Карточки
Тесты
Зави
Равнобедренный и равносторонний треугольники
Равнобедренный и равносторонний треугольники
Вы уже знаете первый признак равенства треугольников и умеете проводить медиану, биссектрису и высоту треугольника. В этом уроке разберем треугольник, который складывается сам на себя, — равнобедренный: докажем его свойства и признак и познакомимся с равносторонним треугольником.
Вопрос для начала: как строители Древнего Египта проверяли, что кладка горизонтальна, если пузырькового уровня у них не было? Ответим в последнем разделе.
Основание — не та сторона, что внизу
Вырежьте из бумаги треугольник $ABC$, у которого $AB = AC = 5$ см, а $BC = 6$ см. Перегните его по биссектрисе угла $A$ — по линии, которая кладет луч $AB$ на луч $AC$. Сторона $AB$ ляжет на сторону $AC$, а раз они равны, вершина $B$ попадет точно в $C$. Треугольник сложился сам на себя.
Сторона $BC$ особая: ее половинки легли одна на другую. Она лежит напротив вершины $A$, где сходятся равные стороны.
Определение
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, третью сторону — основанием. Вершина, в которой сходятся боковые стороны, — вершина равнобедренного треугольника, углы, прилежащие к основанию, — углы при основании.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.
Равносторонний треугольник — тоже равнобедренный, и основанием у него можно считать любую сторону.
Ошибка
В треугольнике $RST$ стороны $RS$ и $ST$ равны, и нарисован он так, что внизу оказалась сторона $ST$. Решавр рассуждает: «Основание — нижняя сторона $ST$, значит, равны углы при ней: $\angle S = \angle T$».
Проверим. Транспортир покажет $\angle S = 70^\circ$, $\angle T = 55^\circ$ — углы не равны. Перегнем треугольник по биссектрисе угла $S$, где сходятся равные стороны: вершина $R$ ляжет на $T$, и совпадут углы $R$ и $T$, каждый по $55^\circ$.
Где сломалось рассуждение: основание выбрано по положению на листе, а оно лежит против вершины $S$, где сходятся равные стороны. Это $RT$, и равны углы $R$ и $T$.
Сгиб совмещает углы при основании
Вернемся к сложенному треугольнику $ABC$. При сгибе вершина $B$ легла на $C$, сторона $AB$ — на $AC$, а основание $BC$ — само на себя. Линия сгиба пересекла основание в точке $D$. Поэтому угол $B$ лег на угол $C$: углы при основании совпали.
Но сгиб — опыт с одним листком. Чтобы ответить сразу для всех равнобедренных треугольников, нужно доказательство. Его дает перевернутая калька.
Скопируйте треугольник на кальку, переверните ее и положите на треугольник так, чтобы вершины $A$ совпали. Копия ляжет точно, только $B$ и $C$ поменяются местами. Запишем это наложение строго.
Теорема (свойство углов при основании)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$, $AB = AC$. Доказать: $\angle B = \angle C$.
Доказательство. Сравним треугольник $ABC$ с его перевернутой копией — треугольником $ACB$. Вершина $A$ соответствует $A$, вершина $B$ — вершине $C$, вершина $C$ — вершине $B$.
1) $AB = AC$ (по условию).
2) $AC = AB$ (по условию).
3) $\angle BAC = \angle CAB$ (это один и тот же угол $A$, он лежит между названными сторонами).
По первому признаку $\triangle ABC = \triangle ACB$. Вершине $B$ первого треугольника соответствует вершина $C$ второго, поэтому $\angle B = \angle C$. Что и требовалось доказать.
Интересный факт: «мост ослов»
Скрыть
В «Началах» Евклида эта теорема — пятое предложение первой книги. В средневековых университетах ее прозвали «мостом ослов»: на ней застревали те, кому геометрия давалась с трудом. Короткое доказательство, где треугольник сравнивают с ним же «наоборот», Прокл приписывает Паппу Александрийскому — его мы и разобрали.
Пример 1
В равнобедренном треугольнике $MPT$ с основанием $PT$ угол $P$ равен $48^\circ$. Сторону $PT$ продлили за точку $T$ до точки $K$. Найдите угол $MTK$.
Решение. $PT$ — основание, поэтому $\angle MTP = \angle P = 48^\circ$ (углы при основании). Углы $MTP$ и $MTK$ смежные: сторона $TM$ общая, а лучи $TP$ и $TK$ лежат на одной прямой. Значит, $\angle MTK = 180^\circ-48^\circ = 132^\circ$.
Ответ: $132^\circ$.
Три линии к основанию сливаются в одну
Посмотрите еще раз на линию сгиба $AD$. Она — биссектриса: сгиб положил луч $AB$ на луч $AC$. Но тот же сгиб положил $BD$ на $DC$, значит, $D$ — середина основания. А смежные углы $ADB$ и $ADC$ совпали, значит, каждый из них прямой. Один сгиб дал сразу биссектрису, медиану и высоту.
Теорема (свойство биссектрисы, проведенной к основанию)
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$, $AB = AC$, $AD$ — биссектриса. Доказать: $AD$ — медиана и высота.
Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$.
1) $AB = AC$ (по условию).
2) $AD$ — общая сторона.
3) $\angle BAD = \angle CAD$ ($AD$ — биссектриса).
По первому признаку $\triangle ABD = \triangle ACD$. Значит, $BD = CD$ как соответственные стороны, и $AD$ — медиана. Кроме того, $\angle ADB = \angle ADC$ как соответственные углы. Эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$, поэтому каждый равен $180^\circ : 2 = 90^\circ$, и $AD$ — высота. Что и требовалось доказать.
Отсюда следует больше. Медиана из вершины $A$ идет в середину основания, а середина у отрезка одна — это $D$. Высота из $A$ — перпендикуляр к прямой $BC$, а из точки к прямой можно провести только один перпендикуляр (урок «Перпендикулярные прямые») — это тоже $AD$. Значит, медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, — один и тот же отрезок.
Прямая $AD$ проходит через середину отрезка $BC$ и перпендикулярна ему, поэтому точки $B$ и $C$ симметричны относительно нее, а точка $A$ лежит на ней. Прямая $AD$ — ось симметрии равнобедренного треугольника (урок «Осевая симметрия»).
Пример 2
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $BC = 10$ см, угол $BAC$ равен $80^\circ$, $AD$ — медиана. Найдите $BD$, $\angle BAD$ и $\angle ADB$.
Решение. $AD$ — медиана, поэтому $BD = 10 : 2 = 5$ см. Медиана, проведенная к основанию, — тот же отрезок, что биссектриса и высота. Поэтому $\angle BAD = 80^\circ : 2 = 40^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$.
Ответ: $5$ см, $40^\circ$, $90^\circ$.
Ошибка
В треугольнике $ABC$ $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$, $AM$ — медиана. Решавр пишет: «$AM$ — медиана, значит, она и высота: $AM \perp BC$».
Проверим. Начертим этот треугольник точно и измерим угол $AMB$ транспортиром: около $68^\circ$, а не $90^\circ$.
Где сломалось рассуждение: свойство доказано только для отрезка к основанию равнобедренного треугольника. В доказательстве первой парой было $AB = AC$, а здесь $AB = 5$, $AC = 7$: сгиб по $AM$ не кладет $B$ на $C$.
Обратное утверждение нужно доказывать заново
Свойство из второго раздела устроено так: «если две стороны равны, то углы при основании равны». А если равны два угла, — равны ли стороны? Поменяв местами условие и заключение, получаем новое утверждение.
Пример. Утверждение «вертикальные углы равны» верно. Поменяем местами: «если углы равны, то они вертикальные». Это неверно: углы $B$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ равны, но не вертикальные — у них даже вершины разные.
Определение
Обратное утверждение — утверждение, в котором условие и заключение данного утверждения поменялись местами. Даже если утверждение верно, обратное к нему может оказаться неверным, поэтому его доказывают отдельно.
Обратное к свойству углов при основании: «если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный». Проверим его той же перевернутой калькой. Только теперь известны углы, а про стороны ничего не известно.
Теорема (признак равнобедренного треугольника)
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство
Дано: $\triangle ABC$, $\angle B = \angle C$. Доказать: $AB = AC$.
Доказательство. 1) Скопируем треугольник $ABC$ на кальку — получим треугольник $A_1B_1C_1$. Перевернем кальку и положим $B_1$ на $C$, а луч $B_1C_1$ — на луч $CB$, причем $A_1$ — по ту же сторону от $BC$, что и $A$. Так как $B_1C_1 = BC$, точка $C_1$ ляжет на $B$.
2) $\angle B_1 = \angle B = \angle C$ (по условию), поэтому луч $B_1A_1$ пойдет по лучу $CA$.
3) $\angle C_1 = \angle C = \angle B$ (по условию), поэтому луч $C_1A_1$ пойдет по лучу $BA$.
4) Точка $A_1$ лежит и на луче $CA$, и на луче $BA$. Прямые $CA$ и $BA$ имеют только одну общую точку — $A$. Значит, $A_1$ легла на $A$.
5) Отрезок $A_1B_1$ совпал с отрезком $AC$, а $A_1B_1 = AB$. Значит, $AB = AC$. Что и требовалось доказать.
Признак удобно помнить так: против равных углов лежат равные стороны, а основание — сторона между равными углами.
Пример 3
В треугольнике $DEF$ $\angle D = \angle F$, $DE = 12$ см, $DF = 9$ см. Найдите сторону $EF$ и периметр треугольника.
Решение. Против угла $D$ лежит сторона $EF$, против угла $F$ — сторона $DE$. Углы равны, поэтому по признаку $EF = DE = 12$ см, а основание — $DF$. Периметр: $12+12+9 = 33$ см.
Ответ: $EF = 12$ см, периметр $33$ см.
Отвес строителя и треугольник с тремя осями
Египетские строители пользовались А-образным уровнем: две равные ноги скреплены вверху, как буква А, посередине перекладины — отметка. С вершины свисает отвес — нить с грузом, она всегда вертикальна. Если нить проходит через отметку, кладка под ногами горизонтальна.
Почему это работает? Вершина $A$ и концы ног $B$ и $C$ образуют равнобедренный треугольник с основанием $BC$. Концы перекладины на равных расстояниях от $A$, поэтому отрезок от $A$ к отметке — медиана, а значит, и биссектриса угла $A$ в маленьком равнобедренном треугольнике. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ идет в середину $M$ отрезка $BC$. Поэтому нить проходит через отметку ровно тогда, когда проходит через $M$. Тогда $AM$ — медиана к основанию, а значит, и высота: нить вертикальна и перпендикулярна $BC$ — кладка горизонтальна.
Если кладка наклонена, нить не перпендикулярна $BC$. А перпендикуляр из $A$ к прямой $BC$ один — это $AM$, поэтому нить проходит мимо отметки: по линии сгиба отвес идет, только когда опора горизонтальна.
У равностороннего треугольника $ABC$ основанием можно считать любую сторону. Из $AB = AC$ следует $\angle B = \angle C$, из $BA = BC$ следует $\angle A = \angle C$. Значит, все три угла равны. Обратно: если все углы треугольника равны, то по признаку $AB = AC$ и $AB = BC$, и треугольник равносторонний.
Свойства равностороннего треугольника
В равностороннем треугольнике все углы равны. Каждая его биссектриса является медианой и высотой, а осей симметрии у него три.
Ось симметрии кладет треугольник сам на себя: одна вершина остается на месте, а две другие меняются местами. Значит, стороны, которые выходят из неподвижной вершины, равны. Поэтому у равнобедренного треугольника, который не равносторонний, ось одна, а у треугольника без равных сторон осей симметрии нет.
Пример 4
Две стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 7 см. Найдите его периметр.
Решение. Не сказано, какая сторона боковая, поэтому рассмотрим оба случая.
1) Боковые стороны по 5 см, основание 7 см: $5+5+7 = 17$ см.
2) Боковые стороны по 7 см, основание 5 см: $7+7+5 = 19$ см.
Оба треугольника можно начертить.
Ответ: $17$ см или $19$ см.
Вывод
Равнобедренный треугольник встретится во многих задачах на доказательство и в заданиях ОГЭ. Чтобы вспомнить главное, представьте треугольник, сложенный сам на себя.
Основание ищите против вершины, где сходятся равные стороны, а свойства применяйте только к равнобедренному треугольнику и к отрезку, проведенному к основанию.
Часто задаваемые вопросы
Сгиб проверяет один вырезанный треугольник, да и то с точностью бумаги. Доказательство верно сразу для всех равнобедренных треугольников, даже тех, что никто не рисовал.
Да. Пусть $AH$ — высота и медиана треугольника $ABC$. Тогда в треугольниках $ABH$ и $ACH$ $BH = CH$, сторона $AH$ общая, углы при $H$ прямые. По первому признаку треугольники равны, значит, $AB = AC$.
Все три угла равны между собой — это мы доказали. Сколько в каждом градусов, узнаете в уроке о сумме углов треугольника.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий