Область определения и область значений функции, свойства по графику

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Соотнесите формулу функции и ее область определения. Один ответ лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=\\dfrac{3}{x-2}$","$y=\\dfrac{x}{x+6}$","$y=\\dfrac{1}{2x}$","$y=\\dfrac{x-1}{4}$"],"items":["все числа, кроме $2$","все числа, кроме $-6$","все числа, кроме $0$","все числа","все числа, кроме $-2$"]}},"instruction":"Соотнесите формулу и область определения","hints":["На нуль делить нельзя: исключаем те $x$, при которых знаменатель, содержащий $x$, равен нулю.","Решите «знаменатель $=0$». Если знаменатель — число, исключать нечего; числитель на область определения не влияет.","Ответ: $y=\\dfrac{3}{x-2}$ — все числа, кроме $2$; $y=\\dfrac{x}{x+6}$ — все числа, кроме $-6$; $y=\\dfrac{1}{2x}$ — все числа, кроме $0$; $y=\\dfrac{x-1}{4}$ — все числа; «все числа, кроме $-2$» лишнее."],"step":1},{"id":"1","content":"Соотнесите формулу функции и ее область определения. Один ответ лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y=\\dfrac{5}{x+3}$","$y=\\dfrac{x+2}{x-7}$","$y=\\dfrac{8}{3x}$","$y=\\dfrac{2x+1}{5}$"],"items":["все числа, кроме $-3$","все числа, кроме $7$","все числа, кроме $0$","все числа","все числа, кроме $3$"]}},"instruction":"Соотнесите формулу и область определения","hints":["На нуль делить нельзя: исключаем те $x$, при которых знаменатель, содержащий $x$, равен нулю.","Решите «знаменатель $=0$». Если знаменатель — число, исключать нечего; числитель на область определения не влияет.","Ответ: $y=\\dfrac{5}{x+3}$ — все числа, кроме $-3$; $y=\\dfrac{x+2}{x-7}$ — все числа, кроме $7$; $y=\\dfrac{8}{3x}$ — все числа, кроме $0$; $y=\\dfrac{2x+1}{5}$ — все числа; «все числа, кроме $3$» лишнее."],"step":1},{"id":"2","content":"Из проволоки длиной 20 см согнули прямоугольник. Одна его сторона равна $x$ см, тогда другая — $(10-x)$ см, а площадь $S=x(10-x)$. По смыслу задачи область определения этой функции — [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$[0;10]$","все числа","$(0;10)$","$(0;20)$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Сторона прямоугольника — положительное число: $x>0$.","Вторая сторона тоже положительна: $10-x>0$, то есть $x<10$. При $x=0$ или $x=10$ прямоугольника нет.","Ответ: $(0;10)$."],"step":1},{"id":"2","content":"В пустой бак объемом 60 л наливают воду по 4 л в минуту, пока бак не наполнится. Объем воды в баке $V=4t$, где $t$ — время в минутах. По смыслу задачи область определения этой функции — [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$[0;60]$","$[0;15]$","$t\\ge 0$","$(0;15)$"],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Отсчет начинается при $t=0$ (бак пуст), и этот момент входит в процесс.","Бак наполнится, когда $4t=60$, то есть при $t=15$; этот момент тоже входит. Дальше воду не наливают.","Ответ: $[0;15]$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-1]]По графику найдите область определения функции.[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uvgf9uua523c.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$[-4;4]$","$[0;4]$","$(-4;4)$","$[-2;2]$"],"explanations":["","Левая граница области определения — наименьшее $x$ графика, а не нуль","Концы графика принадлежат ему: скобки квадратные","Это значения по оси $Oy$ (область значений), а $D$ читают по оси $Ox$"],"answer":[0]}},"hints":["Область определения — значения $x$, для которых есть точка графика.","График начинается при $x=-4$ и заканчивается при $x=4$.","$D=[-4;4]$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-2]]По графику найдите область определения функции.[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xdkl06sohr4w.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$[-3;6]$","$[-3;3]$","$[0;6]$","$(-3;6)$"],"explanations":["","Это значения по оси $Oy$ (область значений), а $D$ читают по оси $Ox$","Левая граница области определения — наименьшее $x$ графика, а не нуль","Концы графика принадлежат ему: скобки квадратные"],"answer":[0]}},"hints":["Область определения — значения $x$, для которых есть точка графика.","График начинается при $x=-3$ и заканчивается при $x=6$.","$D=[-3;6]$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-3]]По графику найдите область значений функции.[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zm1ji2adacgz.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$[0;2]$","$(-2;2)$","$[-2;2]$","$[-4;4]$"],"explanations":["Нижняя точка графика лежит ниже оси $Ox$","Крайние значения достигаются в точках графика: скобки квадратные","","Это значения по оси $Ox$ (область определения), а $E$ читают по оси $Oy$"],"answer":[2]}},"hints":["Область значений — значения $y$, которые принимает функция.","Самая низкая точка: $y=-2$, самая высокая: $y=2$.","$E=[-2;2]$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-4]]По графику найдите область значений функции.[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ehni0oyvpwwx.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$(-3;3)$","$[-3;6]$","$[-3;3]$","$[0;3]$"],"explanations":["Крайние значения достигаются в точках графика: скобки квадратные","Это значения по оси $Ox$ (область определения), а $E$ читают по оси $Oy$","","Нижняя точка графика лежит ниже оси $Ox$"],"answer":[2]}},"hints":["Область значений — значения $y$, которые принимает функция.","Самая низкая точка: $y=-3$, самая высокая: $y=3$.","$E=[-3;3]$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-5]]Найдите наименьшее значение функции по графику. [[input-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ewwull7lm0yo.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Наименьшее значение — ордината самой низкой точки графика.","Ответ: -2."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-6]]Найдите наименьшее значение функции по графику. [[input-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gepy1rnrn57g.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Наименьшее значение — ордината самой низкой точки графика.","Ответ: -3."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-7]]Найдите наименьший нуль функции по графику (значение $x$, при котором $y=0$). [[input-3]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dwt1kgokwpxq.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Нули — абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.","Нули: $-3$, $0$, $3$; наименьший — $-3$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-8]]Найдите наименьший нуль функции по графику (значение $x$, при котором $y=0$). [[input-4]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aadkfzcwqxtf.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Нули — абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.","Нули: $-1$, $4$; наименьший — $-1$."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-9]]На каких промежутках значения функции отрицательны?[[choice-5]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ylsee8uwgyyh.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$[-4;-3]$ и $[0;3]$","$(-4;4)$","$(-3;0)$ и $(3;4]$","$[-4;-3)$ и $(0;3)$"],"explanations":["В нулях $y=0$, а нужны строго отрицательные значения: скобки у $-3$, $0$ и $3$ круглые","Не на всей области определения значения отрицательны","На этих промежутках график выше оси: значения положительны",""],"answer":[3]}},"hints":["$y<0$ — график лежит ниже оси $Ox$.","В нулях функции $y=0$, поэтому эти точки не входят."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-10]]На каких промежутках значения функции отрицательны?[[choice-6]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dtxh7xa9fzxj.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$[-1;4]$","$[-3;-1)$ и $(4;6]$","$(-1;4)$","$(2;6)$"],"explanations":["В нулях $y=0$, а нужны строго отрицательные значения","На этих промежутках график выше оси: значения положительны","","Участок правее $x=4$ лежит выше оси"],"answer":[2]}},"hints":["$y<0$ — график лежит ниже оси $Ox$.","В нулях функции $y=0$, поэтому эти точки не входят."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-11]]На каком из промежутков большему значению $x$ соответствует большее значение функции?[[choice-7]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vgnjitnwfvyq.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$[-2;2]$","$[-4;4]$","$[-2;4]$","$[-4;-2]$"],"explanations":["На этом участке график идет вниз: функция убывает","Функция монотонна не на всей области определения: часть графика идет вниз","Внутри, на $[-2;2]$, график идет вниз: функция на нем убывает",""],"answer":[3]}},"hints":["Нужен участок, где график идет вверх при движении вправо, то есть функция возрастает.","Это участок от $x=-4$ до $x=-2$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-12]]На каком из промежутков большему значению $x$ соответствует большее значение функции?[[choice-8]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gewsgpasktqp.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$[-3;6]$","$[2;6]$","$[-3;3]$","$[-3;2]$"],"explanations":["Функция монотонна не на всей области определения: часть графика идет вниз","","Это значения $y$, а промежуток возрастания измеряют по оси $Ox$","На этом участке график идет вниз: функция убывает"],"answer":[1]}},"hints":["Нужен участок, где график идет вверх при движении вправо, то есть функция возрастает.","Это участок от $x=2$ до $x=6$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-13]]Вообразавр записал по графику: «$D=[-2;2]$ — между самой низкой и самой высокой точкой». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i65wmxnugm3x.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["взял не тот правый конец; верно $D=[-4;3]$","взял значения $y$ вместо $x$; верно $D=[-4;4]$","ошибки нет: $D$ — от низшей до высшей точки","ошибка в скобках; верно $D=(-2;2)$"],"explanations":["Правый конец графика — при $x=4$, а не в последнем нуле $x=3$","","Точка с $x=4$ лежит на графике, но не входит в такую $D$","Дело не в скобках: взяты значения не по той оси"],"answer":[1]}},"hints":["Область определения — значения $x$, проекция на ось $Ox$.","Вообразавр взял значения $y$ — это область значений.","Верно: $D=[-4;4]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-14]]Вообразавр записал по графику: «$D=[-3;3]$ — между самой низкой и самой высокой точкой». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qavxnfcxgygb.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["взял значения $y$ вместо $x$; верно $D=[-3;6]$","ошибки нет: $D$ — от низшей до высшей точки","взял не тот правый конец; верно $D=[-3;4]$","ошибка в скобках; верно $D=(-3;3)$"],"explanations":["","Точка с $x=6$ лежит на графике, но не входит в такую $D$","Правый конец графика — при $x=6$, а не в последнем нуле $x=4$","Дело не в скобках: взяты значения не по той оси"],"answer":[0]}},"hints":["Область определения — значения $x$, проекция на ось $Ox$.","Вообразавр взял значения $y$ — это область значений.","Верно: $D=[-3;6]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-15]]Вообразавр: «Функция убывает на $[-2;3]$: $f(-2)=2$, а $f(3)=0$ — справа значение меньше». Что верно?[[choice-11]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9xzc9j0ggjik.svg"},"choice-11":{"type":"choice","options":["функция возрастает на всем $[-2;3]$, ведь на нем есть подъем","на $[2;3]$ функция возрастает, поэтому убывает только на $[-2;2]$","убывание по графику определить нельзя, нужна формула","Вообразавр прав: справа значение меньше, значит функция убывает"],"explanations":["Не на всем: в начале промежутка график идет вниз","","По графику убывание видно: график идет вниз слева направо","Сравнение значений на концах не заменяет проверку на всем участке"],"answer":[1]}},"hints":["Убывание проверяют на всем участке: большему $x$ — меньшее $y$.","На $[2;3]$ график идет вверх.","Функция убывает только на $[-2;2]$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-16]]Вообразавр: «Функция убывает на $[-3;4]$: $f(-3)=3$, а $f(4)=0$ — справа значение меньше». Что верно?[[choice-12]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kyqrcqux9rar.svg"},"choice-12":{"type":"choice","options":["на $[2;4]$ функция возрастает, поэтому убывает только на $[-3;2]$","Вообразавр прав: справа значение меньше, значит функция убывает","убывание по графику определить нельзя, нужна формула","функция возрастает на всем $[-3;4]$, ведь на нем есть подъем"],"explanations":["","Сравнение значений на концах не заменяет проверку на всем участке","По графику убывание видно: график идет вниз слева направо","Не на всем: в начале промежутка график идет вниз"],"answer":[0]}},"hints":["Убывание проверяют на всем участке: большему $x$ — меньшее $y$.","На $[2;4]$ график идет вверх.","Функция убывает только на $[-3;2]$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>