0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника

Содержание

    Итак, равнобедренный треугольник. Начнем немного издалека. Наиболее знаменательным (и, к слову, крупнейшим!) древнеегипетским архитектурным сооружением является Пирамида Хеопса. Найти ее любознательный путешественник может в пригороде Каира — современной столицы Египта.

    Даже несмотря на внушительный возраст — без малого, четыре с половиной тысяч лет, — этот памятник цивилизации пережил все возможные злоключения и единственным из Семи чудес света сохранился до наших дней. Что сказать: древние египтяне умели строить «по ГОСТу».

    Равнобедренный треугольник: определение

    Однако мы не о строительстве. Если присмотреться к древнеегипетским пирамидам как прежде всего к геометрическим фигурам, мы заметим, что грани пирамиды представляют собой треугольники. Довольно интересной формы.

    Обратите внимание на схематичное изображение Пирамиды Хеопса в поперечном разрезе. В треугольнике подобном гранями пирамид Древнего Египта боковые стороны являются равными по величине. Это — частный случай геометрии треугольников, который мы с вами сегодня и будем разбирать.  

    Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по величине.

    Значит, равнобедренный треугольник имеет равные «бедра» — боковые стороны при основании. На чертеже такой треугольник изображен и размечен отдельно. Посмотрите: в $\bigtriangleup{ABC}$ имеется основание $AB$ и боковые стороны $BC$ и $CA$, при этом $BC=CA$.

    Рисуйте правильно!

    В случае с треугольником с произвольно заданными сторонами и углами особой роли не играет, как вы разместите его на чертеже. Можно под углом, можно основанием параллельно к краю листа.

    Равнобедренный треугольник? Наоборот: крайне важно располагать его по принципу грани древнеегипетской пирамиды — основанием к «земле», то есть к низу, не под углом.

    Задача. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Основание $AB$ больше боковой стороны на $2~см$, но меньше суммы боковых сторон на $3~см$. Найдите стороны треугольника.

    Решение
    Обозначим боковую сторону треугольника как $y$, а основание как $x$. Согласно условию, можно записать два следующих уравнения:

    $$x=y+2,\\x=2y-3$$

    Подставим во второе уравнение вместо $x$ правую часть первого уравнения и вычислим значение боковой стороны: $2+y=2y-3.$ Откуда получаем значение $y$ равное $5$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому значение второй стороны также будет равняться $5$.

    Далее подставляем полученное значение в первое уравнение и находим основание: $$x=y+2=7$$

    Ответ: $5, 5, 7.$

    Свойства равнобедренного треугольника

    Теорема равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Доказательство. Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$. По определению $BC=CA$. Проведем в треугольнике биссектрису $CD$ к основанию и рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$.

    Они равны по первому признаку равенства треугольников, то есть по двум сторонам и углу между ними: $BC=CA,$ $\angle{DCA}=\angle{BCD},$ биссектриса $CD$ — общая сторона. Если треугольники равны, то против равных сторон в них будут лежать равные углы. Откуда делаем вывод, что $\angle{CAB}=\angle{ABC}$. Теорема равнобедренного треугольника доказана.

    Мы помним, что периметр — сумма всех сторон треугольника. Равнобедренный треугольник — равные стороны при основании, так что для случая с таким треугольником формулу периметра можно немного «подлатать»: $P=2a+b$, где $a$ — длина боковой стороны, $b$ — длина основания.

    Медианы, биссектрисы, высоты и равнобедренный треугольник

    На чертеже равнобедренного треугольника выше внимание привлекает вот что: биссектриса равнобедренного треугольника как будто бы является одновременно и высотой в треугольнике, и медианой.

    На самом деле нам не кажется. Одно из главных свойств равнобедренных треугольников заключается в том, что проводя, к примеру, медиану, вы получаете в то же самое время высоту и биссектрису равнобедренного треугольника. И это все один отрезок. Сформируем на основе наших предположений теорему и докажем ее.

    Теорема о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.

    Доказательство

    Дан равнобедренный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. К основанию $AB$ проведена медиана $CD$. Треугольники $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$ будут равны по первому признаку треугольников: $\angle{CAB}$ и $\angle{ABC}$ равны по теореме об углах равнобедренного треугольника, стороны $BC$ и $CA$ равны по определению равнобедренного треугольника, $AD=DB$ по определению медианы.

    Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle{ACD}$ и $\angle{BCD}$. Тогда $CD$ — биссектриса. Углы $\angle{ADC}$ и $\angle{BDC}$ равны из доказанного равенства треугольников $\bigtriangleup{ADC}$ и $\bigtriangleup{DBC}$. Эти углы являются смежными.

    Раз сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ и углы при этом равны, то они оба равняются $90^{\circ}$. Из этого следует, что $CD$ — высота. Теорема доказана.

    Совет!

    Eсли проводите в равнобедренном треугольнике, скажем, медиану, сразу отмечайте на чертеже свойство высоты и биссектрисы.

    Или в любом другом порядке, в зависимости от того, что за отрезок требуется в условии. Это поможет постоянно иметь перед глазами свойства равнобедренного треугольника, что значительно облегчит доказательство утверждения или решение задачи.  

    Задача #1

    На рисунке изображен $\bigtriangleup{ABC}$, где $BC=CA$. Известно, что $\angle{1}=130^{\circ}$. Чему равняется значение угла $\angle{2}$?

    Дано:
    $\bigtriangleup{ABC}$
    $BC=CA$
    $\angle{1}=130^{\circ}$

    Найти:
    $\angle{2}~—~?$

    Решение
    Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$. В нем по условию боковые стороны $BC$ и $CA$ равны. Следовательно $\bigtriangleup{ABC}$ — равнобедренный треугольник, по определению равнобедренного треугольника.

    Угол $\angle{1}$ — смежный угол с $\angle{ABC}$. Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$, откуда получаем значение $\angle{ABC}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}.$ По теореме о равнобедренном треугольнике, углы при основании равнобедренных треугольников равны. Тогда $\angle{ABC}=\angle{CAB}$.

    Угол $\angle{2}$ — вертикальный угол с $\angle{CAB}$. По теореме о равенстве вертикальных углов получаем, что $\angle{CAB}=\angle{2}=\angle{ABC}=50^{\circ}.$

    Ответ: $50^{\circ}.$

    Равнобедренный треугольник: задача для самостоятельного решения  

    Попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае сложностей мы поможем: готовое решение скрыто ниже.

    В равнобедренном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ с основанием $AB$ проведена медиана $CD$. Найдите длину медианы $CD$, если периметр треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $32~см$, а периметр треугольника $\bigtriangleup{ADC}$ равен $24~см$.

    Показать решение

    Скрыть решение

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABC}$
    $P_{\bigtriangleup{ABC}}=32~см$
    $P_{\bigtriangleup{ADC}}=24~см$

    Найти:

    $CD~—~?$

    Решение
    Для удобства отметим боковые стороны $\bigtriangleup{ABC}$ как $a$, медиану $CD$ как $x$, основание как $b$. По определению медианы $AD=DB=0,5b$. Тогда мы можем записать два следующих уравнения: $$2a+b=32\\a+0,5b+x=24.$$ Умножим второе уравнение на $2$ и получим: $$2a+b+2x=48.$$ Подставим значение $2a+b$ во второе уравнение и найдем $x$: $$2x+32=48.$$ Откуда получаем $x=8.$

    Ответ: $CD=8~см.$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение