КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Смежные углы
Углы на плоскости можно объединять в типы по градусам (например, тип «острый угол» $0^\circ\leq{x}<90^\circ$). Также в геометрии выделяются и виды углов, куда входят составные углы-фигуры. В следующих уроках текущего раздела вас ждет подробное изучение подобных фигур и их свойств. А открывать тему мы будем, давая определение смежных углов.
❓Мы разберем:
— какие углы называются смежными;
— свойства смежных углов;
— и узнаем, чему равняется сумма смежных углов.
Определение смежных углов
Построим на плоскости развернутый угол $\angle{ABC}$ и проведем через вершину угла $B$ луч $BD$. Рассмотрим полученную в результате построений фигуру.
Для углов $\angle{ABD}$ и $\angle{DBC}$ сторона $BD$ является общей. При этом, как мы можем заметить, другие стороны данных углов являются дополнительными лучами. Если два угла имеют такую ориентацию на плоскости, они называются смежными.
Дадим определение смежных углов:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.
Смежные углы и их свойства
Из свойств лучей нам известно, что вкупе дополнительные лучи образуют прямую. Таким образом, смежные углы — углы-соседи, «проживающие» на одной прямой. Эта геометрическая особенность подразумевает ряд интересных свойств, одно из которых — связь смежных с развернутыми углами.
Градусная мера смежных углов
Теорема о сумме смежных углов. Сумма смежных углов равняется $180^\circ$.
Доказательство
Пусть $\angle{ABD}$ и $\angle{DBC}$ — произвольные смежные углы. Докажем, что сумма смежных углов равняется $180^\circ$. Заметим, что луч $BD$ проходит между сторонами развернутого угла $\angle{ABC}$. Градусная мера развернутого угла равняется $180^\circ$.
По аксиоме $A_8$ мы помним, что градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Значит:
$$\angle{ABC}=\angle{ABD}+\angle{DBC}=180^\circ$$
Градусная мера смежных углов в сумме составляет $180^\circ$. Что и требовалось доказать.
Задача. Какова градусная мера смежных углов, если про смежные углы известно, что один их них в три раза больше другого?
Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла как $x$. Если больший угол больше меньшего в три раза, его градусную меру можно обозначить как $3x$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Пользуясь данным свойством, составим следующее уравнение:
$$x+3x=180^\circ$$
Откуда получаем значение меньшего угла $x=45^\circ$. Больший угол по условию больше в три раза и, следовательно, будет равняться $135^\circ$. Градусная мера смежных углов найдена и составляет $45^\circ$ и $135^\circ$.
Ответ: $45^\circ$, $135^\circ$.
Сумма смежных углов: следствие из теоремы
Поскольку градусная мера смежных углов в сумме строго определяется как $180^\circ$, это позволяет сделать вывод о том, что если два угла равны, то равны будут и смежные с ними углы. В геометрии бездоказательно выводы приводить нельзя, так что оформим данное наблюдение в виде следствия из теоремы и докажем его.
Итак:
Следствие из теоремы о сумме смежных углов. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Доказательство
Рассмотрим два равных угла — $\angle{1}$ и $\angle{2}$. Если углы равны, равны их градусные меры. Обозначим градусную меру углов как $x$ и запишем следующее:
$$\begin{cases}\angle{1}=x^\circ\\\angle{2}=x^\circ\end{cases}$$
Сумма смежных углов равняется $180^\circ$. Тогда смежный угол с $\angle{1}$ равен «$180^\circ-x^\circ$». То же самое заключаем про градусную меру угла, смежного с $\angle{2}$: «$180^\circ-x^\circ$». У равных углов $\angle{1}$ и $\angle{2}$ равные смежные углы. Что и требовалось доказать.
Острые, тупые и прямые углы
Рассмотрим три возможные ситуации на предмет типов углов по градусам, которые могут встретиться в составе смежных.
Один из углов — острый. Если градусная мера одного угла $0^\circ\leq{\angle{\alpha}}<90^\circ$, то второй угол в паре смежных получается тупым (в границах $90^\circ<x<180^\circ$).
Один из углов — тупой. Известно, что один из углов в паре $90^\circ<\angle{\alpha}<180^\circ$. В таком случае второй, с ним смежный, будет иметь градусную меру $0^\circ\leq{x}<90^\circ$.
Один из углов — прямой. Если один из углов имеет градусную меру $90^\circ$, то второй также равняется $90^\circ$. Угол, смежный с прямым, тоже будет прямым.
Задача для самостоятельного решения
Не получается решить? Мы поможем: готовое решение задачи скрыто ниже. Можно, если что, подсмотреть. Только чуть-чуть!
Задача. Чему равен $\angle{\alpha}$, если $\angle{ABE}=125^\circ$ и $\angle{DBC}=115^\circ?$
Показать решение
Свернуть решение
Дано:
$\angle{ABE}=125^\circ$ $\angle{DBC}=115^\circ$
Найти:
$\angle{\alpha}$ — ?
Решение. Во-первых, найдем значения углов, смежных с $\angle{ABE}$ и $\angle{DBC}$. По теореме о сумме смежных углов находим следующие значения:
$$\angle{EBC}=180^\circ-\angle{ABE}=55^\circ\\\angle{ABD}=180^\circ-\angle{DBC}=65^\circ$$
Развернутый угол $\angle{ABC}$ состоит из суммы углов $\angle{ABD}$, $\angle{DBE}$ и $\angle{EBC}$. Заметим, что $\angle{DBE}$ и есть искомый по условию $\angle{\alpha}$. Градусная мера развернутого угла составляет $180^\circ$, откуда получаем:
$$\angle{ABC}=65^\circ+\angle{\alpha}+55^\circ=180^\circ$$
Находим, что градусная мера $\angle{\alpha}=60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
ВойтиЭлизабет Митчелл
Когнитивный лингвист и автор научно-популярного контента.