0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Перпендикулярные прямые

Содержание

    Разберемся, что такое перпендикулярные прямые. Для этого начертим две произвольно пересекающиеся прямые $a$ и $b$ под углом $\alpha$. Вообще, как мы знаем, две прямые при пересечении образуют четыре угла. Значит, любой из оставшихся углов будет образовывать с углом $\alpha$ либо смежный угол, либо вертикальный.

    Из этого мы можем сделать вывод, что если при пересечении двух прямых один угол прямой, то остальные углы также являются прямыми. Перед вами — частный случай пересечения прямых, которые в данном контексте будут называться перпендикулярными.

    Определение перпендикулярных прямых

    Итак, какие прямые называются перпендикулярными:

    Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

    Чтобы строго доказать, что каждый из образуемых углов будет прямым, разметим на нашем чертеже оставшиеся углы — углы $\beta$, $\gamma$ и $\delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что угол $\alpha$ задан определением и равняется $90^{\circ}$.

    1. Угол $\beta$ — смежный с углом $\alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. Если $\alpha=90^{\circ}$, то $\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.

    2. Вертикальные углы равны. Угол $\beta$ вертикален углу $\delta$, следовательно угол $\delta$ так же, как и $\beta$, равняется $90^{\circ}$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — $\alpha$ и $\gamma$.

    Итого: $\alpha=90^{\circ}$, $\beta=90^{\circ}$, $\gamma=90^{\circ}$, $\delta=90^{\circ}$. Все углы —  прямые.

    Перпендикуляр к прямой

    Пусть на плоскости лежат прямая $a$ и точка $A$. Так, из точки $A$ к прямой $a$ можно опустить перпендикуляр.

    Он представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной к заданной, с концом в точке пересечения. Отметим точку пересечения как $B$. Получившийся отрезок $AB$ и есть перпендикуляр к прямой $a$. Однако если говорить грамотно, точка пересечения обычно называется основанием перпендикуляра.

    Перпендикулярность в геометрической нотации обозначается значком «$\perp$». К примеру, если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, кратко записывается это следующим образом: $a\perp{b}$. В случае отрезка-перпендикуляра $AB$, что мы разобрали выше, можно было бы записать: $AB\perp{a}$.

    Легко запомнить!

    Значок визуально напоминает мини-версию чертежа перпендикуляра к прямой.  

    Единственность перпендикуляра

    Важно понимать: одна точка — один перпендикуляр. Вы не можете провести через одну точку прямой более одного перпендикуляра к ней. Это — теорема о единственности перпендикуляра, и формально она звучит так:  

    Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

    Далее мы воспользуемся крайне сподручным математическим инструментом — доказательством от противного. Подобный вид доказательства заключается в отрицании тезиса доказательства. В математике вам еще не раз придется прибегать к данному способу заключения истинности утверждений.

    Предположим, что это неправда и через одну точку прямой проходят сразу два перпендикуляра. На данном чертеже «основной» перпендикуляр отмечен прямой $b$, «альтернативный» — прямой $c$. Угол $(ab)$ по определению прямой. Но по определению прямым является и угол $(ac)$.

    Мы знаем, что от прямой можно отложить только один угол заданной градусной меры, а у нас их два. Явно возникшее противоречие сообщает о единственности перпендикуляра к точке прямой.

    Осторожно, строительные работы

    Решили вы, значит, прикрепить навесную полку к стене. Установка прошла прекрасно, только… Кажется, висит полка криво. Или нет? Своего рода иллюзия обмана? Глаз может подвести, необходимо достать-таки объективное доказательство. Поможет вам решить спорный вопрос бесхитростное приспособление, применяемое строителями еще со времен Древнего Египта. А то и раньше. Называется оно отвес.

    Отвес представляет собой грузик, прикрепленный к гибкой нити. Грузик хоть и небольшой, но увесистый, а еще имеет специальную форму заостренного конуса, что позволяет нитке, натянутой грузиком, показывать идеальную вертикальную линию. Если прикрепить отвес к ровному потолку, по углу, образованному прямыми, будет понятно, действительно ли полка весит криво. Прямой угол — «прямая» полка.   

    Интересный поворот в истории про перпендикулярные прямые: древние римляне отвес нарекли словом ‘perpendiculum’ — от глагольной формы ‘perpendō’, в переводе примерно — «я точно измеряю». Так что существительное «перпендикуляр» и его производные восходят к тому, как Populus Romanus называли отвес.

    Связь между параллельностью и перпендикулярностью

    Если наша полка в итоге висит идеально ровно по отношению к потолку, то с точки зрения планиметрии прямые, образованные полкой и потолком, будут называться параллельными. Параллельный — то есть непересекающийся: иными словами, такие прямые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Подробнее свойства параллельности мы разберем в курсе геометрии далее.

    Пока просто дадим определение:

    Параллельные прямые — прямые, что находятся в одной плоскости и не имеют точек пересечения.

    Разберем ситуацию, когда помимо двух параллельных прямых имеется перпендикулярная к одной из них. Начертим параллельные прямые $a$ и $b$. К прямой $a$ проведем перпендикуляр $c$ и достроим его до прямой $b$.

    Если $c$ перпендикулярна к $a$, то она также перпендикулярна и к $b$, при условии, что $a$ и $b$ — параллельны. Доказать это можно классическим наложением прямых или, опять же, через метод доказательства от противного.

    Подумайте, как применить доказательство от противного, чтобы прийти к выводу, что перпендикулярность и параллельность связаны друг с другом. Делитесь своими идеями в комментариях под уроком!

    Связь между параллельностью и перпендикулярностью записать можно и «в обратном порядке»: если две (или более, — количество прямых может быть бесконечным) прямые перпендикулярны к третьей, то эти две прямые — параллельны.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение