Смежные и вертикальные углы в задачах

Содержание

Определения смежных и вертикальных углов и доказательства их свойств разобраны в уроках «Смежные углы» и «Вертикальные углы», а развернутый угол и биссектриса — в уроке «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса». Этот урок — практикум. Научимся узнавать пары углов на чертеже из двух и трех прямых, находить углы в несколько шагов, докажем, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол, и запишем решение с обоснованием каждого равенства.

Вопрос для начала. Прокл, автор комментария к «Началам» Евклида, пишет со слов историка Евдема: равенство вертикальных углов первым открыл Фалес, а научное доказательство этого свойства дано в «Началах». Но равенство и так видно на глаз. Зачем его доказывать? Ответим в последнем разделе.

Общей стороны мало: смежные углы вместе дают развернутый

Начертите прямую $AB$ и отметьте на ней точку $O$. Лучи $OA$ и $OB$ образуют развернутый угол $AOB$, он равен $180^\circ$. Проведите из точки $O$ луч $OC$. Он разрезал развернутый угол на два угла — $AOC$ и $COB$. Вместе они снова дают развернутый угол, поэтому $\angle AOC+\angle COB = 180^\circ$. Это смежные углы.

Теперь проведите еще один луч $OE$ между $OC$ и $OB$. У углов $AOC$ и $COE$ тоже есть общая сторона $OC$, и лежат они тоже рядом. Но вместе они составляют угол $AOE$, а не развернутый: луч $OE$ не лежит на продолжении луча $OA$. Такие углы просто соседние.

Слева углы AOC и COB смежные: лучи OA и OB лежат на одной прямой; справа углы AOC и COE соседние, но не смежные: луч OE не лежит на продолжении луча OA — Слева $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой — углы $AOC$ и $COB$ смежные. Справа $OA$ и $OE$ не на одной прямой — углы $AOC$ и $COE$ соседние, но не смежные

Определение

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Вернемся к прямой $AB$ и лучу $OC$ и продолжим луч $OC$ за точку $O$ — получится луч $OD$ и прямая $CD$. Стороны угла $BOD$ — продолжения сторон угла $AOC$: $OB$ продолжает $OA$, $OD$ продолжает $OC$. Значит, углы $AOC$ и $BOD$ вертикальные.

Почему вертикальные углы равны, видно с калькой. Скопируйте угол $AOC$ на кальку, приколите ее булавкой в точке $O$ и поверните на пол-оборота. Луч $OA$ ляжет на свое продолжение $OB$, луч $OC$ — на $OD$, и копия угла $AOC$ совпадет с углом $BOD$.

Строгое доказательство обходится без кальки — через смежные углы: $\angle AOC+\angle COB = 180^\circ$ и $\angle COB+\angle BOD = 180^\circ$, значит, $\angle AOC = \angle BOD$. Подробно оно разобрано в уроке «Вертикальные углы».

Две прямые AB и CD пересекаются в точке O. Калька с углом AOC, повернутая на пол-оборота вокруг булавки в O, ложится на вертикальный угол BOD, а калька с углом COB — на угол AOD — Копия угла $AOC$ на кальке после поворота на пол-оборота вокруг $O$ ложится на угол $BOD$. Так же угол $COB$ ложится на угол $AOD$

Пару проверяют по определению, а не на глаз. Для смежных углов нужны оба условия: общая сторона есть и две другие стороны лежат на одной прямой. У вертикальных углов общей стороны нет, зато каждая сторона одного угла продолжает сторону другого.

Ошибка

Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOC = 50^\circ$. Решавр рассуждает: «У углов $AOC$ и $COE$ общая сторона $OC$, значит, они смежные: $\angle COE = 180^\circ-50^\circ = 130^\circ$».

Проверим на числах. Лучи $OC$ и $OE$ лежат между лучами $OA$ и $OB$, поэтому углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ вместе составляют развернутый угол $AOB$. Если бы $\angle COE = 130^\circ$, на угол $EOB$ осталось бы $180^\circ-50^\circ-130^\circ = 0^\circ$: луч $OE$ совпал бы с $OB$, а прямая $EF$ — с прямой $AB$. На чертеже это разные прямые, значит, ответ неверен.

Где сломалось рассуждение: проверено только первое условие определения. Общая сторона есть, но лучи $OA$ и $OE$ не продолжают друг друга.

{"questions":[{"content":"Углы $AOC$ и $COE$ имеют общую сторону $OC$. В каком случае они смежные?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Когда углы равны","Когда луч $OE$ — продолжение луча $OA$","Когда их сумма меньше $180^\\circ$","Всегда: общая сторона у них уже есть"],"explanations":["Равенство не нужно: смежные углы $30^\\circ$ и $150^\\circ$ не равны","","Сумма смежных углов всегда ровно $180^\\circ$","Общая сторона — только первое условие; без второго это просто соседние углы"],"answer":[1]}},"hints":["Смежные углы: одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.","Общая сторона $OC$ уже есть. Осталось второе условие: лучи $OA$ и $OE$ должны лежать на одной прямой и смотреть в разные стороны.","Ответ: когда луч $OE$ — продолжение луча $OA$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Распределите пары углов.[[grouper-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/77osljpqk0e4.svg"},"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Смежные","Вертикальные","Ни то ни другое"],"items":[["$\\angle AOC$ и $\\angle COB$","$\\angle EOB$ и $\\angle BOF$"],["$\\angle AOC$ и $\\angle BOD$","$\\angle COE$ и $\\angle DOF$"],["$\\angle AOC$ и $\\angle COE$","$\\angle AOC$ и $\\angle EOB$"]]}},"hints":["Смежные: одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Вертикальные: стороны одного угла — продолжения сторон другого.","$\\angle AOC$ и $\\angle COB$: общая сторона $OC$, лучи $OA$ и $OB$ — на прямой $AB$, смежные. $\\angle EOB$ и $\\angle BOF$: общая $OB$, лучи $OE$ и $OF$ — на прямой $EF$, смежные.","$\\angle AOC$ и $\\angle BOD$, $\\angle COE$ и $\\angle DOF$ — вертикальные. У $\\angle AOC$ и $\\angle COE$ лучи $OA$ и $OE$ не лежат на одной прямой — ни то ни другое; у $\\angle AOC$ и $\\angle EOB$ нет общей стороны, а продолжают друг друга только $OA$ и $OB$; $OE$ не продолжает $OC$ — углы не вертикальные."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 38^\\circ$. Решавр: «$\\angle COE$ смежный с $\\angle AOC$, значит, $\\angle COE = 180^\\circ-38^\\circ = 142^\\circ$». Какой из этих углов на самом деле равен $142^\\circ$?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0xtqqtfp7vo9.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\angle EOB$","$\\angle BOD$","$\\angle COB$","$\\angle COE$"],"explanations":["У него нет общей стороны с $\\angle AOC$, поэтому смежными эти углы быть не могут","Это угол, вертикальный углу $AOC$: он равен $38^\\circ$","","Это ошибка Решавра: угол соседний, но не смежный — луч $OE$ не продолжает $OA$. Он меньше $142^\\circ$, ведь вместе с $\\angle EOB$ составляет $\\angle COB$"],"answer":[2]}},"hints":["Угол $180^\\circ-38^\\circ = 142^\\circ$ — это угол, смежный с $\\angle AOC$. Ищем угол с общей стороной, у которого две другие стороны лежат на одной прямой.","У $\\angle AOC$ и $\\angle COE$ общая сторона есть, но луч $OE$ не продолжает $OA$ — Решавр ошибся. У $\\angle AOC$ и $\\angle COB$ общая сторона $OC$, а лучи $OA$ и $OB$ лежат на прямой $AB$ — углы смежные.","$\\angle COB = 180^\\circ-38^\\circ = 142^\\circ$. Ответ: $\\angle COB$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала назовите пару, потом считайте

Калька отвечает на вопрос «равны ли углы», но не говорит, сколько в них градусов. Числа дают сумма $180^\circ$ и деление на равные части. Поэтому любая задача решается по одной схеме.

Метод

Назовите пару и причину: «смежные — общая сторона, две другие на одной прямой» или «вертикальные — стороны продолжают друг друга».
Запишите равенство: сумма смежных углов $180^\circ$, вертикальные углы равны.
Если углы даны через «в $k$ раз больше», «относятся как $m : n$» или «на $d$ больше», разделите $180^\circ$ на части.
Проверьте ответ: сумма смежных углов $180^\circ$, угол, смежный с острым, — тупой.

Задача 1

Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите оба угла.

Решение. Углы смежные, их сумма $180^\circ$. Примем меньший угол за 1 часть, тогда больший — 4 таких части, а вместе $1+4 = 5$ частей. Одна часть: $180^\circ : 5 = 36^\circ$. Больший угол: $36^\circ \cdot 4 = 144^\circ$. Проверка: $36^\circ+144^\circ = 180^\circ$, к острому углу смежный тупой.

Ответ: $36^\circ$ и $144^\circ$.

Если углы относятся как $2 : 7$, то частей $2+7 = 9$, одна часть $180^\circ : 9 = 20^\circ$, углы $40^\circ$ и $140^\circ$.

Если сказано «на $d$ больше», сначала уберите разницу: останутся два равных меньших угла. Например, при разнице $30^\circ$ меньший угол равен $(180^\circ-30^\circ) : 2 = 75^\circ$, больший — $75^\circ+30^\circ = 105^\circ$.

Задача 2

При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна $220^\circ$. Найдите все четыре угла.

Решение. Сначала назовем пару. Любые два из четырех углов либо смежные, либо вертикальные. Смежные дали бы в сумме $180^\circ$, а здесь $220^\circ$, значит, данные углы вертикальные и равны: $220^\circ : 2 = 110^\circ$. Каждый из двух других углов смежный с углом $110^\circ$: $180^\circ-110^\circ = 70^\circ$. Проверка: $110^\circ+70^\circ+110^\circ+70^\circ = 360^\circ$ — две пары смежных углов.

Ответ: $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$.

Две пересекающиеся прямые: два тупых вертикальных угла по 110° в сумме дают 220°, два острых угла по 70°; сумма 220° больше 180°, поэтому эти углы не смежные — Сумма $220^\circ$ больше $180^\circ$: два данных угла не смежные, а вертикальные — по $110^\circ$; два других угла по $70^\circ$

{"questions":[{"content":"Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Меньший угол — 1 часть, больший — 5 таких частей. Вместе $180^\\circ$, это $1 + 5 = 6$ частей.","Одна часть: $180^\\circ : 6 = 30^\\circ$.","Больший угол: $30^\\circ \\cdot 5 = 150^\\circ$."],"step":1},{"content":"Один из смежных углов на $40^\\circ$ больше другого. Сопоставьте угол и его величину.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Больший угол","Меньший угол"],"items":["$110^\\circ$","$70^\\circ$","$140^\\circ$","$40^\\circ$"]}},"hints":["Если от суммы $180^\\circ$ отнять разницу $40^\\circ$, останутся два равных меньших угла: $180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$.","Меньший угол: $140^\\circ : 2 = 70^\\circ$; больший: $70^\\circ + 40^\\circ = 110^\\circ$.","Проверка: $110^\\circ + 70^\\circ = 180^\\circ$."],"step":1},{"content":"При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух из них равна $250^\\circ$. Найдите меньший из четырех углов. Ответ дайте в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"55"}},"hints":["Сумма смежных углов $180^\\circ$, а здесь $250^\\circ$ — значит, эти два угла не смежные, а вертикальные. Вертикальные углы равны.","Каждый из них: $250^\\circ : 2 = 125^\\circ$.","Смежный с ним угол: $180^\\circ-125^\\circ = 55^\\circ$ — он и меньший."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

На чертеже из трех прямых вертикальный угол лежит напротив

Проведем через точку $O$ три прямые $AB$, $CD$ и $EF$. Получится шесть углов. Пронумеруем их по кругу: $\angle 1 = \angle AOC$, $\angle 2 = \angle COE$, $\angle 3 = \angle EOB$, $\angle 4 = \angle BOD$, $\angle 5 = \angle DOF$, $\angle 6 = \angle FOA$.

Лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой, поэтому углы 1, 2 и 3 вместе составляют развернутый угол $AOB$. Теперь повернем кальку с углом 1 на пол-оборота: $OA$ ляжет на $OB$, $OC$ — на $OD$, и угол 1 совпадет с углом 4. Так же угол 2 ляжет на угол 5, а угол 3 — на угол 6.

Прямые AB, CD и EF пересекаются в точке O; шесть углов пронумерованы 1–6, вертикальные углы 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 отмечены одинаково; три угла 1, 2, 3 вместе образуют развернутый угол AOB — Вертикальные углы 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 одного цвета: каждый лежит напротив своего. Углы 1, 2, 3 вместе — развернутый угол

Правило

Если через точку $O$ проходят три прямые, то три угла подряд между двумя лучами одной прямой в сумме дают $180^\circ$:

Вертикальный угол к данному — противоположный: между ними с каждой стороны по два угла.

Задача 3

Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOC = 50^\circ$, $\angle COE = 70^\circ$. Найдите остальные четыре угла.

Решение. Углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ составляют развернутый угол $AOB$: $\angle EOB = 180^\circ-50^\circ-70^\circ = 60^\circ$. Дальше — вертикальные углы: $\angle BOD = \angle AOC = 50^\circ$, $\angle DOF = \angle COE = 70^\circ$, $\angle FOA = \angle EOB = 60^\circ$. Проверка: $50^\circ+70^\circ+60^\circ+50^\circ+70^\circ+60^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $\angle EOB = 60^\circ$, $\angle BOD = 50^\circ$, $\angle DOF = 70^\circ$, $\angle FOA = 60^\circ$.

Ошибка

На том же чертеже Решавр ищет угол, вертикальный углу $AOC$: «Вертикальный угол — через один. Через один от угла $AOC$ лежит угол $EOB$, значит, $\angle EOB = 50^\circ$».

Проверим калькой: при повороте на пол-оборота $OA$ идет в $OB$, $OC$ — в $OD$, и угол $AOC$ ложится на угол $BOD$, а не на $EOB$. Проверим числами: если $\angle EOB = 50^\circ$, то $50^\circ+70^\circ+50^\circ = 170^\circ$, и развернутый угол $AOB$ не собирается.

Где сломалось рассуждение: у угла $EOB$ только сторона $OB$ продолжает сторону угла $AOC$, а $OE$ не продолжает $OC$. У вертикальных углов продолжениями должны быть обе стороны. При двух прямых угол «через один» и есть противоположный, поэтому привычка подводит именно на трех прямых.

Три прямые через точку O: калька с углом AOC, повернутая на пол-оборота, ложится на угол BOD; угол EOB, расположенный через один угол от AOC, не равен ему — Копия угла $AOC$ после поворота на пол-оборота ложится на противоположный угол $BOD$, а не на угол $EOB$ «через один»

uploaded-smezhnye-vertikalnye-tri-pryamye-f2cbfc6dc121

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 32^\\circ$, $\\angle COE = 76^\\circ$. Найдите угол $EOB$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ftt98gr6i48p.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой: углы $AOC$, $COE$ и $EOB$ вместе составляют развернутый угол $AOB$.","$\\angle EOB = 180^\\circ-32^\\circ-76^\\circ = 72^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-2]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Сопоставьте каждому углу вертикальный ему угол.[[matcher-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/77osljpqk0e4.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\angle AOC$","$\\angle COE$","$\\angle EOB$"],"items":["$\\angle BOD$","$\\angle DOF$","$\\angle FOA$"]}},"hints":["У вертикальных углов стороны одного — продолжения сторон другого. Продолжения лучей: $OA$ — $OB$, $OC$ — $OD$, $OE$ — $OF$.","Сторонам $OA$ и $OC$ соответствуют $OB$ и $OD$; сторонам $OC$ и $OE$ — $OD$ и $OF$; сторонам $OE$ и $OB$ — $OF$ и $OA$.","Ответ: $\\angle AOC$ — $\\angle BOD$, $\\angle COE$ — $\\angle DOF$, $\\angle EOB$ — $\\angle FOA$."],"step":1},{"content":"[[image-3]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 25^\\circ$, $\\angle COE = 85^\\circ$. Решавр нашел угол $FOA$ так: «Угол $FOA$ — через один от угла $COE$, значит, он вертикальный ему: $\\angle FOA = 85^\\circ$». Оцените решение.[[choice-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/iisnvekgp19f.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Верно: $\\angle FOA = \\angle COE = 85^\\circ$","Неверно: $\\angle FOA$ вертикален углу $AOC$, $\\angle FOA = 25^\\circ$","Неверно: $\\angle FOA$ смежный с $\\angle COE$, $\\angle FOA = 95^\\circ$","Неверно: $\\angle FOA$ вертикален углу $EOB$, $\\angle FOA = 70^\\circ$"],"explanations":["Стороны $OF$ и $OA$ продолжают $OE$ и $OB$, а не $OC$ и $OE$: «через один» — не признак вертикальных углов","У $\\angle FOA$ и $\\angle AOC$ общая сторона $OA$ — это соседние углы, а не вертикальные","У $\\angle FOA$ и $\\angle COE$ нет общей стороны — они не смежные",""],"answer":[3]}},"hints":["Поверните угол $COE$ на пол-оборота вокруг $O$: куда перейдут лучи $OC$ и $OE$? Какой угол получится?","$OC$ перейдет в $OD$, $OE$ — в $OF$: вертикален углу $COE$ угол $DOF$, а не $FOA$. Угол $FOA$ вертикален углу $EOB$, $\\angle EOB = 180^\\circ-25^\\circ-85^\\circ = 70^\\circ$.","$\\angle FOA = 70^\\circ$. Ответ: решение неверное."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Биссектрисы смежных углов всегда образуют прямой угол

Пусть углы $AOC$ и $COB$ смежные и $\angle AOC = 50^\circ$, тогда $\angle COB = 130^\circ$. Проведем биссектрисы: $OK$ — угла $AOC$, $OM$ — угла $COB$. Угол $KOM$ состоит из двух половинок: $25^\circ+65^\circ = 90^\circ$. Возьмем другой угол: при $\angle AOC = 120^\circ$ смежный угол равен $60^\circ$, а половинки — $60^\circ$ и $30^\circ$. Снова $90^\circ$.

Причину видно, если перегнуть лист. Сложим его по биссектрисе $OK$: луч $OA$ ляжет на общую сторону $OC$. Сложим по биссектрисе $OM$: луч $OB$ тоже ляжет на $OC$. Весь развернутый угол $AOB$ сложился вдвое, поэтому угол между сгибами — половина развернутого: $180^\circ : 2 = 90^\circ$.

Прямая AB и луч OC; биссектрисы OK и OM смежных углов AOC и COB задают два сгиба: луч OA сгибом по OK ложится на OC, луч OB сгибом по OM тоже ложится на OC; угол KOM равен 90° — Сгибы по биссектрисам $OK$ и $OM$ кладут лучи $OA$ и $OB$ на общую сторону $OC$: развернутый угол сложен вдвое, $\angle KOM = 90^\circ$

Теорема

Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол: угол между ними равен $90^\circ$. Такие лучи называют перпендикулярными — подробно в следующем уроке.

Ответ не зависит от того, каким был угол $AOC$. Именно поэтому это теорема, а не совпадение двух примеров. А биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой: калька, повернутая на пол-оборота, переводит биссектрису угла $AOC$ в биссектрису угла $BOD$, и луч переходит в свое продолжение. Доказательство — в уроке «Вертикальные углы».

{"questions":[{"content":"Углы $AOC$ и $COB$ смежные, $\\angle AOC = 46^\\circ$. Чему равен угол между биссектрисами этих углов?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$67^\\circ$","$134^\\circ$","$90^\\circ$","$23^\\circ$"],"explanations":["Это половина только угла $COB$; к ней нужно прибавить половину угла $AOC$","Это угол $COB$, смежный с данным, а не угол между биссектрисами","","Это половина только угла $AOC$; к ней нужно прибавить половину угла $COB$"],"answer":[2]}},"hints":["Биссектрисы делят углы пополам: $46^\\circ : 2 = 23^\\circ$; $\\angle COB = 180^\\circ-46^\\circ = 134^\\circ$, $134^\\circ : 2 = 67^\\circ$.","Угол между биссектрисами состоит из двух половинок: $23^\\circ + 67^\\circ$.","Ответ: $90^\\circ$."],"step":1},{"content":"Углы $AOC$ и $COB$ смежные. Луч $OK$ — биссектриса угла $AOC$, луч $OM$ — биссектриса угла $COB$, $\\angle KOC = 20^\\circ$. Найдите угол $COM$. Ответ дайте в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Биссектриса делит угол пополам: $\\angle AOC = 2 \\cdot 20^\\circ = 40^\\circ$.","Смежный угол: $\\angle COB = 180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$.","$\\angle COM = 140^\\circ : 2 = 70^\\circ$. Проверка: $20^\\circ + 70^\\circ = 90^\\circ$ — биссектрисы смежных углов образуют прямой угол."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Каждое равенство записываем вместе с причиной

В решении задачи на углы у каждого равенства есть причина: «как смежные» или «как вертикальные». Причина — это и проверка. Если ее не удается назвать, равенство, скорее всего, неверно. Вот запись задачи 3.

Запись	Почему
Дано: прямые $AB$, $CD$, $EF$ пересекаются в точке $O$; $\angle AOC = 50^\circ$, $\angle COE = 70^\circ$	Условие
$\angle EOB = 180^\circ-50^\circ-70^\circ = 60^\circ$	Углы $AOC$, $COE$, $EOB$ составляют развернутый угол $AOB$
$\angle BOD = \angle AOC = 50^\circ$	Как вертикальные
$\angle DOF = \angle COE = 70^\circ$	Как вертикальные
$\angle FOA = \angle EOB = 60^\circ$	Как вертикальные

Обратите внимание

«Соседние» и «через один» — не причины. Свойства «соседние углы равны» или «соседние углы в сумме дают $180^\circ$» нет: так ведут себя только смежные и вертикальные углы.

Две половинки ножниц можно считать двумя прямыми, которые пересекаются в винте $O$: каждая ручка продолжает свое лезвие. Тогда угол раскрытия ручек и угол раскрытия лезвий — вертикальные и всегда равны: насколько развели кольца, настолько раскрылись лезвия. Ручка и ее собственное лезвие образуют развернутый угол, он не меняется. А ручка и чужое лезвие образуют угол, смежный с углом раскрытия: раскрыли лезвия на $30^\circ$ — этот угол равен $150^\circ$.

Схема ножниц: две половинки — прямые, пересекающиеся в винте O; угол между лезвиями 30° равен вертикальному углу между ручками 30°, а угол между ручкой и чужим лезвием 150° — Ножницы как две прямые через винт: угол раскрытия ручек равен углу раскрытия лезвий — они вертикальные

Теперь ответ на вопрос из начала урока. На двух прямых равенство вертикальных углов действительно видно. Но на чертеже из трех прямых глаз путает соседние, смежные и вертикальные углы — это обе ошибки Решавра. Рассуждение через смежные углы от вида чертежа не зависит: если стороны угла 1 продолжают стороны угла 2, а угол $x$ смежный с каждым из них, то $\angle 1+\angle x = 180^\circ$ и $\angle 2+\angle x = 180^\circ$, значит, $\angle 1 = \angle 2$. Глаз не отличит $89^\circ$ от $91^\circ$ и не проверит все пары прямых — их бесконечно много. Доказательство проверяет все случаи сразу. Поэтому в решении пишут не «видно», а «как вертикальные».

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямые $AB$, $CD$ и $EF$ пересекаются в точке $O$. Запись решения: $\\angle EOB = \\angle FOA$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/77osljpqk0e4.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["как вертикальные","как смежные","как соседние","по определению биссектрисы"],"answer":0}},"hints":["Посмотрите на стороны: $OF$ — продолжение $OE$, $OA$ — продолжение $OB$.","Стороны одного угла — продолжения сторон другого: углы вертикальные, а вертикальные углы равны.","Ответ: как вертикальные."],"step":1},{"content":"Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOC = 40^\\circ$. Ученик записал: 1) $\\angle BOD = 40^\\circ$ как вертикальный с $\\angle AOC$; 2) $\\angle AOD = 180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$ как смежный с $\\angle AOC$; 3) $\\angle BOC = 40^\\circ$ как вертикальный с $\\angle AOC$. В каком шаге ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В шаге 1","В шаге 2","Ошибок нет","В шаге 3"],"explanations":["$OB$ — продолжение $OA$, $OD$ — продолжение $OC$: углы $BOD$ и $AOC$ вертикальные, шаг верный","У $\\angle AOD$ и $\\angle AOC$ общая сторона $OA$, а $OC$ и $OD$ на одной прямой: углы смежные, шаг верный","Угол $BOC$ имеет с $\\angle AOC$ общую сторону $OC$ — он смежный с ним, а не вертикальный, и равен $140^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте каждое обоснование по сторонам углов: у вертикальных углов стороны продолжают друг друга, у смежных одна сторона общая.","У $\\angle BOC$ и $\\angle AOC$ общая сторона $OC$, а $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой — это смежные углы, а не вертикальные.","$\\angle BOC = 180^\\circ-40^\\circ = 140^\\circ$. Ответ: в шаге 3."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на смежные и вертикальные углы встречаются в ВПР и в задачах следующих уроков: перпендикулярные прямые, треугольники, параллельные прямые. Ошибаются в них не в арифметике, а в выборе пары. Поэтому сначала назовите пару и причину, а потом считайте.

Калька показывает только равенство углов. Числа дают сумма $180^\circ$ и деление на части.

Часто задаваемые вопросы

Почему углы с общей стороной не всегда смежные?

Смежные углы вместе составляют развернутый угол, поэтому две другие их стороны должны лежать на одной прямой. Если этого нет, углы просто соседние, и их сумма может быть любой. Проверяйте оба условия определения.

Как быстро найти вертикальный угол на сложном чертеже?

Продолжите обе стороны данного угла за вершину. Угол между продолжениями и есть вертикальный. На чертеже из трех прямых он лежит напротив, а не «через один».

Чему равна сумма вертикальных углов?

Определенного числа нет: вертикальные углы равны, а их сумма — удвоенный угол, она может быть и $60^\circ$, и $250^\circ$. Ровно $180^\circ$ дает сумма смежных углов. Поэтому если сумма двух углов при пересечении двух прямых не $180^\circ$, эти углы вертикальные.

Могут ли смежные углы быть равными?

Да, если каждый из них равен $180^\circ : 2 = 90^\circ$. Тогда прямые пересекаются под прямым углом. Такие прямые называют перпендикулярными — это тема следующего урока.

Можно ли решать задачи на части уравнением?

Можно: если меньший угол $x$, а больший $4x$, то $x+4x = 180^\circ$. Это то же деление на 5 частей, только записанное буквами. Для смежных углов оба способа дают одинаковый ответ.

Награды за урок