Перпендикулярные прямые

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"При пересечении прямых $a$ и $b$ образовались четыре угла. Один из них втрое меньше суммы трех остальных. Этот угол равен [[fill_choice-1]], прямые $a$ и $b$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["120°","90°","60°","45°"],"answer":1},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["не перпендикулярны","перпендикулярны"],"answer":1}},"hints":["Четыре угла вместе дают $360^\\circ$. Если угол равен $x$, то сумма трех остальных равна $3x$: $x + 3x = 360^\\circ$.","$x = 360^\\circ : 4 = 90^\\circ$ — угол прямой.","Прямые, пересекающиеся под прямым углом, перпендикулярны. Ответ: $90^\\circ$, перпендикулярны."],"step":1},{"id":"1","content":"При пересечении прямых $a$ и $b$ сумма двух вертикальных углов равна $180^\\circ$. Каждый из этих углов равен [[fill_choice-3]], прямые $a$ и $b$ [[fill_choice-4]].","widgets":{"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["180°","45°","90°","360°"],"answer":2},"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["перпендикулярны","не перпендикулярны"],"answer":0}},"hints":["Вертикальные углы равны: каждый $180^\\circ : 2 = 90^\\circ$ — угол прямой.","Прямые, пересекающиеся под прямым углом, перпендикулярны. Ответ: $90^\\circ$, перпендикулярны."],"step":1},{"id":"2","content":"Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ проходит внутри угла $AOC$, $\\angle AOE = 27^\\circ$. Найдите угол $EOC$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["$AB \\perp CD$, поэтому $\\angle AOC = 90^\\circ$.","Луч $OE$ делит его на два угла: $\\angle EOC = 90^\\circ-27^\\circ = 63^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ проходит внутри угла $COB$, $\\angle COE = 38^\\circ$. Найдите угол $EOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["$AB \\perp CD$, поэтому $\\angle COB = 90^\\circ$.","Луч $OE$ делит его на два угла: $\\angle EOB = 90^\\circ-38^\\circ = 52^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Если прямые перпендикулярны, то все четыре угла при их пересечении прямые","Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной"],["Прямая, перпендикулярная данной, всегда вертикальна","При пересечении перпендикулярных прямых может получиться острый угол"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определению: перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.","Один прямой угол дает и остальные три. Перпендикулярность — угол между прямыми, а не направление «вверх».","Верно: про четыре прямых угла и про единственный перпендикуляр. Неверно: про вертикальную прямую и про острый угол."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются","Перпендикулярные отрезки могут не иметь общих точек"],["Через точку прямой можно провести две разные прямые, перпендикулярные ей","Если прямые пересекаются под углом $45^\\circ$, то они перпендикулярны"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям: перпендикулярные прямые, отрезки, перпендикуляр к прямой.","Отрезки перпендикулярны, если лежат на перпендикулярных прямых, — общих точек у них может не быть. Через точку прямой проходит одна перпендикулярная ей прямая.","Верно: про две прямые, перпендикулярные третьей, и про отрезки. Неверно: про две перпендикулярные прямые через точку и про угол $45^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $a$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dj1uo41wl4cj.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Прямая $a$ горизонтальна, перпендикуляр к ней идет по вертикальной линии сетки.","От точки $A$ вниз до прямой $a$ — 5 клеток.","Длина перпендикуляра — 5 см."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]Сторона клетки равна 1 см. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $a$. Ответ дайте в сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qzgbq33lmid0.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Прямая $a$ вертикальна, перпендикуляр к ней идет по горизонтальной линии сетки.","От точки $A$ вправо до прямой $a$ — 6 клеток.","Длина перпендикуляра — 6 см."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-3]]Прямая $a$ на каждые 3 клетки вправо опускается на 2 клетки. Через какую из отмеченных точек нужно провести прямую из точки $A$, чтобы она была перпендикулярна прямой $a$?[[choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gqmjg3qjeyqt.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$M$","$N$","$L$","$K$"],"explanations":["Прямая $AM$ вертикальна; угол между ней и $a$ около $56^\\circ$, а не $90^\\circ$","От $A$ к $N$ — 3 влево и 2 вверх, как у самой прямой $a$: такие прямые не пересекаются","От $A$ к $L$ — 2 влево и 3 вверх: шаги переставлены, а направление не изменено, угол с $a$ около $23^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Калька на четверть оборота: шаг «3 вправо, 2 вниз» переходит в «2 вправо, 3 вверх».","От $A$ на 2 клетки вправо и 3 вверх — точка $K$.","Ответ: через точку $K$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-4]]Прямая $a$ на каждые 2 клетки вправо опускается на 1 клетку. Через какую из отмеченных точек нужно провести прямую из точки $A$, чтобы она была перпендикулярна прямой $a$?[[choice-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zvg3wpwpkuz8.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$M$","$L$","$K$","$N$"],"explanations":["Прямая $AM$ вертикальна; угол между ней и $a$ около $63^\\circ$, а не $90^\\circ$","От $A$ к $L$ — 1 влево и 2 вверх: шаги переставлены, а направление не изменено, угол с $a$ около $37^\\circ$","","От $A$ к $N$ — 2 влево и 1 вверх, как у самой прямой $a$: такие прямые не пересекаются"],"answer":[2]}},"hints":["Калька на четверть оборота: шаг «2 вправо, 1 вниз» переходит в «1 вправо, 2 вверх».","От $A$ на 1 клетку вправо и 2 вверх — точка $K$.","Ответ: через точку $K$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Ученик доказывает, что из точки $A$, не лежащей на прямой $a$, можно провести перпендикуляр к $a$: 1) перегнем лист по прямой $a$, точка $A$ попадет в точку $A_1$; 2) отрезок $AA_1$ пересечет прямую $a$ в точке $H$, $M$ — другая точка прямой $a$; 3) $AH = A_1H$, поэтому углы $AHM$ и $A_1HM$ равны; 4) эти углы смежные, их сумма $180^\\circ$, значит, каждый равен $90^\\circ$ и $AH \\perp a$. В каком шаге ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["В шаге 3: из $AH = A_1H$ равенство углов не следует, а равны они потому, что совпали при перегибе","Ошибки нет: каждый шаг верен и следует из предыдущих, вывод $AH \\perp a$ доказан","В шаге 4: смежные углы не бывают равными, поэтому вывод о $90^\\circ$ сделан неверно","В шаге 1: при перегибе по прямой $a$ точка $A$ не может попасть на другую сторону от $a$"],"explanations":["","Равенство отрезков $AH$ и $A_1H$ не дает равенства углов при $H$; углы $AHM$ и $A_1HM$ равны, потому что совпали при перегибе","Смежные углы равны, когда каждый из них $90^\\circ$, — именно это и доказывается","При перегибе по $a$ каждая точка одной половины листа ложится на другую половину — так и получается $A_1$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте каждый шаг: верен ли он сам и следует ли из предыдущих.","Равенство $AH = A_1H$ верно, но из равенства двух отрезков равенство углов не следует: при равных $AH$ и $A_1H$ углы при $H$ могут быть разными.","Равны эти углы потому, что совпали при перегибе. Ответ: ошибка в шаге 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Ученик доказывает, что из точки $A$ к прямой $a$ нельзя провести два перпендикуляра: 1) пусть кроме перпендикуляра $AH$ есть перпендикуляр $AK$, точка $K$ лежит на $a$ и не совпадает с $H$; 2) перегнем лист по прямой $a$: $A$ попадет в $A_1$, угол $AKM$ — на угол $A_1KM$, поэтому $\\angle A_1KM = 90^\\circ$; 3) через точки $A$ и $A_1$ проходят две прямые $AH$ и $AK$, а через две точки проходит только одна прямая, значит, второго перпендикуляра нет. Какого шага не хватает между шагами 2 и 3?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ничего не пропущено: шаг 3 сразу следует из того, что $\\angle A_1KM = 90^\\circ$","$\\angle AKM = \\angle A_1KM$, потому что углы $AKM$ и $A_1KM$ вертикальные","$AK = KA_1$, потому что при перегибе по прямой $a$ точка $K$ осталась на месте","$\\angle AKA_1 = 90^\\circ + 90^\\circ = 180^\\circ$, поэтому точки $A$, $K$ и $A_1$ лежат на одной прямой"],"explanations":["Из шага 2 не видно, что прямая $AK$ проходит через $A_1$; это надо вывести: $\\angle AKA_1 = 180^\\circ$","У этих углов общая сторона $KM$ — они не вертикальные; их равенство уже дал перегиб в шаге 2","Это верно, но не показывает, что прямая $AK$ проходит через $A_1$; это дает развернутый угол $AKA_1$",""],"answer":[3]}},"hints":["В шаге 3 сказано, что прямая $AK$ проходит через $A_1$. Из чего это следует?","Из шага 2 известно только, что $\\angle AKM = \\angle A_1KM = 90^\\circ$. Вместе они дают $\\angle AKA_1 = 180^\\circ$ — развернутый угол.","Значит, $A$, $K$ и $A_1$ лежат на одной прямой. Ответ: не хватает вывода о развернутом угле $AKA_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ проходит внутри угла $AOC$, $\\angle EOC = 50^\\circ$, луч $OK$ — биссектриса угла $AOE$. Найдите угол $KOC$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["$\\angle AOC = 90^\\circ$, поэтому $\\angle AOE = 90^\\circ-50^\\circ = 40^\\circ$.","Биссектриса: $\\angle KOE = 40^\\circ : 2 = 20^\\circ$.","$\\angle KOC = \\angle KOE + \\angle EOC = 20^\\circ + 50^\\circ = 70^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ проходит внутри угла $AOC$, $\\angle AOE = 30^\\circ$, луч $OK$ — биссектриса угла $EOC$. Найдите угол $AOK$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$\\angle AOC = 90^\\circ$, поэтому $\\angle EOC = 90^\\circ-30^\\circ = 60^\\circ$.","Биссектриса: $\\angle EOK = 60^\\circ : 2 = 30^\\circ$.","$\\angle AOK = \\angle AOE + \\angle EOK = 30^\\circ + 30^\\circ = 60^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Угол угольника равен $84^\\circ$. Угольник приложили к линейке, провели линию по второй стороне, перевернули и провели линию еще раз. Найдите угол между двумя проведенными линиями. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Две линии образуют с линейкой два смежных угла по $84^\\circ$ — каждый со своей стороны.","Вместе они занимают $84^\\circ + 84^\\circ = 168^\\circ$ из развернутого угла.","Между линиями: $180^\\circ-168^\\circ = 12^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Угол угольника равен $87^\\circ$. Угольник приложили к линейке, провели линию по второй стороне, перевернули и провели линию еще раз. Найдите угол между двумя проведенными линиями. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Две линии образуют с линейкой два смежных угла по $87^\\circ$ — каждый со своей стороны.","Вместе они занимают $87^\\circ + 87^\\circ = 174^\\circ$ из развернутого угла.","Между линиями: $180^\\circ-174^\\circ = 6^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]Прямая $a$ на каждые 2 клетки вправо поднимается на 1 клетку. Решавр провел через ее точку $M$ вертикальную прямую $b$ и написал: «$b \\perp a$, потому что перпендикуляр идет вертикально». Оцените решение.[[choice-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/36btphd5jywq.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Неверно: перпендикуляр к наклонной прямой горизонтален, он идет через $M$ по линии сетки","Неверно: перпендикуляр к $a$ идет на 1 клетку вправо и 2 вверх, а не по вертикали","Неверно: $b$ образует с $a$ угол около $63^\\circ$, перпендикуляр идет на 1 клетку влево и 2 вверх","Верно: вертикаль перпендикулярна любой наклонной прямой, поэтому угол между $a$ и $b$ равен $90^\\circ$"],"explanations":["Горизонталь тоже не перпендикулярна $a$: угол между ними около $27^\\circ$","Шаги «2 вправо, 1 вверх» только переставлены, направление не изменено: угол с $a$ около $37^\\circ$","","Вертикальная прямая перпендикулярна только горизонтальной; с прямой $a$ она образует углы около $63^\\circ$ и $117^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Перпендикулярные прямые — это прямые, пересекающиеся под прямым углом. Посмотрите на угол между $a$ и $b$, а не на направление «вверх».","Вертикальная прямая перпендикулярна только горизонтальной; с прямой $a$ она образует угол около $63^\\circ$.","Перпендикуляр к $a$ через $M$ идет на 1 клетку влево и 2 вверх. Ответ: решение неверное."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]Прямая $a$ на каждую 1 клетку вправо поднимается на 3 клетки. Решавр провел через ее точку $A$ прямую $b$: на 3 клетки вправо и 1 вверх. «Шаги поменял местами — значит, $b \\perp a$», — решил он. Оцените решение.[[choice-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/xstgxlwuqh5n.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Неверно: перпендикуляр идет на 1 клетку влево и 3 вверх — нужно только сменить направление","Верно: шаги поменяли местами, а перестановка шагов всегда дает прямой угол с прямой $a$","Неверно: угол между $a$ и $b$ около $53^\\circ$, перпендикуляр идет на 3 клетки вправо и 1 вниз","Неверно: на клетках перпендикуляр к любой прямой проводят только по линиям сетки"],"explanations":["Здесь направление сменено, но шаги не переставлены: угол с $a$ около $37^\\circ$","Мало переставить шаги: при повороте на четверть оборота один из шагов меняет направление; здесь угол около $53^\\circ$","","К наклонной прямой перпендикуляр тоже наклонный; его дает поворот шага на четверть оборота"],"answer":[2]}},"hints":["Представьте кальку, повернутую на четверть оборота: при повороте «вправо» переходит во «вверх», а «вверх» — во «влево».","Шаг «1 вправо, 3 вверх» переходит в «3 влево, 1 вверх» — это та же прямая, что «3 вправо, 1 вниз». У Решавра направление одного шага не изменено, угол между $a$ и $b$ около $53^\\circ$.","Ответ: решение неверное."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"$ABCD$ — прямоугольник, не являющийся квадратом, $M$ — середина стороны $AD$. Какие из отрезков перпендикулярны отрезку $AB$? Выберите все верные варианты.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$CD$","$MD$","$AC$","$BC$"],"explanations":["$CD$ — противоположная сторона: прямые $AB$ и $CD$ не пересекаются, угла между ними нет","","Угол $BAC$ — часть прямого угла $BAD$, он меньше $90^\\circ$",""],"answer":[1,3]}},"hints":["Отрезки перпендикулярны, если лежат на перпендикулярных прямых; пересекаться они не обязаны.","$BC$ и $MD$ лежат на сторонах, образующих с $AB$ прямые углы. $CD$ — противоположная сторона, $AC$ — диагональ.","Ответ: $BC$ и $MD$."],"step":1},{"id":"10","content":"$ABCD$ — прямоугольник, не являющийся квадратом, $N$ — середина стороны $CD$. Какие из отрезков перпендикулярны отрезку $BC$? Выберите все верные варианты.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$BD$","$AB$","$ND$","$AD$"],"explanations":["Угол $CBD$ — часть прямого угла $ABC$, он меньше $90^\\circ$","","","$AD$ — противоположная сторона: прямые $BC$ и $AD$ не пересекаются, угла между ними нет"],"answer":[1,2]}},"hints":["Отрезки перпендикулярны, если лежат на перпендикулярных прямых; пересекаться они не обязаны.","$AB$ и $ND$ лежат на сторонах, образующих с $BC$ прямые углы. $AD$ — противоположная сторона, $BD$ — диагональ.","Ответ: $AB$ и $ND$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>