Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Высота треугольника, биссектриса и медиана

Содержание

    Из вершин треугольника к противолежащим от вершин сторонам можно проводить различные отрезки, причем так, чтобы получать «интересные данные» внутри фигуры. К примеру, отрезок из вершины можно опустить таким образом, что в итоге он «приземлится» ровно посередине противолежащей от вершины стороны. В геометрии существует три подобных отрезка, что задают для треугольника новые геометрические параметры — высота треугольника, биссектриса треугольника и медиана треугольника.

    Высота треугольника

    Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup{ABC},$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$, образующий при этом перпендикуляр к стороне $AB$. Тогда отрезок $CD$ будет являться высотой треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Аналогичный перпендикуляр можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

    Получается, что:

    Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

    В остроугольном треугольнике — где углы имеют значение $<90^{\circ}$ — чертеж высот не вызывает сложности: они всегда будут пересекаться внутри треугольника. Однако если треугольник тупоугольный — один из углов имеет значение $>90^{\circ},$ — провести высоту будет уже не так интуитивно просто.

    Осмотрите треугольник $\bigtriangleup{PMK}$ выше, с тупым углом $\angle{M}$.

    Нам необходимо провести высоту из вершины $K$ к стороне $PM$. Подумайте, как будет располагаться отрезок, выполните чертеж и сравните свои предположения со скрытым чертежом.

    Пересечение высот: как найти высоту треугольника

    Выходит, что в остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной строго внутри треугольника — никаких дополнительных построений не требуется.

    Высоты в тупоугольном треугольнике пересекаются в точке, расположенной вне треугольника, — чтобы найти высоту треугольника, необходимо достраивать продолжение сторон. Так, в случае с нашим тупоугольным треугольником, высоты пересекаются в точке $O$ — внимание на чертеж выше.

    Биссектриса угла треугольника

    Биссектриса угла треугольника, чертеж.

    Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup{ABC},$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$ таким образом, что $\angle{C}$ делится отрезком $CD$ на два равных друг другу угла. Тогда отрезок $CD$ будет называться биссектрисой угла треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ (от лат. ‘bi’ — «два», ‘secare’ — «резать»).

    По аналогии с высотами, биссектриса угла треугольника опускается как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

    Дадим определение:

    Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину с противолежащей стороной и делящий при этом угол данной вершины пополам.

    Чертеж биссектрисы угла.

    В отличие от высоты, биссектриса — понятие, теснее связанное с углом, чем с треугольником, поэтому ряд ее свойств больше определяет геометрию углов, чем геометрию треугольников. Например, одно из таких замечательных свойств связано со смежными углами. Оказывается, что биссектрисы, проведенные из смежных углов, будут образовывать прямой угол. Давайте это докажем!  

    Теорема о биссектрисах смежных углов. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

    Доказательство. $\angle{AOC}$ является смежным с $\angle{COE}$. $OB$ — биссектриса $\angle{AOC};$ $OD$, соответственно, биссектриса $\angle{COE}$. По свойству смежных углов известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. То есть:

    $$\angle{AOC}+\angle{COE}=180^{\circ}.$$

    Согласно условию $\angle{AOB}=\angle{BOC}=\frac{\angle{AOC}}{2}$, $\angle{COD}=\angle{DOE}=\frac{\angle{COE}}{2}$. Тогда уравнение выше можно представить в следующем виде:

    $$2\angle{BOC}+2\angle{COD}=180^{\circ}$$

    Разделим обе части уравнения на $2$ и получим: $\angle{BOC}+\angle{COD}=90^{\circ}.$ $\angle{BOC}+\angle{COD}$ равняется $\angle{BOD}$. Теорема доказана.   

    Медиана

    Наконец, проведем отрезок $CD$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ таким образом, что сторона $AB$ поделится на два равных друг другу отрезка. Мы получили третий важный отрезок в треугольнике — медиану (от лат. ‘medianus’ — «средний»).  

    По определению:

    Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.

    Обратили внимание?

    Медианы, как и биссектрисы с высотами, пересекаются в одной точке внутри треугольника. Исключением является тупоугольный треугольник и его высоты: высоты в тупоугольном треугольнике пересекаются вне треугольника.

    Доказать это, к сожалению, нам пока не по силам, ибо требуется знание нескольких важных теорем, которые мы обязательно изучим в курсе далее. Как только, так сразу. Пока — принять, понять, поверить, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

    Решим задачу!

    В $\bigtriangleup{ABC}$ проведена медиана $AD$ к стороне $BC$. Продолжение медианы проходит через точку $E$, расположенную вне треугольника так, что $AD=DE$. Докажите, что треугольники $\bigtriangleup{ACD}$ и $\bigtriangleup{BED}$ равны.

    Дано:

    $\bigtriangleup{ABC}$
    $CD=DB$
    $AD=DE$

    Найти:

    $\bigtriangleup{ACD}=\bigtriangleup{BED}$

    Решение
    Рассмотрим $\bigtriangleup{ACD}$ и $\bigtriangleup{BED}$. В них углы $\angle{ADC}$ и $\angle{BDE}$ равны как вертикальные. По заданному условию $AD=DE$. Также имеем равенство сторон $CD=DB$ — по определению медианы: отрезка, делящего противолежащую от угла сторону на два равных отрезка.

    Следовательно $\bigtriangleup{ACD}= \bigtriangleup{BED}$ по первому признаку равенства треугольников: двум сторонам и углу, лежащему между ними.

    Что и требовалась доказать.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение