0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Смежные углы

Содержание

    Углы на плоскости можно объединять в типы по градусам (например, тип «острый угол» $0^\circ\leq{x}<90^\circ$). Также в геометрии выделяются и виды углов, куда входят составные углы-фигуры. В следующих уроках текущего раздела вас ждет подробное изучение подобных фигур и их свойств. А открывать тему мы будем, давая определение смежных углов.

    ❓Мы разберем:

    — какие углы называются смежными;
    — свойства смежных углов;
    — и узнаем, чему равняется сумма смежных углов.

    Определение смежных углов



    Построим на плоскости развернутый угол $\angle{ABC}$ и проведем через вершину угла $B$ луч $BD$. Рассмотрим полученную в результате построений фигуру.

    Для углов $\angle{ABD}$ и $\angle{DBC}$ сторона $BD$ является общей. При этом, как мы можем заметить, другие стороны данных углов являются дополнительными лучами. Если два угла имеют такую ориентацию на плоскости, они называются смежными.

    Дадим определение смежных углов:

    Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.   

    Смежные углы и их свойства

    Смежные углы — соседи, живущие через стенку.

    Из свойств лучей нам известно, что вкупе дополнительные лучи образуют прямую. Таким образом, смежные углы — углы-соседи, «проживающие» на одной прямой. Эта геометрическая особенность подразумевает ряд интересных свойств, одно из которых — связь смежных с развернутыми углами.

    Градусная мера смежных углов

    Теорема о сумме смежных углов. Сумма смежных углов равняется $180^\circ$.  

    Доказательство

    Пусть $\angle{ABD}$ и $\angle{DBC}$ — произвольные смежные углы. Докажем, что сумма смежных углов равняется $180^\circ$. Заметим, что луч $BD$ проходит между сторонами развернутого угла $\angle{ABC}$. Градусная мера развернутого угла равняется $180^\circ$.

    По аксиоме $A_8$ мы помним, что градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Значит:

    $$\angle{ABC}=\angle{ABD}+\angle{DBC}=180^\circ$$

    Градусная мера смежных углов в сумме составляет $180^\circ$. Что и требовалось доказать.



    Задача. Какова градусная мера смежных углов, если про смежные углы известно, что один их них в три раза больше другого?

    Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла как $x$. Если больший угол больше меньшего в три раза, его градусную меру можно обозначить как $3x$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Пользуясь данным свойством, составим следующее уравнение:

    $$x+3x=180^\circ$$

    Откуда получаем значение меньшего угла $x=45^\circ$. Больший угол по условию больше в три раза и, следовательно, будет равняться $135^\circ$. Градусная мера смежных углов найдена и составляет $45^\circ$ и $135^\circ$.

    Ответ: $45^\circ$, $135^\circ$.

    Сумма смежных углов: следствие из теоремы

    Поскольку градусная мера смежных углов в сумме строго определяется как $180^\circ$, это позволяет сделать вывод о том, что если два угла равны, то равны будут и смежные с ними углы. В геометрии бездоказательно выводы приводить нельзя, так что оформим данное наблюдение в виде следствия из теоремы и докажем его.

    Итак:

    Следствие из теоремы о сумме смежных углов. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

    Доказательство

    Рассмотрим два равных угла — $\angle{1}$ и $\angle{2}$. Если углы равны, равны их градусные меры. Обозначим градусную меру углов как $x$ и запишем следующее:

    $$\begin{cases}\angle{1}=x^\circ\\\angle{2}=x^\circ\end{cases}$$

    Сумма смежных углов равняется $180^\circ$. Тогда смежный угол с $\angle{1}$ равен «$180^\circ-x^\circ$». То же самое заключаем про градусную меру угла, смежного с $\angle{2}$: «$180^\circ-x^\circ$». У равных углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равные смежные углы. Что и требовалось доказать.

    Острые, тупые и прямые углы

    Рассмотрим три возможные ситуации на предмет типов углов по градусам, которые могут встретиться в составе смежных.


    Один из углов — острый. Если градусная мера одного угла $0^\circ\leq{\angle{\alpha}}<90^\circ$, то второй угол в паре смежных получается тупым (в границах $90^\circ<x<180^\circ$).


    Один из углов — тупой. Известно, что один из углов в паре $90^\circ<\angle{\alpha}<180^\circ$. В таком случае второй, с ним смежный, будет иметь градусную меру $0^\circ\leq{x}<90^\circ$.

    Один из углов — прямой. Если один из углов имеет градусную меру $90^\circ$, то второй также равняется $90^\circ$. Угол, смежный с прямым, тоже будет прямым.  

    Задача для самостоятельного решения

    Не получается решить? Мы поможем: готовое решение задачи скрыто ниже. Можно, если что, подсмотреть. Только чуть-чуть!

    Задача. Чему равен $\angle{\alpha}$, если $\angle{ABE}=125^\circ$ и $\angle{DBC}=115^\circ?$

    Показать решение

    Свернуть решение

    Дано:

    $\angle{ABE}=125^\circ$ $\angle{DBC}=115^\circ$

    Найти:

    $\angle{\alpha}$ — ?

    Решение. Во-первых, найдем значения углов, смежных с $\angle{ABE}$ и $\angle{DBC}$. По теореме о сумме смежных углов находим следующие значения:

    $$\angle{EBC}=180^\circ-\angle{ABE}=55^\circ\\\angle{ABD}=180^\circ-\angle{DBC}=65^\circ$$

    Развернутый угол $\angle{ABC}$ состоит из суммы углов $\angle{ABD}$, $\angle{DBE}$ и $\angle{EBC}$. Заметим, что $\angle{DBE}$ и есть искомый по условию $\angle{\alpha}$. Градусная мера развернутого угла составляет $180^\circ$, откуда получаем:

    $$\angle{ABC}=65^\circ+\angle{\alpha}+55^\circ=180^\circ$$

    Находим, что градусная мера $\angle{\alpha}=60^\circ$.

    Ответ: $60^\circ$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение