Вертикальные углы

Вертикальные углы — один из ключевых видов составных углов в геометрии. Чтобы их построить, рассмотрим на плоскости пару смежных углов и продлим одну из их сторон в противоположном направлении. В результате получаются две пары смежных углов, стороны которых располагаются на одной прямой. Эти пары и образуют вертикальные углы.

На этом уроке мы узнаем, что такое вертикальные углы, докажем теорему о равенстве вертикальных углов и познакомимся с их биссектрисами.

Определение вертикальных углов

Если смежные углы можно сравнить с соседями через стену, то вертикальные углы подобны соседям, живущим этажом ниже, — они расположены друг напротив друга, но имеют общую вершину.

Рассмотрим пару углов $∠α$ и $∠β$. Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого.

Вертикальные углы — это углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Сопоставьте буквенные обозначения углов парами так, чтобы данные пары углов являлись вертикальными.[[matcher-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/vertical-test-1.svg"},"matcher-9":{"type":"matcher","labels":["$\\angle BOC$","$\\angle AOB$"],"items":["$\\angle FOA$","$\\angle FOC$"]}}}]}

Вертикальные углы равны?

Рассмотрим пары вертикальных углов: $∠1$ и $∠3$, $∠2$ и $∠4$.

На первый взгляд кажется, что вертикальные углы попарно равны. Однако это свойство не следует из определения, поэтому его необходимо доказать.

{"questions":[{"content":"Перед доказательством проверим, помните ли вы свойство смежных углов.<br /><br />«Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны».[[fill_choice_big-56]]","widgets":{"fill_choice_big-56":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы равны.

Доказательство
Рассмотрим произвольные вертикальные углы $∠1$ и $∠3$. Угол $∠4$ является смежным и с $∠1$, и с $∠3$.

Из теоремы о сумме смежных углов следует, что у равных углов равны смежные с ними углы. Следовательно, $∠1 = ∠3$. Аналогично для другой пары вертикальных углов $∠2$ и $∠4$, где общим смежным является $∠1$, получаем $∠2 = ∠4$.

Таким образом, вертикальные углы равны, что и требовалось доказать.

Интерактив

В этом интерактиве вы можете сами управлять положением пересекающихся прямых и наблюдать, как изменяются углы при их пересечении. Передвигая ползунок, вы задаете величину угла, а вертикальные углы сразу подсвечиваются зеленым цветом.

Такое задание помогает не просто понять правило «вертикальные углы равны», но и увидеть его наглядное подтверждение.

Смежные и вертикальные углы

Несмотря на общую вершину, смежные и вертикальные углы различаются. Для понимания различия рассмотрим задачу.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Может ли сумма вертикальных углов, как и смежных, быть равной $180^\\circ$?[[fill_choice_big-62]]","widgets":{"fill_choice_big-62":{"type":"fill_choice_big","options":["Конечно, да!","Нет, не думаю."],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Сумма вертикальных углов

Сумма всех вертикальных углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $360^\circ$.

Поскольку сумма смежных углов составляет $180^\circ$, а при пересечении двух прямых образуется две пары смежных углов, получаем:

$x + y = 180^\circ$,
$2x + 2y = 360^\circ$.

Таким образом, сумма вертикальных углов равна полному углу — $360^\circ$.

Где может пригодиться свойство вертикальных углов?

Свойство вертикальных углов часто используется при решении задач на нахождение неизвестных углов.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Распределите суммы градусных мер согласно предложенным углам.[[matcher-70]]","widgets":{"matcher-70":{"type":"matcher","labels":["Смежные углы","Вертикальные углы"],"items":["$180^\\circ$","$360^\\circ$","$90^\\circ$"]}}}]}

Биссектрисы вертикальных углов

Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Пусть $AD$ — биссектриса угла $∠A$.

Для вертикальных углов характерна особенность: их биссектрисы всегда располагаются на одной прямой. Это свойство можно доказать теоретически.

Как запомнить, что такое биссектриса:

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Теорема о биссектрисе вертикального угла

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство
Рассмотрим вертикальные углы $∠AOC$ и $∠BOD$.
Пусть $OL$ и $OM$ — их биссектрисы.

Так как $\angle AOC = \angle BOD$, то:

$\angle BOM = \angle MOD = \angle AOL = \angle LOC = \alpha$.

Поскольку градусные меры этих углов равны, рассмотрим смежные углы $\angle COB$ и $\angle BOD$:

$\angle COB = 180^\circ - 2\alpha$.

Тогда сумма углов $\angle LOC + \angle COB + \angle BOM$ равна:

$\alpha + (180^\circ - 2\alpha) + \alpha = 180^\circ$.

Из этого следует, что угол $\angle LOM$ является развернутым, а точки $L$, $O$, $M$ лежат на одной прямой. Следовательно, биссектрисы вертикальных углов расположены на одной прямой, что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"[[image-73]]Чему равна градусная мера $\\angle C_1OB$, если $\\alpha = 32^\\circ$, а $OB_1$ является биссектрисой угла $\\angle BOD$?<br /><br />Точки $C_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой.[[choice-77]]","widgets":{"image-73":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/bisect-test.svg"},"choice-77":{"type":"choice","options":["$32^\\circ$","$116^\\circ$","$180^\\circ$","$98^\\circ$","$188^\\circ$"],"answer":[1]}}}]}

Часто задаваемые вопросы