Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

Содержание

В уроке «Смежные и вертикальные углы» вы выяснили, что смежные углы вместе дают $180^\circ$, а вертикальные углы равны. Опираясь на эти факты, докажем, что при пересечении перпендикулярных прямых все четыре угла прямые, что из точки к прямой можно провести перпендикуляр, и только один, и научимся строить его сгибом, угольником и на клетчатой бумаге. Первое знакомство с темой — в уроке «Перпендикулярные прямые».

Модель прежняя — калька и перегибание листа. А вопрос такой: как проверить, что угол угольника точно прямой, если второго угольника рядом нет? Ответ — в последнем разделе.

Сгиб, при котором прямая ложится сама на себя

Проведите на листе прямую и отметьте на ней точки $C$, $O$ и $D$ так, чтобы $O$ лежала между $C$ и $D$. Перегните лист через точку $O$ так, чтобы луч $OC$ лег точно на луч $OD$. Разверните лист: линия сгиба — прямая $b$ — пересекает прямую $CD$ в точке $O$. Отметьте на $b$ точку $E$.

Лист перегнут по прямой b через точку O: луч OC лег на луч OD, точка C попала в C1 между O и D — совпали лучи, а не концы; на развернутом листе углы COE и DOE равны и смежные, каждый по 90° — Луч $OC$ лег на луч $OD$: углы $COE$ и $DOE$ совпали, они смежные — значит, каждый $90^\circ$

При сгибе угол $COE$ лег на угол $DOE$ — углы совпали, значит, они равны. Но эти углы смежные, их сумма $180^\circ$. Два равных угла с суммой $180^\circ$ — это $180^\circ : 2 = 90^\circ$ каждый. Сгиб, при котором прямая легла сама на себя, образует с ней прямой угол. Так прямой угол определял еще Евклид в «Началах»: это угол, равный своему смежному.

Определение

Перпендикулярные прямые — две прямые, которые пересекаются под прямым углом.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Хватит ли одного прямого угла, чтобы назвать прямые перпендикулярными? Хватит, и вот почему.

Теорема

Если один из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, прямой, то и остальные три угла прямые.

Доказательство

Шаг 1. Пусть $\angle 1 = 90^\circ$. Углы 1 и 2 смежные, поэтому $\angle 2 = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ$.

Шаг 2. Угол 3 вертикален углу 1, угол 4 — углу 2, а вертикальные углы равны. Значит, $\angle 3 = \angle 4 = 90^\circ$.

Две перпендикулярные прямые образуют четыре угла 1–4: угол 1 равен 90°, смежный с ним и вертикальные тоже прямые, все четыре угла прямые — Угол 1 прямой: смежный с ним угол 2 тоже $90^\circ$, а углы 3 и 4 равны им как вертикальные

Пример 1

Прямые $KL$ и $MN$ пересекаются в точке $O$. Сумма трех из четырех образовавшихся углов равна $270^\circ$. Перпендикулярны ли прямые?

Решение. Четыре угла — это две пары смежных углов, вместе $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Четвертый угол равен $360^\circ-270^\circ = 90^\circ$, он прямой. По теореме остальные углы тоже прямые.

Ответ: да, прямые перпендикулярны.

{"questions":[{"content":"Прямые $a$ и $b$ пересекаются, один из образовавшихся углов равен $90^\\circ$. Чему равны остальные три угла?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Один $90^\\circ$, два других — любые, но в сумме $180^\\circ$","Все три по $90^\\circ$","$90^\\circ$, $45^\\circ$ и $45^\\circ$","$90^\\circ$, $90^\\circ$ и $180^\\circ$"],"explanations":["Каждый из двух других углов смежен с прямым, поэтому равен $90^\\circ$","","Смежный с прямым углом равен $180^\\circ-90^\\circ = 90^\\circ$, а не половине прямого","Все четыре угла вместе дают $360^\\circ$; угла $180^\\circ$ среди них нет"],"answer":[1]}},"hints":["Угол, смежный с прямым: $180^\\circ-90^\\circ = 90^\\circ$.","Оставшийся угол вертикален данному, а вертикальные углы равны.","Ответ: все три угла по $90^\\circ$."],"step":1},{"content":"Угол равен смежному с ним углу. Найдите этот угол. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"90"}},"hints":["Сумма смежных углов $180^\\circ$, а здесь они равны.","$180^\\circ : 2 = 90^\\circ$ — угол прямой."],"step":1}],"mix":1}

Перпендикулярность — это угол, а не направление вверх

Ошибка

Прямая $a$ идет наискосок, $M$ — ее точка. Решавр проводит через $M$ вертикальную прямую $b$ и пишет: «$b$ перпендикулярна $a$, ведь перпендикуляр идет вверх».

Проверка. Транспортир показывает, что прямые $a$ и $b$ образуют углы $70^\circ$ и $110^\circ$. Эти углы смежные, но не равны, значит, ни один из них не прямой. Сгиб это подтверждает: если перегнуть лист по прямой $b$, половинки прямой $a$ не лягут одна на другую.

Где сломалось. Перпендикулярность — это угол между двумя прямыми, а не направление на листе. Вертикальная прямая перпендикулярна горизонтальной, а к наклонной прямой перпендикулярная прямая тоже наклонная.

Наклонная прямая a и ее точка M: вертикаль b через M образует с a углы 70° и 110° — она не перпендикулярна a; прямая, перпендикулярная a, через M тоже наклонная — Вертикаль через $M$ дает углы $70^\circ$ и $110^\circ$; прямая, перпендикулярная наклонной прямой $a$, тоже наклонная

Перпендикулярность прямых $a$ и $b$ записывают так: $a \perp b$. Через каждую точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Возьмем точку $O$ прямой $CD$ из первого раздела: по одну сторону от $CD$ от луча $OD$ можно отложить только один угол $90^\circ$ — его сторона $OE$. Прямой угол по другую сторону дает продолжение луча $OE$ за точку $O$, то есть ту же прямую $b$. Подробнее об этом — в уроке «Перпендикулярные прямые».

Определение

Перпендикулярные отрезки (лучи) — отрезки (лучи), которые лежат на перпендикулярных прямых.

Пересекаться сами отрезки не обязаны: важно только, что пересекаются под прямым углом прямые, на которых они лежат.

Отрезки AB и CD лежат на перпендикулярных прямых, но не имеют общих точек: перпендикулярность — свойство прямых — Отрезки $AB$ и $CD$ не имеют общих точек, но лежат на перпендикулярных прямых: $AB \perp CD$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямая $a$ идет по диагоналям клеток. Через ее точку $M$ проведены прямые $m$, $n$ и $k$. Какая из них перпендикулярна прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/kxlifw8bmvag.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни одна из них","Прямая $m$","Прямая $k$","Прямая $n$"],"explanations":["Прямая $n$ идет по другим диагоналям клеток и образует с $a$ прямой угол","Прямая $m$ вертикальна, но угол между ней и $a$ равен $45^\\circ$: перпендикулярная — не значит отвесная","Прямая $k$ горизонтальна, угол между ней и $a$ равен $45^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Направление «вверх» тут ни при чем: важен угол с прямой $a$.","Диагональ клетки образует с вертикалью и с горизонталью углы по $45^\\circ$. Две разные диагонали клетки образуют прямой угол.","Ответ: прямая $n$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Отрезки $AB$ и $CD$ не имеют общих точек, но прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Перпендикулярны ли отрезки $AB$ и $CD$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нет: перпендикулярными бывают только прямые","Нельзя определить без длин отрезков","Да: они лежат на перпендикулярных прямых","Нет: перпендикулярные отрезки обязаны пересекаться"],"explanations":["Отрезки и лучи тоже бывают перпендикулярными — если лежат на перпендикулярных прямых","Перпендикулярность зависит от угла между прямыми, а не от длин","","По определению достаточно, чтобы отрезки лежали на перпендикулярных прямых"],"answer":[2]}},"hints":["Отрезки называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.","Пересекаться сами отрезки не обязаны.","Ответ: да, перпендикулярны."],"step":1},{"content":"Прямая $a$ образует с горизонтальной линией листа угол $30^\\circ$. Решавр провел через ее точку $M$ вертикальную прямую $b$ и записал: «$b \\perp a$». Оцените решение.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Неверно: вертикаль и прямая $a$ образуют угол $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$, а не прямой","Нельзя оценить: без чертежа и транспортира угол между $a$ и $b$ не найти","Верно: вертикальная прямая перпендикулярна любой прямой, которая проходит через $M$","Неверно: перпендикулярна прямой $a$ горизонталь через $M$, она дает угол $90^\\circ$"],"explanations":["","Угол находится вычислением: $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$, а нужен $90^\\circ$","Вертикальная прямая перпендикулярна только горизонтальной; здесь углы $60^\\circ$ и $120^\\circ$","Горизонталь образует с прямой $a$ угол $30^\\circ$ — тоже не прямой"],"answer":[0]}},"hints":["Перпендикулярность — это угол между двумя прямыми, а не направление «вверх». Найдите угол между $a$ и $b$.","Вертикаль и горизонталь образуют прямой угол, прямая $a$ проходит внутри него и отсекает от горизонтали $30^\\circ$.","Между $a$ и $b$: $90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$. Ответ: решение неверное, угол $60^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Из точки вне прямой — ровно один перпендикуляр

Теперь точка $A$ не лежит на прямой $a$. Перегнем лист по прямой $a$ и проколем его иглой в точке $A$. Развернем лист: на другой половине остался прокол — точка $A_1$. Точки $A$ и $A_1$ лежат по разные стороны от прямой $a$, поэтому отрезок $AA_1$ пересекает прямую $a$. Точку пересечения назовем $H$, а на прямой $a$ отметим еще точку $M$.

Перпендикуляр из точки к прямой: A перегибанием по a ложится в A1, отрезок AA1 пересекает a в H, углы при H совпали и смежные, так что AH перпендикулярен a — Перегнули по $a$: точка $A$ легла в $A_1$, углы $AHM$ и $A_1HM$ совпали — отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $a$

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство: перпендикуляр есть

Шаг 1. При перегибе по прямой $a$ точки $H$ и $M$ остаются на месте, а точка $A$ ложится на $A_1$. Значит, угол $AHM$ совпадает с углом $A_1HM$, и эти углы равны.

Шаг 2. Лучи $HA$ и $HA_1$ лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, поэтому углы $AHM$ и $A_1HM$ смежные, их сумма $180^\circ$.

Шаг 3. Равные смежные углы — по $90^\circ$. Значит, $AH \perp a$.

Доказательство: перпендикуляр один

Шаг 1. Предположим, что есть еще один перпендикуляр $AK$, точка $K$ лежит на $a$ и не совпадает с $H$.

Шаг 2. Перегнем лист по прямой $a$: угол $AKM$ ляжет на угол $A_1KM$, поэтому $\angle A_1KM = 90^\circ$. Тогда $\angle AKA_1 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ — точки $A$, $K$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

Шаг 3. Получилось, что через точки $A$ и $A_1$ проходят две разные прямые $AH$ и $AK$. Но через две точки проходит только одна прямая. Значит, второго перпендикуляра нет.

Единственность перпендикуляра: AH — перпендикуляр к a; если бы и AK был перпендикулярен a, углы AKM и A1KM были бы по 90° и точки A, K, A1 лежали бы на одной прямой — а через A и A1 проходит только одна прямая — Если бы и $AK \perp a$, то после перегиба $\angle AKA_1 = 180^\circ$, и через $A$ и $A_1$ прошли бы две прямые

Определение

Перпендикуляр к прямой $a$, проведенный из точки $A$, — отрезок $AH$, где точка $H$ лежит на прямой $a$ и $AH \perp a$. Точку $H$ называют основанием перпендикуляра.

Перпендикуляр — это отрезок, а перпендикулярная прямая — прямая. Точку $A_1$ в уроке об осевой симметрии назовут симметричной точке $A$. А длину перпендикуляра $AH$ называют расстоянием от точки $A$ до прямой $a$; почему перпендикуляр короче любого другого отрезка от $A$ до прямой, разберем в уроке «Расстояние от точки до прямой».

{"questions":[{"content":"Точка $A$ не лежит на прямой $a$. Сколько прямых, перпендикулярных прямой $a$, можно провести через точку $A$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Две: по одной с каждой стороны","Бесконечно много","Ни одной: перпендикуляр проводят только через точку прямой","Одну"],"explanations":["Перпендикуляр из $A$ один; «с другой стороны» — его же продолжение","Бесконечно много прямых проходит через $A$, но перпендикулярна $a$ только одна","Перпендикуляр можно провести и из точки вне прямой — перегибом по прямой $a$",""],"answer":[3]}},"hints":["Перегнем лист по прямой $a$: точка $A$ попадет в точку $A_1$, прямая $AA_1$ перпендикулярна $a$ — одна такая прямая есть.","Если бы через $A$ проходила вторая, после перегиба она образовала бы с $a$ развернутый угол, и через $A$ и $A_1$ прошли бы две прямые.","Ответ: одну."],"step":1},{"content":"Лист перегнули по прямой $a$, точка $A$ попала в точку $A_1$, отрезок $AA_1$ пересек прямую $a$ в точке $H$, $M$ — другая точка прямой $a$. Почему $\\angle AHM = 90^\\circ$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Углы $AHM$ и $A_1HM$ совпали при перегибе и смежные — значит, каждый $90^\\circ$","Точка $H$ — середина отрезка $AA_1$, поэтому отрезок $AH$ перпендикулярен $a$","На чертеже угол $AHM$ выглядит прямым, а транспортир показывает $90^\\circ$","Углы $AHM$ и $A_1HM$ вертикальные, а вертикальные углы всегда равны"],"explanations":["","Середина есть и у наклонного отрезка; прямой угол дают совпадение углов при перегибе и их сумма $180^\\circ$","«Выглядит прямым» и «транспортир показал» — не доказательство; нужны совпадение углов при перегибе и сумма смежных углов","У этих углов общая сторона $HM$, поэтому они не вертикальные, а смежные; равны они потому, что совпали при перегибе"],"answer":[0]}},"hints":["При перегибе по $a$ точки $H$ и $M$ остаются на месте, а $A$ ложится на $A_1$.","Значит, угол $AHM$ совпадает с углом $A_1HM$ — они равны. Кроме того, они смежные: $HA$ и $HA_1$ лежат на одной прямой.","Два равных смежных угла — по $180^\\circ : 2 = 90^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как построить перпендикуляр сгибом и угольником

Сгибом. Перегните лист так, чтобы прямая $a$ легла сама на себя, а линия сгиба прошла через точку $A$. По первому разделу такой сгиб перпендикулярен прямой $a$. Так можно действовать и для точки на прямой, и для точки вне ее.

Угольником. Положите угольник одной стороной прямого угла на прямую $a$. Сдвигайте его вдоль прямой, пока вторая сторона прямого угла не дойдет до точки $A$. Проведите по ней отрезок до прямой $a$ — получится перпендикуляр $AH$.

Построение перпендикуляра угольником: сторона прямого угла лежит на прямой a, угольник сдвигают к точке A и по второй стороне проводят отрезок AH — Сторона прямого угла — на прямой $a$, угольник сдвинули до точки $A$, по второй стороне провели $AH$

На клетках по линиям сетки. Линии клетчатой бумаги перпендикулярны друг другу. Если прямая $a$ идет по горизонтальной линии сетки, перпендикуляр к ней идет по вертикальной линии, и его длину считают по клеткам. Если прямая идет по вертикальной линии, перпендикуляр — по горизонтальной.

{"questions":[{"content":"Расставьте по порядку шаги построения перпендикуляра из точки $A$ к прямой $a$ с помощью угольника.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Приложите угольник к прямой $a$ одной стороной прямого угла","Сдвигайте угольник вдоль прямой $a$, пока вторая сторона прямого угла не дойдет до точки $A$","Проведите отрезок по второй стороне угольника от точки $A$ до прямой $a$","Отметьте точку $H$, где отрезок встретил прямую $a$, — основание перпендикуляра"]}},"hints":["Сначала угольник прикладывают к прямой $a$ — одной стороной прямого угла.","Потом угольник сдвигают вдоль прямой, пока вторая сторона прямого угла не дойдет до точки $A$, и проводят по ней отрезок.","Последний шаг — отметить основание $H$ там, где отрезок встретил прямую $a$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Прямая $a$ идет по линии сетки. Из точки $A$ проведен перпендикуляр $AH$ к прямой $a$. Какая из отмеченных точек — основание $H$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ojnm81p0jsgx.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$K$","$N$","$M$","$L$"],"explanations":["","$N$ ближе всех к $K$, но отрезок $AN$ все равно наклонный","Отрезок $AM$ идет наискосок; прямой угол с $a$ дает только вертикаль через $A$","Отрезок $AL$ идет наискосок и не образует прямого угла с прямой $a$"],"answer":[0]}},"hints":["Перпендикуляр к горизонтальной прямой идет по вертикальной линии сетки.","Спускаемся от $A$ строго вниз по линии сетки до прямой $a$.","Ответ: точка $K$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $a$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jo9ww6p06sik.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Прямая $a$ вертикальна, перпендикуляр к ней идет по горизонтальной линии сетки.","От точки $A$ до прямой $a$ по горизонтали 4 клетки.","Длина перпендикуляра — 4 см."],"step":1}],"mix":1}

Перпендикуляр на клетках: калька на четверть оборота

Прямая $a$ идет по клеткам наискосок: на каждые 3 клетки вправо поднимается на 1 клетку. Через ее точку $A$ нужно провести перпендикулярную прямую. Переведем прямую $a$ вместе с клетками на кальку и повернем кальку вокруг точки $A$ на четверть оборота против часовой стрелки. Четверть полного оборота — это $360^\circ : 4 = 90^\circ$, поэтому новая прямая перпендикулярна $a$. Клетки при таком повороте ложатся на клетки, а шаги поворачиваются: «вправо» становится «вверх», «вверх» становится «влево».

Клетчатая бумага: прямая a идет «3 вправо, 1 вверх»; перпендикуляр AK идет «1 влево, 3 вверх» — шаг повернут на четверть оборота; ошибочная прямая AL (1 вправо, 3 вверх) образует с a угол около 53° — Шаг «3 вправо, 1 вверх» после поворота на четверть оборота — «1 влево, 3 вверх»: прямая $AK$ перпендикулярна $a$, прямая $AL$ — нет

Правило

Если прямая на клетках идет на 3 клетки вправо и 1 вверх, то перпендикулярная ей прямая идет на 1 клетку влево и 3 вверх (или, что то же самое, на 1 вправо и 3 вниз). Шаги меняются местами, и один из них меняет направление.

Ошибка

Решавр проводит через точку $A$ прямую $AL$: на 1 клетку вправо и 3 вверх. «Поменял шаги местами — значит, перпендикуляр», — решает он.

Проверка. Угольник не ложится: транспортир показывает между прямыми $a$ и $AL$ угол около $53^\circ$. Поворот кальки на четверть оборота переводит шаг «3 вправо» в «3 вверх», а «1 вверх» — в «1 влево», а не в «1 вправо».

Где сломалось. При повороте меняется не только порядок шагов, но и направление одного из них. Решавр переставил шаги, но направление не изменил.

Пример 2

Прямая $a$ проходит через узлы сетки $O$ и $P$: от $O$ до $P$ 4 клетки вправо и 1 вверх. Точка $A$ — на 2 клетки правее и на 9 клеток выше точки $O$. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $a$.

Решение. Шаг прямой «4 вправо, 1 вверх» после поворота на четверть оборота — «1 влево, 4 вверх», а в обратную сторону — «1 вправо, 4 вниз». Идем от $A$ этим шагом: первый шаг приводит в узел на 3 клетки правее и на 5 выше $O$, второй — в узел на 4 клетки правее и на 1 выше $O$. Это точка $P$, она лежит на прямой $a$.

Ответ: основание перпендикуляра — точка $P$. Проверка угольником: угол $APO$ прямой.

Клетчатая бумага: прямая a идет «4 вправо, 1 вверх»; от A два шага «1 вправо, 4 вниз» приводят в точку P, поэтому AP перпендикулярен a — От $A$ два шага «1 вправо, 4 вниз» приводят в точку $P$ прямой $a$: $AP \perp a$

Поворот кальки на клетках — наглядное объяснение, а не строгое доказательство. Строго это докажут, когда будут изучены равные треугольники. Пока проверяйте построенную прямую угольником или транспортиром.

В модели точку $A$ можно ставить и вне прямой $a$, и на ней — правило шага работает одинаково.

uploaded-perpendikulyar-po-kletkam-1e1e82d17fc8

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямая $a$ на каждые 3 клетки вправо поднимается на 2 клетки. Через точку $A$ проведены прямые $m$, $n$ и $k$. Какая из них перпендикулярна прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/uytth27bmtke.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ни одна из них","Прямая $n$","Прямая $m$","Прямая $k$"],"explanations":["Прямая $m$ идет на 2 клетки влево и 3 вверх — это поворот шага на четверть оборота","Шаги переставлены, но не изменено направление одного шага: угол с $a$ около $23^\\circ$","","Вертикальная прямая образует с $a$ угол около $56^\\circ$: перпендикулярная — не значит отвесная"],"answer":[2]}},"hints":["Представьте кальку, повернутую на четверть оборота: шаг «3 вправо, 2 вверх» переходит в шаг «2 влево, 3 вверх».","Прямая $m$ идет именно так: на 2 клетки влево поднимается на 3. Прямая $n$ — на 2 клетки вправо и 3 вверх: шаги переставлены, а направление не изменено (угол около $23^\\circ$).","Ответ: прямая $m$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямая $a$ на каждую 1 клетку вправо поднимается на 2 клетки. Решавр провел через ее точку $A$ прямую $b$: на 2 клетки вправо и 1 вверх. «Поменял шаги местами — значит, $b \\perp a$», — решил он. Оцените решение.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Неверно: перпендикуляр идет на 1 клетку вправо и 2 вниз — нужно только сменить направление","Верно: шаги поменяли местами, а перестановка шагов всегда дает прямой угол с прямой $a$","Неверно: угол между $a$ и $b$ около $37^\\circ$, перпендикуляр идет на 2 клетки вправо и 1 вниз","Неверно: на клетках перпендикуляр к любой прямой проводят только по линиям сетки"],"explanations":["Здесь направление сменено, но шаги не переставлены: угол с $a$ около $53^\\circ$","Мало переставить шаги: при повороте на четверть оборота один из шагов меняет направление; здесь угол около $37^\\circ$","","К наклонной прямой перпендикуляр тоже наклонный; его дает поворот шага на четверть оборота"],"answer":[2]}},"hints":["Представьте кальку, повернутую на четверть оборота: «вправо» переходит во «вверх», а «вверх» — во «влево».","Шаг «1 вправо, 2 вверх» переходит в «1 вверх, 2 влево» — это та же прямая, что «2 вправо, 1 вниз». У Решавра направление одного шага не изменено.","Ответ: неверно, нужна прямая «2 вправо, 1 вниз»; угол между $a$ и $b$ около $37^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как проверить угольник без второго угольника

Вернемся к вопросу из начала урока. Приложите угольник одной стороной прямого угла к линейке и проведите линию по второй стороне. Затем переверните угольник, приложите его к той же точке линейки с другой стороны и проведите линию еще раз. Две линии образуют с линейкой пару смежных углов, и каждый равен углу угольника. Переворот угольника — то же наложение угла на смежный угол, что и сгиб в первом разделе.

Угольник с углом 90° и его перевернутая копия дают одну линию, а угольник с углом 88° — две линии с углом 4° между ними — Угол $90^\circ$: после переворота линии совпали; угол $88^\circ$: линии разошлись на $180^\circ-2 \cdot 88^\circ = 4^\circ$

Линии совпадут, только если угол угольника равен своему смежному, то есть прямой. Если угол $88^\circ$, два угла займут $176^\circ$, и линии разойдутся на $180^\circ-176^\circ = 4^\circ$. Ошибка угольника удваивается, поэтому ее легче заметить.

Пример 3

Угол угольника равен $89^\circ$. Угольник проверили переворотом. На сколько градусов разойдутся две проведенные линии?

Решение. Два смежных угла по $89^\circ$ занимают $89^\circ + 89^\circ = 178^\circ$ развернутого угла. Между линиями остается $180^\circ-178^\circ = 2^\circ$.

Ответ: на $2^\circ$ — вдвое больше ошибки угольника.

Из единственности перпендикуляра следует еще один факт.

Следствие

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Если бы прямые $a$ и $b$, перпендикулярные прямой $c$, пересеклись в точке $P$, то через точку $P$ проходили бы две разные прямые, перпендикулярные $c$. Если $P$ не лежит на $c$, это противоречит теореме третьего раздела, а если лежит — тому, что через точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Прямые, которые не пересекаются, называют параллельными; подробно о них — в уроке «Параллельные прямые. Аксиома параллельности».

Прямые a и b перпендикулярны прямой c. Если бы они пересеклись в точке P, из P к c шли бы два перпендикуляра — углы при c по 90°? — а перпендикуляр один; значит, a и b не пересекаются — Если бы прямые $a \perp c$ и $b \perp c$ пересеклись в точке $P$, из $P$ к $c$ шли бы два перпендикуляра, а он один

{"questions":[{"content":"Угол угольника равен $86^\\circ$. Угольник приложили к линейке, провели линию по второй стороне, перевернули и провели линию еще раз. Найдите угол между двумя проведенными линиями. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Две линии образуют с линейкой два смежных угла по $86^\\circ$ — каждый со своей стороны.","Вместе они занимают $86^\\circ + 86^\\circ = 172^\\circ$ из развернутого угла.","Между линиями: $180^\\circ-172^\\circ = 8^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямые $b$ и $c$ различны и обе перпендикулярны прямой $a$. Могут ли прямые $b$ и $c$ пересечься?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: из точки пересечения к прямой $a$ шли бы две перпендикулярные прямые","Да, если точка пересечения лежит на прямой $a$","Да: где-нибудь далеко за краем листа","Нельзя ответить, не зная расстояния между ними"],"explanations":["","Через точку прямой $a$ проходит только одна перпендикулярная ей прямая","Где бы ни была точка пересечения, из нее к $a$ шли бы две перпендикулярные прямые, а такая прямая одна","Ответ не зависит от расстояний: он следует из единственности перпендикуляра"],"answer":[0]}},"hints":["Предположим, что $b$ и $c$ пересеклись в точке $P$.","Тогда из точки $P$ к прямой $a$ шли бы две разные перпендикулярные прямые. Если $P$ не на $a$, это противоречит единственности перпендикуляра из точки вне прямой; если $P$ на $a$ — единственности перпендикулярной прямой через точку прямой.","Ответ: не могут."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Прямой угол — это угол, равный своему смежному, и вся тема держится на этом. Сгиб, при котором прямая легла сама на себя, ей перпендикулярен. Перегиб по прямой переводит точку $A$ в точку $A_1$ и дает перпендикуляр $AH$, причем только один. На клетках перпендикуляр дает калька, повернутая на четверть оборота, а угольник проверяют переворотом. Перпендикуляр понадобится в уроке об осевой симметрии, при построении высоты треугольника и при измерении расстояния от точки до прямой, а задачи на клетчатой бумаге встречаются в ОГЭ и ВПР.

Как быстро вспомнить главное — по таблице.

Вопрос	Что делаем с листом или калькой	Вывод
Перпендикулярны ли прямые?	Сгибаем по одной прямой: легла ли другая сама на себя	Один угол $90^\circ$ — все четыре
Вертикаль к наклонной прямой	Сгибаем по вертикали: половинки не совпали	Не перпендикулярна
Перпендикуляр из точки $A$	Перегибаем по прямой: $A$ легла в $A_1$	$AH \perp a$, такой отрезок один
Прямая наискосок по клеткам	Поворачиваем кальку на четверть оборота	Шаги местами, один — в другую сторону
Точен ли угольник?	Переворачиваем угольник	Линии совпали — угол прямой

Часто задаваемые вопросы

Чем перпендикуляр отличается от перпендикулярной прямой?

Перпендикулярная прямая бесконечна, а перпендикуляр — отрезок $AH$ от точки $A$ до прямой $a$. У перпендикуляра есть основание $H$ и длина, поэтому им измеряют расстояние от точки до прямой.

Почему нельзя провести второй перпендикуляр из той же точки с другой стороны?

Перпендикуляр «с другой стороны» — продолжение того же отрезка: он идет по той же прямой $AA_1$. Другой прямой из точки $A$ под прямым углом к $a$ нет, это доказано перегибанием в третьем разделе.

Зачем доказывать, если на чертеже и так видно, что угол прямой?

Угол $88^\circ$ на глаз не отличить от прямого. Чертеж показывает один случай, а доказательство — все. На практике прямой угол проверяют угольником, а угольник — переворотом.

Как быстро проверить перпендикулярность на клетках?

Запишите шаг каждой прямой: сколько клеток вправо и сколько вверх. Прямые перпендикулярны, если шаги поменялись местами и один из них сменил направление: «3 вправо, 1 вверх» и «1 влево, 3 вверх».

Отвес показывает вертикаль. Почему перпендикулярная прямая не обязательно вертикальна?

Вертикаль перпендикулярна горизонтальным линиям, например линии уровня воды. Наклонной прямой она не перпендикулярна: угол с ней будет острым с одной стороны и тупым с другой. Перпендикулярность всегда относится к паре прямых.

Награды за урок