Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника

Итак, равнобедренный треугольник. Начнем немного издалека. Наиболее знаменательным (и, к слову, крупнейшим!) древнеегипетским архитектурным сооружением является Пирамида Хеопса. Найти ее любознательный путешественник может в пригороде Каира — современной столицы Египта.

Даже несмотря на внушительный возраст — без малого, четыре с половиной тысяч лет, — этот памятник цивилизации пережил все возможные злоключения и единственным из Семи чудес света сохранился до наших дней. Что сказать: древние египтяне умели строить «по ГОСТу».

Равнобедренный треугольник: определение

Однако мы не о строительстве. Если присмотреться к древнеегипетским пирамидам как прежде всего к геометрическим фигурам, мы заметим, что грани пирамиды представляют собой треугольники. Довольно интересной формы.

Обратите внимание на схематичное изображение Пирамиды Хеопса в поперечном разрезе. В треугольнике подобном гранями пирамид Древнего Египта боковые стороны являются равными по величине. Это — частный случай геометрии треугольников, который мы с вами сегодня и будем разбирать.  

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по величине.

Значит, равнобедренный треугольник имеет равные «бедра» — боковые стороны при основании. На чертеже такой треугольник изображен и размечен отдельно. Посмотрите: в $\bigtriangleup{ABC}$ имеется основание $AB$ и боковые стороны $BC$ и $CA$, при этом $BC=CA$.

{"questions":[{"content":"Если в треугольнике равны не только боковые стороны, но и боковые стороны равны основанию, можно ли назвать такой треугольник <b>равнобедренными?</b> [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет","Да, но это будет неполное геометрическое определение"],"explanations":["","","Так держать! <br /><br />Треугольник, в котором равны все стороны, считается <i>равнобедренным</i>, ведь боковые стороны в нем равны. Однако при равенстве трех сторон корректнее употреблять термин <b>«равносторонний»</b>. О треугольниках с равными сторонами поговорим отдельно чуть позже."],"answer":[2]}}}]}

Задача. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Основание $AB$ больше боковой стороны на $2~см$, но меньше суммы боковых сторон на $3~см$. Найдите стороны треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$. По определению $BC=CA$. Проведем в треугольнике биссектрису $CD$ к основанию и рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$.

Они равны по первому признаку равенства треугольников, то есть по двум сторонам и углу между ними: $BC=CA,$ $\angle{DCA}=\angle{BCD},$ биссектриса $CD$ — общая сторона. Если треугольники равны, то против равных сторон в них будут лежать равные углы. Откуда делаем вывод, что $\angle{CAB}=\angle{ABC}$. Теорема равнобедренного треугольника доказана.

Мы помним, что периметр — сумма всех сторон треугольника. Равнобедренный треугольник — равные стороны при основании, так что для случая с таким треугольником формулу периметра можно немного «подлатать»: $P=2a+b$, где $a$ — длина боковой стороны, $b$ — длина основания.

{"questions":[{"content":"Известно, что угол при основании равнобедренного треугольника равняется $65^{\\circ}$. Также известно, что сумма углов треугольника составляет $180^{\\circ}$. Чему равняется угол, противолежащий основанию? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"50"}}}]}

Медианы, биссектрисы, высоты и равнобедренный треугольник

На чертеже равнобедренного треугольника выше внимание привлекает вот что: биссектриса равнобедренного треугольника как будто бы является одновременно и высотой в треугольнике, и медианой.

На самом деле нам не кажется. Одно из главных свойств равнобедренных треугольников заключается в том, что проводя, к примеру, медиану, вы получаете в то же самое время высоту и биссектрису равнобедренного треугольника. И это все один отрезок. Сформируем на основе наших предположений теорему и докажем ее.

Теорема о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.

{"questions":[{"content":"Надеемся, что вы не забыли между делом про существование <b>равносторонних треугольников</b> — тех, в которых равны не только боковые стороны, но вообще все стороны. Будет ли биссектриса равностороннего треугольника являться и медианой, и высотой, если она проведена к боковой стороне, а не к основанию? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да","Нет","Только если проведена к основанию"],"explanations":["Равносторонний треугольник наследует свойства равнобедренного треугольника. Значит, у него каждая сторона может выступать в роли своего рода «основания равнобедренного треугольника». Вот и получается, что к какой бы стороне мы ни проводили биссектрису, она будет и медианой, и высотой... И вообще работает это в любом порядке.","",""],"answer":[0]}}}]}

Задача #1

На рисунке изображен $\bigtriangleup{ABC}$, где $BC=CA$. Известно, что $\angle{1}=130^{\circ}$. Чему равняется значение угла $\angle{2}$?

Равнобедренный треугольник: задача для самостоятельного решения  

В равнобедренном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$ проведена медиана $CD$. Найдите длину медианы $CD$, если периметр треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $32~см$, а периметр треугольника $\bigtriangleup{ADC}$ равен $24~см$.

Показать решение

Скрыть решение