Алгебра/7 класс/Системы линейных уравнений/Решение систем линейных уравнений/

Решение задач с помощью систем уравнений

Содержание

На этом уроке мы разберем применение систем уравнений для решения задач.

Алгоритм решения задач

Порядок решения задач с помощью систем уравнений:

Обозначаем некоторые неизвестные числа переменными и составляем систему уравнений.
Решаем систему уравнений.
В соответствии с условием задачи даем ответ.

Пример 1

Масса $30$ яблок и $10$ арбузов равна $32$ $кг.$ Найдите среднюю массу одного яблока и одного арбуза, если $10$ яблок легче $3$ арбузов на $2\space кг.$

Примем массу одного яблока за $\textcolor{blue}{x},$ а массу одного арбуза — за $\textcolor{coral}{y}.$ Тогда $30$ яблок и $10$ арбузов будут весить $32 \space кг$:

$$30\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}=32$$

Одновременно с этим нам известно, что $10$ яблок легче $3$ арбузов на $2 \space кг$:

$$3\textcolor{coral}{y}-10\textcolor{blue}{x}=2$$

Получилась система уравнений:$$\left\{\begin{aligned}30x+10y&=32\\3y-10x&=2\end{aligned}\right.$$

Показать решение

Скрыть

Решим данную систему методом сложения. Домножим нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{3},$ чтобы коэффициенты перед $\textcolor{blue}{x}$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}30x+10y&=32\\3y-10x&=2\space|\cdot \textcolor{orange}{3}\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}\textcolor{purple}{30}\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}&=32\\9\textcolor{coral}{y}\textcolor{purple}{-30}\textcolor{blue}{x}&=6\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}30x+10y&=32\\9y-30x&=6\end{aligned}\Rightarrow \cancel{\textcolor{purple}{30}\textcolor{blue}{x}}+10\textcolor{coral}{y}+9\textcolor{coral}{y}\cancel{\textcolor{purple}{-30}\textcolor{blue}{x}}=32+6$$

Найдем значение переменной $\textcolor{coral}{y},$ решив полученное уравнение:

$$10\textcolor{coral}{y}+9\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{32+6}$$ $$19\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{38}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{38}{19}=\textcolor{coral}{2}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$30\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}=32$$ $$30\textcolor{blue}{x}+10 \cdot \textcolor{coral}{2}=32$$ $$30\textcolor{blue}{x}=32-20=12$$ $$\textcolor{blue}{x}=\frac{12}{30}=\textcolor{blue}{0.4}$$

Решив данную систему получим, что $x=\textcolor{blue}{0.4} \space кг,$ а $y=\textcolor{coral}{2} \space кг.$

Ответ: масса одного яблока $0.4 \space кг,$ а арбуза — $2 \space кг.$

Пример 2

Взяли несколько двухрублевых и пятирублевых монет. Можно ли данными монетами набрать в сумме $57$ рублей, если известно, что всего монет было $15?$

Пусть количество двухрублевых монет — $\textcolor{blue}{x},$ а количество пятирублевых монет — $\textcolor{coral}{y}.$ Сложив все деньги мы должны получить $57$ рублей:

$$2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}=57$$

Одновременно с этим мы знаем, что всего монет было $15$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=15$$

Составим систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned}2x+5y&=57\\x+y&=15\end{aligned}\right.$$

Показать решение

Скрыть

Решим данную систему методом сложения. Домножим нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{-2},$ чтобы коэффициенты перед $\textcolor{blue}{x}$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}&=57\\ \textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=15\space|\cdot (\textcolor{orange}{-2})\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}&=57\\-2\textcolor{blue}{x}-2\textcolor{coral}{y}&=-30\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}2x+5y&=57\\-2x-2y&=-30\end{aligned}\Rightarrow 2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}-2\textcolor{blue}{x}-2\textcolor{coral}{y}=57-30$$

Найдем значение переменной $\textcolor{coral}{y},$ решив полученное уравнение:

$$\cancel{2\textcolor{blue}{x}}+5\textcolor{coral}{y}\cancel{-2\textcolor{blue}{x}}-2\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{57-30}$$ $$3\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{27}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{27}{3}=\textcolor{coral}{9}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в нижнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=15$$ $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{9}=15$$ $$\textcolor{blue}{x}=15-9=\textcolor{blue}{6}$$

Ответ: можно, взяв $\textcolor{blue}{6}$ двухрублевых и $\textcolor{coral}{9}$ пятирублевых монет.

{"questions":[{"content":"В квартире две комнаты занимают $19$ $м^2,$ причем площадь одной из комнат на $5\\space м^2$ больше, чем площадь второй. Найдите площадь меньшей комнаты.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5\\space м^2$","$7\\space м^2$","$12\\space м^2$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Примем площадь одной комнаты за $\\textcolor{blue}{x},$ а другой — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Известно, что площадь одной из комнат больше второй на $5\\space м^2$:$$\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=5$$ Сумма площадей комнат равна $19\\space м^2$:$$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ Получаем систему:$$\\left\\{\\begin{aligned}&x-y=5\\\\&x+y=19\\end{aligned}\\right.$$","Решим данную систему методом сложения:$$+\\begin{aligned}x-y&=5\\\\x+y&=19\\end{aligned}\\Rightarrow \\textcolor{blue}{x}\\cancel{-\\textcolor{coral}{y}}+\\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}=\\textcolor{darkgreen}{5+19}$$ $$2\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{24}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{24}{2}=\\textcolor{blue}{12}$$","Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$:$$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ $$\\textcolor{blue}{12}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ $$\\textcolor{coral}{y}=19-12=\\textcolor{coral}{7}$$","Комнаты имеют площади $\\textcolor{coral}{7} \\space м^2$ и $\\textcolor{blue}{12} \\space м^2$.$\\newline$Ответ: площадь меньшей комнаты — $7 \\space м^2.$"]}]}

Решение задач с помощью систем

Пример 3

Периметр равнобедренного треугольника равен $86 \space см.$ Найдите основание треугольника, если известно, что оно на $14 \space см$ больше боковой его стороны.

Показать решение и ответ

Скрыть

Так как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны. Примем боковую сторону за $\textcolor{blue}{x},$ а основание — за $\textcolor{coral}{y}.$

Периметр треугольника — это сумма длин всех его трех сторон: $\textcolor{blue}{x}+\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=86$ или $2\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=86.$

В то же время нам известно, что основание больше боковой стороны на $14\space см$: $$\textcolor{coral}{y}-\textcolor{blue}{x}=14$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}2x+y&=86\\y-x&=14\end{aligned}\right.$$

Решим данное уравнение методом подстановки. Выразим в нижнем уравнении $\textcolor{coral}{y}$ и подставим в верхнее уравнение: $$\left\{\begin{aligned}2x+\textcolor{coral}{y}&=86\\\textcolor{coral}{y}&=\textcolor{coral}{14+x}\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}2x+\textcolor{coral}{14+x}&=86\\\textcolor{coral}{y}&=\textcolor{coral}{14+x}\end{aligned}\right.$$

$$2\textcolor{blue}{x}+14+\textcolor{blue}{x}=86$$ $$3\textcolor{blue}{x}=86-14=72$$ $$\textcolor{blue}{x}=\frac{72}{3}=\textcolor{blue}{24}$$

Подставим найденное значение $\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение:

$$\textcolor{coral}{y}=14+\textcolor{blue}{x}$$ $$\textcolor{coral}{y}=14+\textcolor{blue}{24}=\textcolor{coral}{38}$$

Большая из сторон треугольника — основание, значит, оно равно $\textcolor{coral}{38}\space см,$ боковая сторона — $\textcolor{blue}{24}\space см.$

Ответ: основание равно $38\space см.$

Пример 4

На путь из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки катер тратит $4$ часа. На обратный путь против течения реки катер тратит $5$ часов. Найдите собственную скорость катера, если $70 \space км$ по течению реки он проходит за $3.5$ часа.

Показать решение и ответ

Скрыть

Пусть собственная скорость катера равна $\textcolor{blue}{x},$ а скорость течения реки — $\textcolor{coral}{y}.$ Тогда скорость катера по течению реки будет: $\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y},$ а скорость против течения реки: $\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y}.$ Расстояние равно произведению скорости на время. Сказано, что по течению реки за $4$ часа катер проходит такое же расстояние, как против течения реки за $5$ часов: $$4(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})=5(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y})$$

Дополнительно сказано, что $70\space км$ катер проходит по течению реки за $3.5$ часа: $$3.5(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})=70$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}4(x+y)&=5(x-y)\\3.5(x+y)&=70\end{aligned}\right.$$

В верхнем уравнении раскроем скобки, а в нижнем найдем скорость катера по течению реки: $$\left\{\begin{aligned}4(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})&=5(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y})\\3.5(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})&=70\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}4\textcolor{blue}{x}+4\textcolor{coral}{y}&=5\textcolor{blue}{x}-5\textcolor{coral}{y}\\ \textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=\frac{70}{3.5}=20\end{aligned}\right.$$

В верхнем уравнении перенесем все неизвестные влево и приведем подобные, а в нижнем уравнении выразим переменную $\textcolor{blue}{x}$: $$\left\{\begin{aligned}4\textcolor{blue}{x}-5\textcolor{blue}{x}+4\textcolor{coral}{y}+5\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=20\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}-\textcolor{blue}{x}+9\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}&=20-\textcolor{coral}{y}\end{aligned}\right.$$

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: $$+\begin{aligned}-\textcolor{blue}{x}+9\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}&=20-\textcolor{coral}{y}\end{aligned}\Rightarrow \cancel{-\textcolor{blue}{x}}+9\textcolor{coral}{y}+\cancel{\textcolor{blue}{x}}=0+20-\textcolor{coral}{y}$$

$$9\textcolor{coral}{y}=20-\textcolor{coral}{y}$$ $$10\textcolor{coral}{y}=20$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{20}{10}=\textcolor{coral}{2}$$

Найдем $\textcolor{blue}{x},$ поставив значение $\textcolor{coral}{y}$ в нижнее уравнение:

$$\textcolor{blue}{x}=20-\textcolor{coral}{y}$$ $$\textcolor{blue}{x}=20-\textcolor{coral}{2}=\textcolor{blue}{18}$$

Ответ: $18\space км/ч.$

Пример 5

Смешали некоторое количество $10\%$ раствора и $15\%$ раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято, если в результате получили $12\%$ раствор массой $80 \space г?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Примем массу первого раствора за $\textcolor{blue}{x},$ а второго — за $\textcolor{coral}{y}.$ В результате сложения этих раствором получили раствор массой $80 \space г$: $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=80$$

Масса кислоты в первом растворе равна $0.1\textcolor{blue}{x},$ а масса кислоты во втором растворе — $0.15\textcolor{coral}{y}.$ Масса кислоты в полученном растворе будет равна $\textcolor{purple}{0.12 \cdot 80}$: $$0.1\textcolor{blue}{x}+0.15\textcolor{coral}{y}=\textcolor{purple}{0.12 \cdot 80}=\textcolor{purple}{9.6}$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}x+y&=80\\0.1x+0.15y&=9.6\end{aligned}\right.$$

Решим данную систему методом сложения, домножив нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{-10}$: $$\left\{\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\0.1\textcolor{blue}{x}+0.15\textcolor{coral}{y}&=9.6 \space | \cdot (\textcolor{orange}{-10})\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\-\textcolor{blue}{x}-1.5\textcolor{coral}{y}&=-96\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных: $$+\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\-\textcolor{blue}{x}-1.5\textcolor{coral}{y}&=-96\end{aligned}\Rightarrow \cancel{\textcolor{blue}{x}}+\textcolor{coral}{y}\cancel{-\textcolor{blue}{x}}-1.5\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{80-96}$$

$$-0.5\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{-16}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{-16}{-0.5}=\textcolor{coral}{32}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=80$$ $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{32}=80$$ $$\textcolor{blue}{x}=80-32=\textcolor{blue}{48}$$

Ответ: $32\space г$ и $48 \space г.$

{"questions":[{"content":"Из двух городов, расстояние между которыми $38 \\space км,$ навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через $4$ часа. Найдите скорость первого туриста, если известно, что первый турист до встречи прошел на $2 \\space км$ больше, чем второй.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5 \\space км/ч$","$4 \\space км/ч$","$6 \\space км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость первого туриста — $\\textcolor{blue}{x},$ а второго — $\\textcolor{coral}{y}.$","Расстояние равно скорости, умноженной на время. За $4$ часа первый турист прошел $4\\textcolor{blue}{x},$ а второй — $4\\textcolor{coral}{y}.$ Всего они прошли $38 \\space км$: $$4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}=38$$","Также нам известно, что первый турист прошел на $2 \\spaceкм$ больше, чем второй: $$4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}=2$$ Составим систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}&4x+4y=38\\\\&4x-4y=2\\end{aligned}\\right.$$","Решим систему методом сложения: $$+\\begin{aligned}4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}&=38\\\\4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}&=2\\end{aligned}\\Rightarrow 4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}+4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38+2}$$","$$8\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{40}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{40}{8}=\\textcolor{blue}{5}$$","Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в верхнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}=38$$ $$4 \\cdot \\textcolor{blue}{5} + 4\\textcolor{coral}{y} =38$$ $$\\textcolor{darkgreen}{20}+4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38}$$ $$4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38-20}$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{18}{4}=\\textcolor{coral}{4.5}$$","Ответ: скорость первого туриста — $\\textcolor{blue}{5}\\space км/ч$"]}]}

Часто задаваемые вопросы

Есть ли разница, какое неизвестное принимать за $x,$ а какое — за $y?$

При вводе переменных нет никакой разницы, какое неизвестное принимать за $x,$ а какое — за $y.$ В качестве переменных также можно вводить любые строчные буквы латинского алфавита.

Есть ли разница, каким методом решать систему уравнений при решении задач?

Разницы при решении задач в выборе метода нет, как правило, выбирается тот метод, которым удобнее решить данную систему.

Проверим знания по теме?

Решение задач с помощью систем уравнений. Практика

Пройти тест

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Решение задач с помощью систем уравнений

Алгоритм решения задач

Пример 1

Пример 2

Решение задач с помощью систем

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Часто задаваемые вопросы

Проверим знания по теме?

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?