Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника

Содержание

    Итак, равнобедренный треугольник. Начнем немного издалека. Наиболее знаменательным (и, к слову, крупнейшим!) древнеегипетским архитектурным сооружением является Пирамида Хеопса. Найти ее любознательный путешественник может в пригороде Каира — современной столицы Египта.

    Даже несмотря на внушительный возраст — без малого, четыре с половиной тысяч лет, — этот памятник цивилизации пережил все возможные злоключения и единственным из Семи чудес света сохранился до наших дней. Что сказать: древние египтяне умели строить «по ГОСТу».

    Равнобедренный треугольник: определение

    Однако мы не о строительстве. Если присмотреться к древнеегипетским пирамидам как прежде всего к геометрическим фигурам, мы заметим, что грани пирамиды представляют собой треугольники. Довольно интересной формы.

    Обратите внимание на схематичное изображение Пирамиды Хеопса в поперечном разрезе. В треугольнике подобном гранями пирамид Древнего Египта боковые стороны являются равными по величине. Это — частный случай геометрии треугольников, который мы с вами сегодня и будем разбирать.  

    Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по величине.

    Значит, равнобедренный треугольник имеет равные «бедра» — боковые стороны при основании. На чертеже такой треугольник изображен и размечен отдельно. Посмотрите: в $\bigtriangleup{ABC}$ имеется основание $AB$ и боковые стороны $BC$ и $CA$, при этом $BC=CA$.

    Рисуйте правильно!

    В случае с треугольником с произвольно заданными сторонами и углами особой роли не играет, как вы разместите его на чертеже. Можно под углом, можно основанием параллельно к краю листа.

    Равнобедренный треугольник? Наоборот: крайне важно располагать его по принципу грани древнеегипетской пирамиды — основанием к «земле», то есть к низу, не под углом.

    Задача. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Основание $AB$ больше боковой стороны на $2~см$, но меньше суммы боковых сторон на $3~см$. Найдите стороны треугольника.

    Решение
    Обозначим боковую сторону треугольника как $y$, а основание как $x$. Согласно условию, можно записать два следующих уравнения:

    $$x=y+2,\\x=2y-3$$

    Подставим во второе уравнение вместо $x$ правую часть первого уравнения и вычислим значение боковой стороны: $2+y=2y-3.$ Откуда получаем значение $y$ равное $5$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому значение второй стороны также будет равняться $5$.

    Далее подставляем полученное значение в первое уравнение и находим основание: $$x=y+2=7$$

    Ответ: $5, 5, 7.$

    Свойства равнобедренного треугольника

    Теорема равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Доказательство. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$. По определению $BC=CA$. Проведем в треугольнике биссектрису $CD$ к основанию и рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$.

    Они равны по первому признаку равенства треугольников, то есть по двум сторонам и углу между ними: $BC=CA,$ $\angle{DCA}=\angle{BCD},$ биссектриса $CD$ — общая сторона. Если треугольники равны, то против равных сторон в них будут лежать равные углы. Откуда делаем вывод, что $\angle{CAB}=\angle{ABC}$. Теорема равнобедренного треугольника доказана.

    Мы помним, что периметр — сумма всех сторон треугольника. Равнобедренный треугольник — равные стороны при основании, так что для случая с таким треугольником формулу периметра можно немного «подлатать»: $P=2a+b$, где $a$ — длина боковой стороны, $b$ — длина основания.

    Медианы, биссектрисы, высоты и равнобедренный треугольник

    На чертеже равнобедренного треугольника выше внимание привлекает вот что: биссектриса равнобедренного треугольника как будто бы является одновременно и высотой в треугольнике, и медианой.

    На самом деле нам не кажется. Одно из главных свойств равнобедренных треугольников заключается в том, что проводя, к примеру, медиану, вы получаете в то же самое время высоту и биссектрису равнобедренного треугольника. И это все один отрезок. Сформируем на основе наших предположений теорему и докажем ее.

    Теорема о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.

    Доказательство

    Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. К основанию $AB$ проведена медиана $CD$. Треугольники $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$ будут равны по первому признаку треугольников: $\angle{CAB}$ и $\angle{ABC}$ равны по теореме об углах равнобедренного треугольника, стороны $BC$ и $CA$ равны по определению равнобедренного треугольника, $AD=DB$ по определению медианы.

    Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle{ACD}$ и $\angle{BCD}$. Тогда $CD$ — биссектриса. Углы $\angle{ADC}$ и $\angle{BDC}$ равны из доказанного равенства треугольников $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$. Эти углы являются смежными.

    Раз сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ и углы при этом равны, то они оба равняются $90^{\circ}$. Из этого следует, что $CD$ — высота. Теорема доказана.

    Совет!

    Eсли проводите в равнобедренном треугольнике, скажем, медиану, сразу отмечайте на чертеже свойство высоты и биссектрисы.

    Или в любом другом порядке, в зависимости от того, что за отрезок требуется в условии. Это поможет постоянно иметь перед глазами свойства равнобедренного треугольника, что значительно облегчит доказательство утверждения или решение задачи.  

    Задача #1

    На рисунке изображен $\bigtriangleup{ABC}$, где $BC=CA$. Известно, что $\angle{1}=130^{\circ}$. Чему равняется значение угла $\angle{2}$?

    Дано:
    $\bigtriangleup{ABC}$
    $BC=CA$
    $\angle{1}=130^{\circ}$

    Найти:
    $\angle{2}~—~?$

    Решение
    Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$. В нем по условию боковые стороны $BC$ и $CA$ равны. Следовательно $\bigtriangleup{ABC}$ — равнобедренный треугольник, по определению равнобедренного треугольника.

    Угол $\angle{1}$ — смежный угол с $\angle{ABC}$. Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$, откуда получаем значение $\angle{ABC}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}.$ По теореме о равнобедренном треугольнике, углы при основании равнобедренных треугольников равны. Тогда $\angle{ABC}=\angle{CAB}$.

    Угол $\angle{2}$ — вертикальный угол с $\angle{CAB}$. По теореме о равенстве вертикальных углов получаем, что $\angle{CAB}=\angle{2}=\angle{ABC}=50^{\circ}.$

    Ответ: $50^{\circ}.$

    Равнобедренный треугольник: задача для самостоятельного решения  

    Попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае сложностей мы поможем: готовое решение скрыто ниже.

    В равнобедренном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$ проведена медиана $CD$. Найдите длину медианы $CD$, если периметр треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $32~см$, а периметр треугольника $\bigtriangleup{ADC}$ равен $24~см$.

    Показать решение

    Скрыть решение

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABC}$
    $P_{\bigtriangleup{ABC}}=32~см$
    $P_{\bigtriangleup{ADC}}=24~см$

    Найти:

    $CD~—~?$

    Решение
    Для удобства отметим боковые стороны $\bigtriangleup{ABC}$ как $a$, медиану $CD$ как $x$, основание как $b$. По определению медианы $AD=DB=0,5b$. Тогда мы можем записать два следующих уравнения: $$2a+b=32\\a+0,5b+x=24.$$ Умножим второе уравнение на $2$ и получим: $$2a+b+2x=48.$$ Подставим значение $2a+b$ во второе уравнение и найдем $x$: $$2x+32=48.$$ Откуда получаем $x=8.$

    Ответ: $CD=8~см.$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Следующий урок

    Второй и третий признаки равенства треугольников
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ