Смежные и вертикальные углы

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Какой угол вертикален углу $COE$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/77osljpqk0e4.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle EOB$","$\\angle AOC$","$\\angle BOD$","$\\angle DOF$"],"explanations":["Это соседний угол: у него с $\\angle COE$ общая сторона $OE$","Это соседний угол: у него с $\\angle COE$ общая сторона $OC$","Это угол «через один» от $\\angle COE$; его сторона $OB$ — продолжение $OA$, а не $OE$",""],"answer":[3]}},"hints":["У вертикальных углов стороны одного — продолжения сторон другого.","Продолжение луча $OC$ — луч $OD$, продолжение луча $OE$ — луч $OF$.","Ответ: $\\angle DOF$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Какой угол вертикален углу $EOB$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/77osljpqk0e4.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\angle COE$","$\\angle BOD$","$\\angle DOF$","$\\angle FOA$"],"explanations":["Это соседний угол: у него с $\\angle EOB$ общая сторона $OE$","Это соседний угол: у него с $\\angle EOB$ общая сторона $OB$","Это угол «через один» от $\\angle EOB$; его сторона $OD$ — продолжение $OC$, а не $OB$",""],"answer":[3]}},"hints":["У вертикальных углов стороны одного — продолжения сторон другого.","Продолжение луча $OE$ — луч $OF$, продолжение луча $OB$ — луч $OA$.","Ответ: $\\angle FOA$."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Сумма смежных углов равна $180^\\circ$","Вертикальные углы равны"],["Если у двух углов есть общая сторона, то они смежные","Сумма вертикальных углов равна $180^\\circ$"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям: у смежных углов сумма $180^\\circ$, вертикальные углы равны.","Два угла с общей стороной могут быть просто соседними. Вертикальные углы равны, но их сумма может быть любой меньше $360^\\circ$.","Верно: про сумму смежных и про равенство вертикальных. Неверно: про общую сторону и про сумму вертикальных углов."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Угол, смежный с прямым углом, тоже прямой","Угол, смежный с острым углом, тупой"],["Если два угла равны, то они вертикальные","Два смежных угла могут быть оба тупыми"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение по определениям: у смежных углов сумма $180^\\circ$, вертикальные углы равны.","Угол, смежный с острым, тупой. Равные углы не обязательно вертикальные: для этого их стороны должны продолжать друг друга.","Верно: про смежный с прямым и про смежный с острым. Неверно: про равные углы и про два тупых смежных угла."],"step":1},{"id":"3","content":"Один из смежных углов в 8 раз больше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"160"}},"hints":["Меньший угол — 1 часть, больший — 8 частей; всего $1 + 8 = 9$ частей, и они дают $180^\\circ$.","Одна часть: $180^\\circ : 9 = 20^\\circ$.","Больший угол: $20^\\circ \\cdot 8 = 160^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"Смежные углы относятся как $4 : 5$. Найдите больший из них. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"100"}},"hints":["Меньший угол — 4 части, больший — 5 частей; всего $4 + 5 = 9$ частей, и они дают $180^\\circ$.","Одна часть: $180^\\circ : 9 = 20^\\circ$.","Больший угол: $20^\\circ \\cdot 5 = 100^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Один из смежных углов на $64^\\circ$ больше другого. Сопоставьте угол и его величину.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Больший угол","Меньший угол"],"items":["$122^\\circ$","$58^\\circ$","$116^\\circ$","$64^\\circ$"]}},"hints":["Отнимем разницу: $180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$ — это два одинаковых меньших угла.","Меньший угол: $116^\\circ : 2 = 58^\\circ$; больший: $58^\\circ + 64^\\circ = 122^\\circ$.","Проверка: $122^\\circ + 58^\\circ = 180^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"Один из смежных углов на $26^\\circ$ меньше другого. Сопоставьте угол и его величину.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Больший угол","Меньший угол"],"items":["$103^\\circ$","$77^\\circ$","$154^\\circ$","$26^\\circ$"]}},"hints":["Отнимем разницу: $180^\\circ-26^\\circ = 154^\\circ$ — это два одинаковых меньших угла.","Меньший угол: $154^\\circ : 2 = 77^\\circ$; больший: $77^\\circ + 26^\\circ = 103^\\circ$.","Проверка: $103^\\circ + 77^\\circ = 180^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна $236^\\circ$. Найдите меньший из четырех углов. Ответ дайте в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"62"}},"hints":["Сумма смежных углов $180^\\circ$, а здесь $236^\\circ$ — значит, эти углы вертикальные и равны.","Каждый из них: $236^\\circ : 2 = 118^\\circ$.","Смежный с ним угол: $180^\\circ-118^\\circ = 62^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна $96^\\circ$. Найдите больший из четырех углов. Ответ дайте в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"132"}},"hints":["Сумма смежных углов $180^\\circ$, а здесь $96^\\circ$ — значит, эти углы вертикальные и равны.","Каждый из них: $96^\\circ : 2 = 48^\\circ$.","Смежный с ним угол: $180^\\circ-48^\\circ = 132^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-3]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 35^\\circ$, $\\angle EOB = 80^\\circ$. Найдите угол $DOF$. Ответ дайте в градусах. [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/00duczcgcxbo.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["Углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ составляют развернутый угол $AOB$: $\\angle COE = 180^\\circ-35^\\circ-80^\\circ = 65^\\circ$.","Угол $DOF$ вертикален углу $COE$: $OD$ — продолжение $OC$, $OF$ — продолжение $OE$.","$\\angle DOF = \\angle COE = 65^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-4]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle BOD = 48^\\circ$, $\\angle FOA = 62^\\circ$. Найдите угол $COE$. Ответ дайте в градусах. [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1gdfloweducp.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["$\\angle AOC = \\angle BOD = 48^\\circ$ как вертикальные; $\\angle EOB = \\angle FOA = 62^\\circ$ как вертикальные.","Углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ составляют развернутый угол $AOB$.","$\\angle COE = 180^\\circ-48^\\circ-62^\\circ = 70^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Углы $AOC$ и $COB$ смежные, $\\angle AOC = 68^\\circ$. Чему равен угол между биссектрисами этих углов?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$56^\\circ$","$112^\\circ$","$34^\\circ$","$90^\\circ$"],"explanations":["Это половина только угла $COB$; к ней нужно прибавить половину угла $AOC$","Это угол $COB$, смежный с данным, а не угол между биссектрисами","Это половина только угла $AOC$; к ней нужно прибавить половину смежного угла",""],"answer":[3]}},"hints":["Биссектрисы делят углы пополам: $\\angle AOC : 2 = 34^\\circ$, $\\angle COB = 180^\\circ-68^\\circ = 112^\\circ$, $112^\\circ : 2 = 56^\\circ$.","Угол между биссектрисами: $34^\\circ + 56^\\circ = 90^\\circ$.","Ответ: $90^\\circ$ — при любом $\\angle AOC$, ведь это половина от $180^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Углы $AOC$ и $COB$ смежные, $\\angle AOC = 130^\\circ$. Чему равен угол между биссектрисами этих углов?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$50^\\circ$","$65^\\circ$","$25^\\circ$","$90^\\circ$"],"explanations":["Это угол $COB$, смежный с данным, а не угол между биссектрисами","Это половина только угла $AOC$; к ней нужно прибавить половину смежного угла","Это половина только угла $COB$; к ней нужно прибавить половину угла $AOC$",""],"answer":[3]}},"hints":["Биссектрисы делят углы пополам: $\\angle AOC : 2 = 65^\\circ$, $\\angle COB = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$, $50^\\circ : 2 = 25^\\circ$.","Угол между биссектрисами: $65^\\circ + 25^\\circ = 90^\\circ$.","Ответ: $90^\\circ$ — при любом $\\angle AOC$, ведь это половина от $180^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 64^\\circ$, луч $OK$ — биссектриса угла $AOC$. Найдите угол $KOD$. Ответ дайте в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"148"}},"hints":["Биссектриса: $\\angle KOC = 64^\\circ : 2 = 32^\\circ$.","Лучи $OC$ и $OD$ лежат на одной прямой, поэтому углы $KOC$ и $KOD$ смежные.","$\\angle KOD = 180^\\circ-32^\\circ = 148^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 84^\\circ$, луч $OK$ — биссектриса угла $AOC$. Найдите угол $KOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"138"}},"hints":["Биссектриса: $\\angle AOK = 84^\\circ : 2 = 42^\\circ$.","Лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AOK$ и $KOB$ смежные.","$\\angle KOB = 180^\\circ-42^\\circ = 138^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Запись решения: $\\angle AOC = \\angle BOD$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["как вертикальные","как смежные","как соседние","по определению биссектрисы"],"answer":0}},"hints":["Посмотрите на стороны: $OB$ — продолжение $OA$, $OD$ — продолжение $OC$.","Стороны одного угла — продолжения сторон другого: углы вертикальные, а вертикальные углы равны.","Ответ: как вертикальные."],"step":1},{"id":"9","content":"Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Запись решения: $\\angle AOC + \\angle COB = 180^\\circ$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["как смежные","как вертикальные","как соседние","по определению биссектрисы"],"answer":0}},"hints":["Посмотрите на стороны: у углов общая сторона $OC$, а $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой.","Это смежные углы, их сумма $180^\\circ$.","Ответ: как смежные."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 40^\\circ$, $\\angle EOB = 75^\\circ$. Решавр нашел угол $COE$ так: «У углов $AOC$ и $COE$ общая сторона $OC$, значит, они смежные: $\\angle COE = 180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$». Оцените решение.[[choice-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/izdptlq7zmlb.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Неверно: $\\angle COE = 65^\\circ$","Неверно: $\\angle COE = 105^\\circ$","Неверно: $\\angle COE = 40^\\circ$","Верно: $\\angle COE = 140^\\circ$"],"explanations":["","Это $180^\\circ-75^\\circ$ — снова «соседние = смежные», только с углом $EOB$: забыт угол $AOC$","Так было бы, если бы углы были вертикальными; но у вертикальных углов нет общей стороны, а у $AOC$ и $COE$ она есть","Общая сторона — только первое условие; луч $OE$ не продолжение луча $OA$, углы не смежные"],"answer":[0]}},"hints":["Смежные углы: одна сторона общая, а две другие — на одной прямой. Лежат ли $OA$ и $OE$ на одной прямой?","Нет: продолжение $OA$ — луч $OB$. Развернутый угол $AOB$ составляют три угла: $AOC$, $COE$ и $EOB$.","$\\angle COE = 180^\\circ-40^\\circ-75^\\circ = 65^\\circ$. Ответ: решение неверное, углы не смежные."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 45^\\circ$, $\\angle EOB = 80^\\circ$. Решавр нашел угол $COE$ так: «У углов $AOC$ и $COE$ общая сторона $OC$, значит, они смежные: $\\angle COE = 180^\\circ-45^\\circ = 135^\\circ$». Оцените решение.[[choice-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l6vnwab19tm9.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Верно: $\\angle COE = 135^\\circ$","Неверно: $\\angle COE = 55^\\circ$","Неверно: $\\angle COE = 45^\\circ$","Неверно: $\\angle COE = 100^\\circ$"],"explanations":["Общая сторона — только первое условие; луч $OE$ не продолжение луча $OA$, углы не смежные","","Так было бы, если бы углы были вертикальными; но у вертикальных углов нет общей стороны, а у $AOC$ и $COE$ она есть","Это $180^\\circ-80^\\circ$ — снова «соседние = смежные», только с углом $EOB$: забыт угол $AOC$"],"answer":[1]}},"hints":["Смежные углы: одна сторона общая, а две другие — продолжения одна другой. Продолжает ли луч $OE$ луч $OA$?","Нет: продолжение $OA$ — луч $OB$. Развернутый угол $AOB$ составляют три угла: $AOC$, $COE$ и $EOB$.","$\\angle COE = 180^\\circ-45^\\circ-80^\\circ = 55^\\circ$. Ответ: решение неверное, углы не смежные."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>