждый случай через зазор.

$3x-3 = x + 1$. Зазор $2x-4$ обращается в нуль только при $x = 2$. Прямые имеют ровно одну общую точку, корень один.
$3x-3 = 3x + 1$. Зазор $-4$ при любом $x$ — одно и то же число, не нуль. Прямые параллельны, общих точек нет, корней нет.
$3x-3 = 3(x-1)$. Зазор равен $0$ при любом $x$. Прямые совпадают, любое число — корень.

Число корней уравнения

Для уравнения $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$:

$k_1 \ne k_2$: прямые пересекаются, корень один.
$k_1 = k_2$, $b_1 \ne b_2$: прямые параллельны, корней нет.
$k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$: прямые совпадают, корень — любое число.

Если угловые коэффициенты равны, прямые одинаково наклонены, поэтому расстояние по вертикали между ними не меняется.

Это те же три случая, что у уравнения $ax = b$ в уроке «Линейное уравнение»: зазор $(k_1-k_2)x + (b_1-b_2)$ после переноса даст $ax = b$, где $a = k_1-k_2$. При $a \ne 0$ один корень, при $a = 0$ и $b \ne 0$ корней нет, при $a = 0$ и $b = 0$ — любое число. График показывает это глазами.

Ошибка

Про совпавшие прямые говорят: «они не пересекаются в одной точке, значит, корней нет». Но у совпавших прямых общих точек бесконечно много, и абсцисса каждой — корень. Проверьте на числах: уравнение $3x-3 = 3(x-1)$ верно при $x = 0$ ($-3 = -3$), при $x = 5$ ($12 = 12$) и при любом другом $x$. Корней нет только у параллельных прямых.

{"questions":[{"content":"На рисунке в средней паре прямые параллельны. Что это значит для уравнения $3x-3 = 3x + 1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни при каком $x$ левая и правая части не равны","Корень равен $-4$, потому что зазор равен $-4$","Корень — любое число","Корень один, но очень большой"],"explanations":["","$-4$ — это зазор, а не корень: корень — такое $x$, при котором зазор равен нулю, а здесь он равен $-4$ при любом $x$.","Любое число — корень только у совпавших прямых, а здесь прямые различны: правая выше левой на $4$.","Если бы прямые пересекались далеко, зазор обратился бы в нуль. Но зазор всегда равен $-4$."],"answer":[0]}},"hints":["Параллельные прямые никогда не встречаются: у них нет общей точки.","Нет общей точки — нет такого $x$, при котором значения частей равны."],"step":1},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Один корень","Корней нет","Любое число"],"items":[["$2x + 1 = 5x-2$","$x-4 = -x + 6$"],["$4x + 1 = 4x-5$","$-x + 2 = -x + 7$"],["$2x + 6 = 2(x + 3)$","$5x-5 = 5(x-1)$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по числу корней","hints":["Сравните угловые коэффициенты левой и правой частей: разные — прямые пересекаются.","Если коэффициенты равны, сравните свободные члены: разные — параллельные прямые, равные — совпавшие."],"step":1},{"content":"Ученик утверждает: «У уравнения $7x-7 = 7(x-1)$ корней нет, потому что прямые не пересекаются в одной точке». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Прямые совпадают, поэтому корень — любое число","Корень один: $x = 1$","Корень равен $0$, потому что при $x = 0$ части равны","Корней нет, но причина другая: прямые параллельны"],"explanations":["","При $x = 1$ части равны $0$, но они равны и при любом другом $x$: $7x-7 = 7x-7$.","При $x = 0$ части равны $-7$, но это верно и при любом другом $x$, а не только при $0$.","Раскройте скобки: правая часть $7x-7$ совпадает с левой. Это одна и та же прямая, а не параллельные."],"answer":[0]}},"hints":["Раскройте скобки в правой части: $7(x-1) = 7x-7$.","Обе части одинаковы, значит, равенство верно при любом $x$."],"step":1}],"mix":1}

Когда ответ приближенный: график и подстановка

До сих пор пересечения попадали в узлы клетчатой сетки, и корень читался точно. Решим уравнение $2x-1 = -x + 4$.

Графики y = 2x − 1 и y = −x + 4 пересекаются в точке, абсцисса которой лежит между 1 и 2: примерно 1,7. Точный корень уравнения 5/3 по рисунку не прочитать — Прямые $y = 2x-1$ и $y = -x + 4$ пересекаются между узлами сетки: абсцисса точки лежит между $1$ и $2$

Абсцисса точки пересечения лежит между $1$ и $2$, ближе к $2$. Прочитаем ее примерно: $x \approx 1{,}7$. Проверим подстановкой: $2 \cdot 1{,}7-1 = 2{,}4$, а $-1{,}7 + 4 = 2{,}3$. Части почти равны, но не точно: зазор $0{,}1$, а не $0$. Значит, $1{,}7$ — приближенное значение корня, но не сам корень. Точный корень находится алгеброй: $3x = 5$, $x = \frac{5}{3}$.

Что дает график

Прочитайте корень по рисунку и проверьте подстановкой. Если части равны, корень точный. Если части почти равны (зазор мал), это приближенное значение: точный корень находят алгеброй. График при этом показывает, сколько корней и где они лежат.

Графический способ особенно нужен, когда формулы нет и есть только рисунок. Так устроены графики температуры, движения и тарифов из урока «Чтение графиков реальных зависимостей»: корень читают прямо по рисунку, а точность зависит от цены деления. В интерактиве прочитайте корень по графику и проверьте его подстановкой.

uploaded-graph-solve-check-802067744a6c

Ошибка

Читают абсциссу по рисунку и сразу записывают «$x = 1{,}7$» как точное значение. Если подставить $1{,}7$, левая и правая части отличаются: $2{,}4$ и $2{,}3$. Это сигнал: ответ приближенный, и в задаче, где требуется точный корень, его нужно найти алгеброй. Если же в условии написано «найдите приближенно» или «с точностью до целых», рисунка достаточно.

{"questions":[{"content":"Прямые $y = 2x-1$ и $y = -x + 4$ пересекаются между узлами сетки. Что верно про уравнение $2x-1 = -x + 4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корень лежит между $1$ и $2$, его точное значение находят алгеброй","Корень равен $2$, потому что график подходит к $2$","Корней нет, потому что точка не в узле сетки","Корень равен ординате точки пересечения"],"explanations":["","Подстановка $x = 2$: $2 \\cdot 2-1 = 3$ и $-2 + 4 = 2$ — части различны, значит, $2$ не корень.","Прямые пересекаются, поэтому корень есть. Просто его нельзя прочитать точно по сетке.","Ордината — значение обеих частей при корне, а корень — абсцисса."],"answer":[0]}},"hints":["Подставьте целые числа $x = 1$ и $x = 2$ и сравните части.","При $x = 1$: $1$ и $3$; при $x = 2$: $3$ и $2$. Левая часть из меньшей стала большей — встреча между $1$ и $2$."],"step":1},{"content":"Решите алгебраически уравнение $2x-1 = -x + 4$. Ответ дайте обыкновенной дробью, например $3/4$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5/3","1 2/3"]}},"hints":["Соберите слагаемые с $x$ слева, числа справа: $2x + x = 4 + 1$.","$3x = 5$, $x = 5/3$."],"step":1},{"content":"При $x = 1{,}7$ левая часть уравнения $2x-1 = -x + 4$ равна $2{,}4$, а правая — $2{,}3$. Число $1{,}7$ — это [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["приближенное значение корня","точный корень","число, далекое от корня","ордината точки пересечения"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Части почти равны: зазор $0{,}1$, а не $0$ — значит, это не точный корень.","Зазор мал, поэтому $1{,}7$ близко к корню $\\frac{5}{3}$. Ордината точки пересечения — другое число: $\\frac{7}{3}$."],"step":1}],"mix":1}

Не только прямые: уравнение с модулем

Графический способ работает для любых функций, графики которых мы умеем строить. Из урока «Функция y = |x| и ее график» мы знаем график $y = |x|$ — «галочку». Решим уравнение $|x| = x + 2$: построим «галочку» и прямую $y = x + 2$.

Графики y = |x| и y = x + 2. Левая ветвь графика модуля пересекает прямую в точке (−1; 1), правая ветвь параллельна прямой и ее не пересекает. Уравнение |x| = x + 2 имеет один корень x = −1 — Левая ветвь «галочки» встречает прямую $y = x + 2$ в точке $(-1;\ 1)$, правая ветвь параллельна ей и не встречает: один корень $-1$

Пример

Решите уравнение $|x| = x + 2$.

Решение. Строим $y = |x|$ и $y = x + 2$ (точки $(0;\ 2)$ и $(-2;\ 0)$). Правая ветвь «галочки» — прямая $y = x$ при $x \ge 0$ — параллельна $y = x + 2$, значит, не встречает ее. Левая ветвь пересекает прямую в точке $(-1;\ 1)$.

Проверка алгеброй. На левой ветви ($x \le 0$) модуль равен $-x$, поэтому уравнение принимает вид $-x = x + 2$, откуда $-2x = 2$ и $x = -1$.

Проверка подстановкой. $\lvert -1 \rvert = 1$ и $-1 + 2 = 1$. Верно.

Ответ: $-1$.

Здесь корень один, хотя у уравнения $|x| = a$ было два. Дело в правой части: теперь это не горизонтальная прямая, а наклонная, и она встречается с «галочкой» иначе. Зазор $|x|-(x + 2)$ на правой ветви равен $-2$ при любом $x$ — как у параллельных прямых. Число корней нужно смотреть по рисунку каждый раз.

Ошибка

Решают, как $|x| = a$: «модуль — значит, два корня» — и ищут числа $x$ и $-x$. Проверка подстановкой сразу находит промах. При $x = 2$: $|2| = 2$, а $2 + 2 = 4$. При $x = -2$: $\lvert -2 \rvert = 2$, а $-2 + 2 = 0$. Правило «два корня» верно только для горизонтальной правой части $a > 0$. Если правая часть наклонная, число встреч «галочки» с прямой видно только на рисунке.

{"questions":[{"content":"Прямая $y = x-1$ идет параллельно правой ветви «галочки» $y = |x|$ и на $1$ ниже нее. Сколько корней у уравнения $|x| = x-1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корней нет","Один корень","Два корня","Бесконечно много"],"explanations":["","Левая ветвь тоже не встречает прямую: при $x = 0$ модуль равен $0$, а прямая $y = x-1$ равна $-1$, то есть ниже. Общих точек нет.","Два корня были бы, если бы обе ветви пересекали прямую. Здесь не пересекает ни одна.","Бесконечно много корней — только когда графики совпадают. Здесь они различны."],"answer":[0]}},"hints":["Правая ветвь параллельна прямой, поэтому с ней не встречается. Проверьте левую ветвь: сравните значения при $x = 0$ и $x = -1$.","При $x = 0$: $0$ и $-1$. При $x = -1$: $1$ и $-2$. Прямая всегда ниже «галочки», общих точек нет."],"step":1},{"content":"Найдите корень уравнения $|x| = x + 8$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-4","−4"]}},"hints":["Правая ветвь «галочки» параллельна прямой $y = x + 8$, корень дает левая ветвь, где $|x| = -x$.","$-x = x + 8$, $-2x = 8$, $x = -4$. Проверка: $\\lvert -4 \\rvert = 4$ и $-4 + 8 = 4$."],"step":1}],"mix":1}

Когда величины сравняются: задача про два бака

Как в уроке «Чтение графиков реальных зависимостей», пересечение графиков — момент, когда две величины равны. Теперь запишем это уравнением. В первом баке $60$ л воды, и каждую минуту вытекает $3$ л. Во втором баке $20$ л, и каждую минуту набирается $2$ л. Через сколько минут воды в баках станет поровну?

Объем воды в первом баке через $t$ минут — $V = 60-3t$, во втором — $V = 20 + 2t$. Нужно найти $t$, при котором эти объемы равны: уравнение $60-3t = 20 + 2t$. Построим графики в координатах $(t;\ V)$.

Два бака: в первом 60 литров, и вода вытекает по 3 литра в минуту, во втором 20 литров, и вода наливается по 2 литра в минуту. Графики V = 60 − 3t и V = 20 + 2t пересекаются в точке (8; 36): через 8 минут в баках одинаково, по 36 литров — Графики пересекаются в точке $(8;\ 36)$: через $8$ минут в каждом баке по $36$ литров

Задача

Через сколько минут воды в баках будет поровну?

Решение. Графики $V = 60-3t$ и $V = 20 + 2t$ пересекаются в точке $(8;\ 36)$. Вопрос задачи — про время, поэтому ответ — абсцисса $t = 8$. Ордината $36$ показывает, сколько воды будет в каждом баке в этот момент.

Проверка алгеброй. $60-3t = 20 + 2t$, $5t = 40$, $t = 8$. При $t = 8$: $60-24 = 36$ и $20 + 16 = 36$.

Ответ: через $8$ минут.

Тот же прием работает, когда дан готовый рисунок с двумя графиками и нужно найти абсциссу точки пересечения.

Графики функций y = 2x − 5 и y = −x + 4 на клетчатой плоскости; они пересекаются в точке (3; 1) — Графики функций $y = 2x-5$ и $y = -x + 4$ на клетчатой плоскости

Пример

На рисунке изображены графики функций $y = 2x-5$ и $y = -x + 4$. Найдите абсциссу точки их пересечения.

Решение. Находим точку, где линии встретились: она лежит на пересечении вертикальной линии сетки $x = 3$ и горизонтальной линии $y = 1$. Абсцисса — число на оси $x$ под этой точкой, она равна $3$.

Проверка. $2 \cdot 3-5 = 1$ и $-3 + 4 = 1$. Значения равны.

Ответ: $3$.

{"questions":[{"content":"На графике двух баков по горизонтальной оси отложено время $t$, по вертикальной — объем $V$. Что нужно прочитать, чтобы узнать, через сколько минут воды в баках будет поровну?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Абсциссу точки пересечения","Ординату точки пересечения","Ординату точки на оси $V$","Расстояние между линиями при $t = 0$"],"explanations":["","Ордината пересечения — объем воды в баках в этот момент, а спрашивают про время.","Точка на оси $V$ — начальный объем одного из баков при $t = 0$.","Расстояние при $t = 0$ — разность начальных объемов, а не момент равенства."],"answer":[0]}},"hints":["Спрашивают, через сколько минут. Минуты отложены на горизонтальной оси.","Значит, нужна абсцисса точки, где графики встретились."],"step":1},{"content":"В первом баке $42$ л, и вода вытекает по $4$ л в минуту. Во втором — $12$ л, и вода набирается по $2$ л в минуту. Через сколько минут воды станет поровну?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5","unit":"мин"}},"hints":["Объемы через $t$ минут: $42-4t$ и $12 + 2t$. Приравняйте их.","$42-4t = 12 + 2t$, $6t = 30$, $t = 5$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Чтобы решить уравнение $f(x) = g(x)$ графически, постройте графики левой и правой частей. Корень — абсцисса точки пересечения. Ордината — значение обеих частей, в ответ она не входит.

Уравнение $kx + b = c$ решается встречей с горизонтальной прямой, а $kx + b = 0$ — встречей с осью $x$ (нуль функции).
Две прямые пересекаются (один корень), параллельны (корней нет) или совпадают (любое число). Это те же три случая, что у $ax = b$.
Точка в узле сетки дает точный корень, точка между узлами — приближенное значение. Ответ всегда проверяйте подстановкой.

Где это пригодится. Графики встречаются в задачах на сравнение тарифов, движение и работу, на уроках физики и географии, и вопрос в них один: где две величины равны? Хайям находил корни построением, по точкам встречи кривых. Вы теперь умеете так же, а точное значение и проверку дает алгебра.

Что дальше. Когда нужны обе координаты точки встречи, а не только абсцисса, переходят к системам уравнений: см. уроки «Системы линейных уравнений с двумя переменными» и «График линейного уравнения с двумя переменными».

Часто задаваемые вопросы

Почему в ответ идет абсцисса, а не ордината?

Уравнение с одной переменной спрашивает, при каком $x$ левая и правая части равны. Значение $x$ откладывают по горизонтальной оси, поэтому ответ — абсцисса точки пересечения. Ордината показывает, чему равны обе части при этом $x$.

Что значит «корень — любое число» на графике?

Прямые, которые изображают левую и правую части, совпали. У них общих точек бесконечно много, и абсцисса любой из них — корень. Например, $3x-3 = 3(x-1)$ верно при любом $x$.

Когда по графику можно записать точный ответ?

Когда точка пересечения лежит в узле сетки, а подстановка корня в обе части дает равные числа. Если точка между узлами, значение приближенное, и точный корень находят алгеброй.

Зачем графический способ, если есть алгебра?

График показывает, сколько корней и где они лежат, и помогает проверить алгебраический ответ. Он нужен и там, где есть только рисунок без формул: графики температуры, движения, тарифов.

Награды за урок