Градусная мера угла. Транспортир. Виды углов

Содержание

В уроке «Угол. Развернутый угол. Сравнение углов. Биссектриса» вы сравнивали углы наложением. Но так можно сравнить только два угла, которые лежат перед глазами. Чтобы записать величину угла числом и сравнивать любые углы, их измеряют — в градусах. В этом уроке разберем, что такое градус, как складываются углы, как измерять и строить углы транспортиром и какие бывают виды углов.

Модель та же: угол можно получить поворотом луча, и величина угла — это то, насколько повернули луч. А вопрос такой: почему развернутый угол равен $180^\circ$, а не, например, 100? Ответ — в последнем разделе.

Градус — шаг поворота

Отрезок измеряют, укладывая в нем единичный отрезок — сантиметр. Для углов нужна своя единица. Возьмем развернутый угол — пол-оборота луча — и разделим его лучами из вершины на 180 равных частей. Каждая часть — маленький угол, это и есть единица измерения.

Развернутый угол AOB разделен на 180 равных частей — каждая часть равна 1° (так устроена шкала транспортира). Луч OC повернулся от OA на 40 таких частей: ∠AOC = 40° — Развернутый угол разделен на 180 равных частей — так устроена шкала транспортира, о нем в разделе 3. Луч $OC$ повернулся от $OA$ на 40 частей: $\angle AOC = 40^\circ$

Определение

Градус ($1^\circ$) — угол, равный $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Градусная мера угла показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Свойства градусной меры

Каждый угол имеет градусную меру, большую $0^\circ$. Развернутый угол равен $180^\circ$.

Равные углы имеют равные градусные меры. Больший угол имеет большую градусную меру.

Пол-оборота — $180^\circ$, поэтому четверть оборота (половина от пол-оборота) — это $90^\circ$, а полный оборот (два пол-оборота) — $360^\circ$. Градусная мера зависит только от поворота, а не от длины сторон: если продлить стороны угла, ни одна из 180 частей не добавится. Поэтому «длинный» угол может быть меньше «короткого».

Пример

Задача. Какую часть развернутого угла составляет угол $45^\circ$? А угол $120^\circ$?

Решение. В развернутом угле $180^\circ$. Угол $45^\circ$ укладывается в нем 4 раза ($45^\circ \cdot 4 = 180^\circ$), значит, это четверть развернутого угла. Угол $120^\circ$ — это две трети: $180^\circ : 3 = 60^\circ$, а $120^\circ = 2 \cdot 60^\circ$.

Ответ: $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{3}$.

Для более точных измерений градус делят на 60 минут: $1^\circ = 60’$. Например, $30’$ — это половина градуса, поэтому $1^\circ 30′ = 1{,}5^\circ$.

Интересный факт: секунды и карты

Скрыть

Минуту, в свою очередь, делят на 60 секунд: $1′ = 60»$. В градусах, минутах и секундах записывают координаты на географических картах и положения звезд на небе.

{"questions":[{"content":"Сколько градусов в угле, который составляет третью часть развернутого угла?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["60","60°"],"inline":1}},"hints":["Развернутый угол равен $180^\\circ$.","Третья часть: $180^\\circ : 3 = 60^\\circ$."],"step":1},{"content":"$1^\\circ 30' =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1{,}5^\\circ$","$1{,}3^\\circ$","$1{,}30^\\circ$","$13^\\circ$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите ответ","hints":["В градусе 60 минут, поэтому $30'$ — это половина градуса: $30 : 60 = 0{,}5$.","$1^\\circ 30' = 1^\\circ + 0{,}5^\\circ = 1{,}5^\\circ$."],"explanation":"Минуты — не десятичные доли: $30'$ — это $\\frac{30}{60} = 0{,}5$ градуса, а не $0{,}30$. Поэтому запись $1{,}30^\\circ$ неверна, а $13^\\circ$ получается, если просто «слить» цифры.","step":1}],"mix":1}

Сложение углов: два поворота подряд

Пусть луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$. Повернем луч $OA$ до $OC$ — это $48^\circ$, а потом от $OC$ до $OB$ — еще $82^\circ$. Вместе луч повернулся от $OA$ до $OB$ на $48^\circ + 82^\circ = 130^\circ$.

Луч OC проходит внутри угла AOB и делит его на углы 48° и 82°. Два поворота подряд: ∠AOB = 48° + 82° = 130° — $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB = 48^\circ + 82^\circ = 130^\circ$

Правило

Если луч проходит внутри угла и делит его на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов:

$$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB.$$

Пример

Задача. $\angle AOB = 130^\circ$, луч $OK$ — биссектриса этого угла, луч $OC$ проходит внутри угла и $\angle AOC = 48^\circ$. Найдите $\angle COB$ и $\angle KOB$.

Решение. По правилу сложения $\angle COB = \angle AOB-\angle AOC = 130^\circ-48^\circ = 82^\circ$. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому $\angle KOB = 130^\circ : 2 = 65^\circ$.

Ответ: $82^\circ$ и $65^\circ$.

Бывает, что в условии не сказано, какой из лучей лежит внутри. Тогда возможны два рисунка — и два ответа.

∠AOB = 50°, ∠BOC = 20°. Слева луч OC проходит внутри угла AOB: ∠AOC = 30°. Справа луч OB проходит внутри угла AOC: ∠AOC = 70° — $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle BOC = 20^\circ$. Слева $OC$ внутри угла $AOB$: $\angle AOC = 30^\circ$. Справа $OB$ внутри угла $AOC$: $\angle AOC = 70^\circ$

Пример

Задача. $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle BOC = 20^\circ$. Найдите $\angle AOC$.

Решение. Если луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, то $\angle AOC = 50^\circ-20^\circ = 30^\circ$. Если луч $OB$ лежит внутри угла $AOC$, то $\angle AOC = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$. Условие не говорит, какой случай, поэтому годятся оба.

Ответ: $30^\circ$ или $70^\circ$.

{"questions":[{"content":"Луч $OP$ проходит внутри угла $MON$, $\\angle MON = 95^\\circ$, $\\angle MOP = 38^\\circ$. Найдите $\\angle PON$ (в градусах).[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["57","57°"],"inline":1}},"hints":["$\\angle MON = \\angle MOP + \\angle PON$.","$\\angle PON = 95^\\circ-38^\\circ = 57^\\circ$."],"step":1},{"content":"$\\angle AOB = 40^\\circ$, $\\angle BOC = 25^\\circ$. Найдите $\\angle AOC$, если: луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$ — [[input-2]]°; луч $OB$ лежит внутри угла $AOC$ — [[input-3]]°.","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["15","15°"],"inline":1},"input-3":{"type":"input","answer":["65","65°"],"inline":1}},"hints":["Если $OC$ внутри угла $AOB$: $\\angle AOC = 40^\\circ-25^\\circ = 15^\\circ$.","Если $OB$ внутри угла $AOC$: $\\angle AOC = 40^\\circ + 25^\\circ = 65^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Транспортир: откуда считать

Углы измеряют транспортиром — вы знакомились с ним в 5 классе (урок «Транспортир»). Это полукруг, разделенный на 180 градусов, то есть готовый «развернутый угол с делениями». Центр полукруга отмечен штрихом. На большинстве транспортиров две шкалы: внешняя и внутренняя. Они идут навстречу друг другу: где на одной 0, на другой 180.

Транспортир на угле AOB: центр в вершине O, линия 0–180 на стороне OA. На OA ноль внешней (синей) шкалы — по ней ∠AOB = 50° — Сторона $OA$ направлена вправо, на ней 0 внешней (синей) шкалы. По ней $\angle AOB = 50^\circ$

На рисунке центр транспортира стоит в вершине $O$, линия 0–180 лежит на стороне $OA$. На стороне $OA$ стоит 0 синей шкалы, поэтому считаем по синей: вторая сторона $OB$ проходит через 50. В модели поворота это понятно: транспортир считает шаги поворота, а считать нужно от той стороны, с которой поворот начался.

Как измерить угол транспортиром

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.

2. Совместите линию 0–180 со стороной угла (не «параллельно», а точно по стороне).

3. Найдите шкалу, у которой 0 лежит на этой стороне, и по ней прочитайте число, через которое проходит вторая сторона.

Ошибка

«Не та шкала». На рисунке ниже сторона $OA$ направлена влево, и на этом транспортире ноль на ней — у внутренней шкалы. Кто читает внешнюю шкалу, получает $130^\circ$ вместо $50^\circ$. Такая ошибка всегда дает $180^\circ-x$ вместо $x$. На вашем транспортире шкалы могут быть подписаны наоборот, поэтому правило одно: ищите, у какой шкалы 0 лежит на стороне угла.

Защита — прикидка до измерения: на глаз угол острый, значит, ответ меньше $90^\circ$; $130^\circ$ не подходит.

Сторона OA смотрит влево. Ноль на ней — у внутренней (оранжевой) шкалы, по ней ∠AOB = 50° (обведено зеленым). Число 130 на внешней шкале (обведено красным) — ошибка: отсчет от другой стороны — Сторона $OA$ смотрит влево: 0 на ней у внутренней (оранжевой) шкалы, $\angle AOB = 50^\circ$. Число 130 на внешней шкале — отсчет от другой стороны

Транспортиром можно и построить угол заданной величины. Построим угол $70^\circ$ в три шага.

Построение угла 70°: 1 — провести луч OA и приложить транспортир (центр в O, линия 0–180 по OA); 2 — отметить точку B у числа 70 шкалы, у которой 0 на OA; 3 — провести луч OB — 1 — провести луч $OA$ и приложить транспортир: центр в $O$, линия 0–180 по $OA$; 2 — отметить точку $B$ у числа 70 шкалы, у которой 0 на $OA$; 3 — провести луч $OB$

Пример

Задача. Стороны угла на рисунке короткие и не доходят до шкалы транспортира. Как его измерить?

Решение. Продлите обе стороны линейкой — стороны угла являются лучами, и от продления угол не меняется. Затем: центр транспортира — в вершину, линия 0–180 — по одной стороне, отсчет — по шкале, у которой 0 на этой стороне. Перед отсчетом сделайте прикидку: угол острый или тупой.

uploaded-ugol-transportir-e38f4eb8288b

{"questions":[{"content":"Ученик измерил угол, который на глаз острый, и получил $140^\\circ$. В чем, скорее всего, ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Он считал по шкале, у которой 0 не на стороне угла; на самом деле угол $40^\\circ$","Ошибки нет: острый угол может быть равен $140^\\circ$","Нужно было вычесть $90^\\circ$: угол равен $50^\\circ$","Центр транспортира нужно было поставить на середину стороны угла"],"answer":[0],"explanations":["","Острый угол меньше $90^\\circ$, поэтому $140^\\circ$ быть не может.","Отсчет по чужой шкале дает $180^\\circ-x$, а не $x + 90^\\circ$: $180^\\circ-140^\\circ = 40^\\circ$.","Центр транспортира совмещают с вершиной угла, а не с точкой на стороне."]}}},{"content":"Расположите шаги построения угла $AOB$, равного $70^\\circ$, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Провести луч $OA$","Совместить центр транспортира с точкой $O$, а линию 0–180 — с лучом $OA$","Отметить точку $B$ у числа 70 шкалы, у которой 0 лежит на луче $OA$","Провести луч $OB$"]}},"instruction":"Расположите по порядку","hints":["Сначала нужна сторона, от которой отсчитывают угол, — луч $OA$.","Транспортир ставят на этот луч, отмечают точку у нужного числа, и только потом проводят второй луч."],"step":1},{"content":"Строим угол $AOB = 70^\\circ$, но луч $OA$ направлен влево. У какого числа отметить точку $B$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["У числа 70 той шкалы, у которой 0 лежит на луче $OA$","У числа 70 внешней шкалы — она главная","У числа 110 той шкалы, у которой 0 лежит на луче $OA$","У числа 20: $90^\\circ-70^\\circ = 20^\\circ$"],"answer":[0],"explanations":["","Главной шкалы нет: считают по той, у которой 0 на стороне угла. Если $OA$ влево, это может быть и внутренняя шкала — тогда по внешней получится $110^\\circ$.","По шкале с нулем на $OA$ число 110 даст угол $110^\\circ$, а нужен $70^\\circ$.","Отнимать от $90^\\circ$ не нужно: отсчет идет от нуля на стороне $OA$ прямо до нужного числа."]}}}],"mix":1}

Острый, прямой, тупой, развернутый

Будем поворачивать луч $OB$ от луча $OA$ все дальше. Пока поворот меньше четверти оборота (меньше $90^\circ$), угол острый. Ровно четверть оборота — прямой угол. Больше четверти, но меньше половины оборота — тупой. Пол-оборота — развернутый.

Луч OA поворачивается дальше и дальше: острый угол (меньше 90°), прямой (90°), тупой (от 90° до 180°), развернутый (180°) — Луч поворачивается дальше и дальше: острый, прямой, тупой, развернутый угол. Зеленая зона — острые углы, оранжевая — тупые

Вид угла	Градусная мера	Поворот луча
Острый	$0^\circ < \alpha < 90^\circ$	меньше четверти оборота
Прямой	$\alpha = 90^\circ$	ровно четверть оборота
Тупой	$90^\circ < \alpha < 180^\circ$	больше четверти, но меньше половины
Развернутый	$\alpha = 180^\circ$	ровно пол-оборота

Ошибка

«Острый угол — от $0^\circ$ до $90^\circ$, включая 0». Если луч не повернули совсем, стороны совпали. Два совпавших луча в курсе 7 класса углом не считают: у каждого угла градусная мера больше $0^\circ$. Поэтому у острого угла строгое неравенство: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Так же $90^\circ$ — не острый и не тупой угол, а $180^\circ$ — не тупой, а развернутый.

Шкала от 0° до 180°: острые углы — больше 0° и меньше 90° (точка 0 выколота), прямой — 90°, тупые — от 90° до 180°, развернутый — 180° — Шкала видов углов: точка 0 выколота — угла 0° нет; 90° и 180° — отдельные виды

Прямой угол на чертеже отмечают не дугой, а маленьким квадратиком. Биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла: $180^\circ : 2 = 90^\circ$.

Пример

Задача. Луч $OK$ — биссектриса угла $AOB$, $\angle AOB = 140^\circ$. Какого вида углы $AOB$ и $AOK$?

Решение. $90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$, поэтому $\angle AOB$ тупой. Биссектриса делит его пополам: $\angle AOK = 140^\circ : 2 = 70^\circ$. Так как $0^\circ < 70^\circ < 90^\circ$, угол $AOK$ острый.

Ответ: $\angle AOB$ — тупой, $\angle AOK$ — острый.

{"questions":[{"content":"Распределите углы по видам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Острый","Прямой","Тупой","Развернутый"],"items":[["$1^\\circ$","$89^\\circ$"],["$90^\\circ$"],["$91^\\circ$","$179^\\circ$"],["$180^\\circ$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Острый: $0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ$; прямой: ровно $90^\\circ$.","Тупой: $90^\\circ < \\alpha < 180^\\circ$; развернутый: ровно $180^\\circ$."],"step":1},{"content":"Ученик пишет: «Острый угол — это угол от $0^\\circ$ до $90^\\circ$, значит, угол $0^\\circ$ — самый маленький острый». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Угла $0^\\circ$ нет: два совпавших луча углом не считают, у острого угла мера больше $0^\\circ$","Все верно: $0^\\circ$ меньше $90^\\circ$","Острый угол начинается с $1^\\circ$: углов меньше $1^\\circ$ не бывает","Угол $0^\\circ$ — это развернутый угол: стороны лежат на одной прямой"],"answer":[0],"explanations":["","Каждый угол имеет меру больше $0^\\circ$, поэтому граница острого угла строгая: $0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ$.","Углы меньше $1^\\circ$ бывают, например $30' = 0{,}5^\\circ$. Граница острого угла — $0^\\circ$, и она строгая.","У развернутого угла стороны направлены в противоположные стороны и он равен $180^\\circ$; у совпавших лучей — в одну сторону."]}}},{"content":"Каким может быть угол, равный половине тупого угла?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Только острым","Острым или прямым","Тупым","Любым"],"answer":[0],"explanations":["","Чтобы половина была прямой, весь угол должен быть $180^\\circ$ — а это развернутый, а не тупой угол.","Тупой угол меньше $180^\\circ$, значит, его половина меньше $90^\\circ$.","Тупой угол: $90^\\circ < \\alpha < 180^\\circ$, его половина: $45^\\circ < \\frac{\\alpha}{2} < 90^\\circ$ — всегда острый угол."]}}}],"mix":1}

Углы на циферблате и почему 180°

Теперь ответ на вопрос из начала урока. Число 180 — не закон природы, а договоренность. Считается, что делить полный оборот на 360 равных частей начали астрономы Древнего Вавилона — они считали в шестидесятеричной системе. От них это деление переняли греческие астрономы: во II веке Клавдий Птолемей уже делит круг на $360^\circ$, а каждый градус — на 60 минут. Число 360 очень удобно: у него 24 делителя. Половина, треть, четверть, пятая, шестая, восьмая, девятая, десятая и двенадцатая часть оборота — целое число градусов. Пол-оборота при таком делении — $180^\circ$; отсюда и мера развернутого угла.

Хорошо видно это деление на циферблате. Стрелки часов — лучи с общим началом в центре. Циферблат разделен на 12 равных промежутков, поэтому между соседними числами $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Циферблат в 2:00. Между соседними числами 360° : 12 = 30°, между стрелками два промежутка — угол 60° — В 2:00 между стрелками два промежутка: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Пример

Минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, значит, за одну минуту она поворачивается на $360^\circ : 60 = 6^\circ$. Часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов, то есть за час поворачивается на $30^\circ$. А угол между стрелками — всегда угол не больше развернутого: в 10:00 между стрелками не $300^\circ$, а $360^\circ-300^\circ = 60^\circ$.

{"questions":[{"content":"Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 3:00 (в градусах).[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["90","90°"],"inline":1}},"hints":["Между соседними числами циферблата $30^\\circ$.","В 3:00 между стрелками 3 промежутка: $3 \\cdot 30^\\circ = 90^\\circ$ — прямой угол."],"step":1},{"content":"На сколько градусов поворачивается минутная стрелка за 20 минут?[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["120","120°"],"inline":1}},"hints":["За минуту минутная стрелка поворачивается на $360^\\circ : 60 = 6^\\circ$.","За 20 минут: $20 \\cdot 6^\\circ = 120^\\circ$."],"step":1},{"content":"Сколько градусов в восьмой части полного оборота?[[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["45","45°"],"inline":1}},"hints":["Полный оборот — $360^\\circ$.","$360^\\circ : 8 = 45^\\circ$ — целое число, потому что 8 — делитель 360."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Градусная мера записывает поворот луча числом: градус — $\frac{1}{180}$ развернутого угла, два поворота подряд складываются, а транспортир считает шаги поворота от той стороны, с которой поворот начался. Отсюда главное правило измерения: 0 выбранной шкалы должен лежать на стороне угла, а прикидка «острый — меньше $90^\circ$» ловит ошибку шкалы. Вид угла определяется тем, сколько повернули луч: меньше четверти оборота — острый, ровно четверть — прямой, больше четверти, но меньше половины — тупой, половина — развернутый. Углы в градусах измеряют штурманы и геодезисты, по углу наклона выбирают крутизну крыши или пандуса, по углу поворачивают руль и стрелки часов. Дальше эти знания нужны в уроке «Смежные углы»: там два угла вместе составляют развернутый угол.

Часто задаваемые вопросы

Почему развернутый угол равен $180^\circ$?

Так договорились: полный оборот делят на 360 градусов — это деление пришло из вавилонской астрономии, а число 360 удобно делится на многие числа. Развернутый угол — половина оборота, поэтому $180^\circ$.

Как понять, по какой шкале транспортира считать?

Совместите линию 0–180 со стороной угла и посмотрите, у какой шкалы на этой стороне стоит 0. По ней и читайте. Проверьте прикидкой: острый угол меньше $90^\circ$, тупой — больше.

Что делать, если стороны угла короткие и не доходят до шкалы?

Продлите стороны линейкой: стороны угла — лучи, и от продления угол не меняется. Потом измеряйте как обычно.

Бывает ли угол $0^\circ$ или больше $180^\circ$?

В курсе 7 класса — нет: каждый угол больше $0^\circ$ и не больше развернутого, то есть $180^\circ$. Повороты на больший угол, например на полный оборот $360^\circ$, бывают у стрелок часов, но это поворот, а не угол из двух лучей.

Награды за урок